Оглавление

Введение…………………………………………..……………………………..…………….……2

Теоретическая часть

Глава I.Теория вероятностей – что это?………………..………………....................................…3

1. История возникновения и развития теории вероятностей …………………………..…..3
2. Основные понятия теории вероятностей…………………………………………….…….3
3. Теория вероятностей в жизни……………………………………………………………....5                                  Практическая часть

Глава II. ЕГЭ и ГИА как пример использования теории вероятностей жизни……….…....…...6

2.1. Единый государственный экзамен и государственная итоговая аттестация……………….6

Экспериментальная часть………………………………………...……………………….………..8

Анкетирование………………………………………………………………………………..…8

Эксперимент………………………………………..……………………………………………8

Заключение………………………………………..………………………………………….…..9

Литература……………………………………………………………………………....………10

Приложение………………………………………………………………..…………………….I

Высшее назначение математики…состоит  в том,

чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.

Н.Винер

Введение

Мы,  не раз слышали или сами говорили “это возможно”, “это не возможно”, это обязательно случится”, “это маловероятно”.Такие выражения обычно употребляют, когда говорят о возможности наступления события, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти.

Цель моего  исследования:выявить вероятность успешной сдачи экзамена обучающимися 9 и 11 классов путем угадывания правильного ответа, применяя теорию вероятностей.

Для реализации целей я  поставила перед собой задачи:

1)собрать, изучить и систематизировать материал о теории вероятностей, воспользовавшись различными источниками информации;

2)  рассмотреть использование теории вероятности в различных сферах жизнедеятельности;

3)  провести исследование по определению вероятности получения положительной оценки при сдаче ГИА и ЕГЭ путем угадывания правильного ответа.

Я выдвинула гипотезу:с помощью теории вероятностей можно с большой степенью уверенности предсказать события, происходящие в нашей жизни.

Объект исследования –теория вероятностей.

Предмет исследования: практическое применение теории вероятностей.

Методы  исследования:1)анализ,2)синтез, 3)сбор информации, 4)работа с печатными материалами, 5)анкетирование,6)эксперимент.

Я считаю, что вопрос,исследованный в моей работе, является актуальным по ряду причин:

1. Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно. Кажется, как можно «предвидеть» наступление случайного события? Ведь оно может произойти, а может и не сбыться!Но математика нашла способы оценивать вероятность наступления случайных событий.[11,221]Они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.
2. Серьёзный шаг в жизни каждого выпускника –  ГИА и Единый государственный экзамен. Мне тоже предстоит на следующий год сдавать экзамены. Успешная его сдача - это  дело случая или нет?

Глава 1.Теория вероятностей.

1. История

Корни теории вероятностей уходят далеко вглубь веков. Известно, что в древнейших государствах Китае, Индии, Египте, Греции уже использовались некоторые элементы вероятностных рассуждений для переписи населения, и даже определения численности войска неприятеля.

 Первые работы по теории вероятностей, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма, голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартних играх. Крупный успех теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли(1654-1705гг.).(Приложение I)Он открыл знаменитый закон больших чисел: дал возможность установить связь между вероятностью какого-либо случайного события и частотой его появления, наблюдаемой непосредственно из опыта. Следующий период истории теории вероятностей ( XVIII в. и начало ХIХ в.) связан с именами А. Муавра, П. Лапласа, К. Гаусса и С. Пуассона. В этот периодтеория вероятностей  находит ряд применений в естествознании и технике.

Третий период истории теории вероятностей, (вторая половина XIX в.) связан в основном с именами русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова. Наиболее распространённая в настоящее время логическая схема построения основ теории вероятностей разработана в 1933 году  математиком А. Н. Колмогоровым.

2. Определение и основные формулы

Итак, насколько эта теория полезна в прогнозировании и насколько она точна?  Каковы ее основные тезисы? Какие полезные наблюдения можно вынести из текущей теории вероятностей?

