Связь математики и музыки

    Региональная  научно - практическая конференция

                               "Интерес. Познание. Творчество"

Связь математики с музыкой

                                Работа ученицы 7"А" класса

                                Лицея "Технический" г. Обнинска

                                Симонян  Карины

                                научный руководитель

                                Сергеева Л.А.,

                                учитель  высшей  категории

                                                г.Обнинск

 Оглавлание:

  Введение………………………………………………………………3

1.Исторические открытия в области теории музыки………………..3

2. Взаимосвязь  между математикой и музыкой…………………….7

3. Некоторые понятия теории музыки………………………….……9

4. Ступени и аккорды строящиеся на них…………………………..10

5. Исследовательская часть…………………………………..………11

6. Выводы…………………………………………………………......14

   Заключение………………………………………………………....15

   Литература……………………………………………………….…15

                                                                              Введение

"Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и, что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства."

                                                                                                                  Г. Нейгауз

Математика и музыка - два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.

Казалось бы, искусство - весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика - самая абстрактная из наук, а музыка - наиболее отвлеченный вид искусства.

Моя работа является исследовательской. Я поставила перед собой цель, изучив связь музыки и математики, рассмотрев основные понятия музыки и математические формулы Кеплера, создать отрезок музыкального произведения, опираясь только на основные музыкальные и математические понятия.

1. Исторические  открытия  в области теории музыки.

Суть его в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.

Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд – полу инструмент, полу прибор. Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны. Было подмечено определенное соответствие между высотой звука и конкретным числом, определяющим длину струны. В основе этой музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых - Пифагора и Архита. Вот эти законы: 1. Две звучащие струны определяют консонанс (приятное для слуха звучание струны) если их длины относятся как целые числа, как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.

2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине L .

w = a : L ,

где а - коэффициент, характеризующий физические свойства струны. Именно по этому принципу был создан широко популярный в античности музыкальный инструмент – лира, который впоследствии стала эмблемой музыкального искусства. Основой музыкальной шкалы-гаммы пифагорейцев был интервал - октава. Она является консонансом, повторяющим верхний звук. Для построения музыкальной гаммы пифагорейцам требовалось разделить октаву на красиво звучащие части. Так как они верили в совершенные пропорции, то связали устройство гаммы со средними величинами: арифметическим, гармоническим. Но эта шкала музыкальной гаммы не позволяла получить точного октавного повторения исходного звука. Музыка выстроенная по этой шкале «резала слух» и получила название пифагорова комма. Идея совершенства окружающего мира владела умами ученых и в последующие эпохи. В первой половине XVII в. И.Кеплер установил семь основных гармонических интервалов: октаву - 2/1, большую сексту - 5/3, малую сексту - 8/5, чистую квинту - 3/2, чистую кварту - 4/3, большую терцию - 5/4 и малую терцию - 6/5.

С помощью этих интервалов он выводит весь звукоряд как мажорного, так и минорного наклонения. Около 1700 года немецкий органист А. Веркмайстер осуществил гениальное решение: отказался от совершенных и несовершенных консонансов пифагорейской гаммы. Сохранив октаву, он