Основным понятием теории вероятностей является вероятность. Это слово достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу».В  словаре С.И.Ожегова дается толкование слова вероятность как  «возможности осуществления чего-нибудь»[7,62]. И здесь же дается определение понятию теории вероятностей как «разделу математики, изучающей закономерности, основанные на взаимодействии большого числа случайных явлений»[7,62].

В учебнике «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов  под редакцией Ш.А.Алимова дается следующее определение: теория вероятностей — раздел математики, который «занимается исследованием закономерностей в массовых явлениях»[1,336]

При изучении явлений, мы проводим эксперименты, в ходе которых происходят различные события, среди которых различают: достоверные, случайные, невозможные, равновероятные.

Событие U называют достоверным   по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие U обязательно произойдет.Например, достоверным будет появление одного из шести чисел 1,2,3,4,5,6 при одном бросании игральной кости.Событие  называют случайным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания оно может произойти, а может и не произойти. Например, при однократном бросании игральной кости может выпасть число 1 или не выпасть, т.е. событие является случайным, потому что оно может произойти, а может и не произойти.Событие  V называют невозможным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания  событие V  не произойдет.[8,39]Например, невозможным является выпадение числа 7 при бросании игрального кубика.Равновероятные события – это события, которые при данных условиях имеют одинаковые шансы для наступления.

А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь если случайное, значит, не подчиняется закономерностям, алгоритмам. Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, позволяющие вычислять вероятности.

Принято вероятность события А обозначать буквой Р(А),тогда формула для вычисления  вероятности  записывается так:

Р(А)=, где m ≤n(1)

Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числу исходов n всех исходов испытания. Из формулы (1) следует, что

0≤ Р(А)≤ 1.

Данное определение принято называть классическим определением вероятности. Оно применяется, когда теоретически удается выявить все равновозможные исходы испытания и определить благоприятствующие  исследуемому испытанию исходы. Однако на практике часто встречаются испытания, число возможных исходов которых очень велико. Например, без многократного подбрасывания  кнопки трудно определить, равновозможны ли ее падения на «на плоскость» или на «острие». Поэтому используется и статистическое определение вероятности. Статистической вероятностью называют число, около которого колеблется относительная частота события (W(A)– отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведенных испытанийN) при большом числе испытаний.

Также я познакомилась с формулой Бернулли — это формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли,  выведшего формулу:

P(m)=[5,68]

Чтобы найти каковы шансы наступления события А в данной ситуации, необходимо:

• найти   общее количество  исходов  этой ситуации;
• найти количество возможных исходов, при которых произойдёт событие А;
• найти,какую часть составляют возможные исходы от общего количества исходов.

2. Теория вероятностей в жизни.

В развитии теории вероятностей весьма большую роль играли задачи, связанные с азартными играми, в первую очередь с игрой в кости.

Игры в кости

Инструментом для игры являются кубики (кости) в количестве от одного до пяти в зависимости от вида игры. Суть игры состоит в выбрасывании кубиков и дальнейшем подсчёте очков, количество которых и определяет победителя. Основной принцип игры в кости — каждый игрок по очереди бросает некоторое количество игральных костей (от одной до пяти), после чего результат броска (сумма выпавших очков; в некоторых вариантах используются очки каждой кости по отдельности) используется для определения победителя или проигравшего.

Лотерея

Лотерея - организованная игра, при которой распределение выгод и убытков зависит от случайного извлечения того или иного билета или номера (жребия, лота).

Карточные игры

Карточная игра — игра с применением игральных карт, характеризуется случайным начальным состоянием, для определения которого используется набор (колода).

Важным принципом практически всех карточных игр является случайность порядка карт в колоде.

Игровые автоматы

Известно, что в игровых автоматах скорость вращения барабанов зависит от работы микропроцессора, повлиять на который нельзя. Но можно вычислить вероятность выигрыша на игровом автомате, в зависимости от количества символов на нем, числа барабанов и других условий. Однако выиграть это знание вряд ли поможет. В наше время наука о случайном  очень важна. Она применяется в селекции при разведении ценных сортов растений, при приемке промышленной продукции, при расчете графика разгрузки вагонов и т.д.[11,с.222]

Глава II. ЕГЭ и ГИА как пример использования теории вероятностей жизни

2.1. Единый государственный экзамен и государственная итоговая аттестация

Я сегодня обучаюсь в 8А классе, и на следующий год мне предстоит сдавать экзамены.

Экзаменационные работы по различным предметам имеют свои особенности, но во всех из них, в том числе и по математике в 9 классе в части 1 даны задания с выбором ответа. Среди нерадивых учеников возник вопрос: «А нельзя ли выбрать наугад ответ и при этом получить положительную оценку за экзамен?» Я провела  опрос среди обучающихся 8классов: можно ли практически угадать 8 заданий из 9, т.е. сдать ГИА по математике без подготовки. Результаты такие:53,2% респондентов считают, что смогут сдать экзамен указанным выше способом.(Приложение II)

Я решила проверить, правы ли они? Ответить на этот вопрос можно путем использования элементов теории вероятностей. Я хочу проверить это на примере предметов, обязательных для сдачи экзаменов: математика и русский язык и на примере наиболее предпочитаемых предметов в 11 классе. По данным 2012 года 51,4% выпускников ХМАО и 60,9%  выпускников РФ выбрали обществознание.(Приложение II)

А)Русский язык. По данному предмету тест включает 39 заданий типа А,В и С, из которых 30 заданий типа А с выбором ответа из 4-х предложенных.Для того, чтобы пройти порок на экзамене в 2012 году достаточно было в 1 части правильно выполнить 14 заданий. Каждое задание имело 4 варианта ответов, один из которых правильный. Определить вероятность получения положительной оценки на экзамене можно по формуле Бернулли:

Схема Бернулли описывает эксперименты со случайным исходом, заключающиеся в следующем.[5,]Проводятся n последовательных независимых одинаковых экспериментов, в каждом из которых выделяется одно и тоже событие А, которое может наступить или не наступить в ходе эксперимента. Так как испытания одинаковы, то в любом из них событие А наступает с одинаковой вероятностью. Обозначим ее р = Р(А). Вероятность дополнительного события обозначим q. Тогда q = P(Ā) = 1-p

Пусть событие А – это правильно выбранный ответ из четырех предложенных в одном задании первой части. Вероятность события А определена как отношение числа случаев, благоприятствующих этому событию (т.е. правильно угаданный ответ, а таких случаев 1), к числу всех случаев (таких случаев 4). Тогда p=P(A)= и  q=P(Ā)=1-p=.

Вероятность получения положительной оценки:

=  =119759850

0,00163*100%0,163%        

Таким образом, вероятность благополучного исхода примерно равна 0,163%!

На примере демонстрационного варианта теста  ЕГЭ 2013 года я предложила обучающимся 11А класса выбрать ответы путем угадывания. И вот, что у меня получилось. Средний балл по классу составил 7,6. Наибольшее количество баллов набрал Тырышкин Илья - 16, наименьшее – Ерошкин Дмитрий(3 балла). 16 баллов набрал 1 ученик, что составляет 5%.(Приложение III)

Обществознание

Первая часть демонстрационного варианта ЕГЭ2013 года по обществознанию содержит 20 заданий с выбором ответа, из которых только один верный. Определим вероятность получения положительной оценки. Рособрнадзором установлен  минимальный первичный балл по обществознанию – 15.

Вероятность получения положительной оценки:

=  =15504

0,000003*100%=0,0003%        

Таким образом, вероятность благополучного исхода примерно равна 0,0003%!

Я попросила обучающихся 11А класса угадать ответы по обществознанию. Средний балл составил 4,75 балла. Самый высокий балл -9, самый низкий- 2. Таким образом, ни один обучающийся не смог набрать нужное количество баллов по обществознанию.(Приложение III)

Математика

В 2011 году демонстрационный вариант КИМ ГИА (в новой форме) по МАТЕМАТИКЕ содержал 23 задания, из которых 9 заданий с выбором ответа и установления соответствия. Для успешной сдачи экзамена необходимо было решить не менее 8 заданий. Применим формулу Бернулли.

(8)=* *; ==9; (8)=9**=0,000102996;

0,0001*100%=0,01%

Вывод: вероятность получения положительной оценки составляет 0,01%.

Эксперимент, проведенный, среди моих одноклассников показал, что самое большое количество совпадений - 4, средний балл составил 1,8 балла.

Экспериментальная часть

 Анкетирование

Анкетирование проводилось среди обучающихся 8-х классов. Им было предложено ответить на следующие вопросы:

1.Можно ли сдать экзамены без подготовки, угадывая ответ в заданиях типа А?

Результаты проведенного опроса отражены в диаграмме .(Приложение II)

Эксперимент

1.Среди обучающихся 11А класса на примере демонстрационного варианта контрольно-измерительных материалов ЕГЭ-2013 провела эксперимент с угадыванием ответа по русскому языку и обществознанию. Результаты отражены в  таблице 2 (Приложение III) .

2.Своим одноклассникам и одноклассницам предложила угадать ответ в демонстрационном варианте теста по математике за 2011 год, результаты также представлены в приложении III.

В результате проведенного экспериментаи применяя формулу Бернулли, я доказала, что сдать экзамены путем угадывания ответа невозможно. Только планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе позволит выпускнику хорошо подготовиться к участию в ЕГЭ и ГИА,  и успешно решить судьбоносную проблему при переходе на более высокий уровень обучения в вуз.

Заключение

В результате проделанной мной работы, я добилась реализации поставленных перед собой задач:

во-первых, поняла, что теория вероятностей - это огромный раздел науки математики и  изучить его   в один заход невозможно;

во-вторых,перебрав множество фактов из жизни, и проведя эксперименты, я поняла, что действительно с помощью теории вероятностей можно предсказать события, происходящие в различных сферах жизнедеятельности;

в-третьих, исследовав вероятность успешной сдачи обучающимися 11 классов ЕГЭ и 9-ми классами ГИА по математике, я пришла к выводу, что только планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе позволит выпускнику хорошо подготовиться к участию в ЕГЭ. Таким образом,  выдвинутая мной гипотеза подтвердилась, с помощью теории  вероятностей я доказала, что к экзаменам надо готовиться, а не рассчитывать на авось.

   На примере моей работы можно сделать и более общие выводы:  подальше держаться от всяких лотерей, казино, карт, азартных игр вообще. Всегда надо подумать, оценить степень риска, выбрать наилучший из возможных вариантов – это, я думаю, пригодится мне в дальнейшей жизни.

Литература

1. АлимовШ.А.Алгебра и начала математического анализа.10-11 классы:учеб.для общеобразовательных учреждений: базовый уровень. М.:Просвещение,2010.

2. Бродский Я.С. «Статистика. Вероятность. Комбинаторика»-М.: Оникс; Мир и Образование, 2008 г.

3. Бунимович Е.А., Суворова С.Б. Методические указания к теме «Статистические исследования»//Математика в школе.-2003.-№3.

4. Гусев В.А. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.-М.:Просвещение,1984.

5. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей.-М.:Просвещение 1990.
6. Макарычев Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений-М.:Просвещение,2007.
7. Ожегов С.И. Словарь русского языка:.М.:Рус.яз.,1989.
8. Панов Э. Введение в статистику//Математика(приложение к газете «Первое сентября»),2004,№25-26.
9. Семеновых А. Комбинаторика//Математика(приложение к газете «Первое сентября»),2004,№16,17.
10. Федосеев В.Н .Элементы теории вероятностей для VII-IX классов средней школы.//Математика в школе.-2002.-№4,5.
11. Что такое. Кто такой: В 3 т.Т.1 – 4-е изд. перераб.и доп.-М.:Педагогика-Пресс,1997.

Ресурсы:

1. http://www.blagodeteleva-vovk.com/theory/never.htm
2. http://habrahabr.ru/blogs/gtd/101695
3. http://www.prosto.ws/2010/03/02/ot-teorii-veroyatnosti-k-teorii-vsego
4. http://www.mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter4/section3/paragraph1/theory.html
5. http://ru.wikipedia.org/wiki

6. www.fipi.ru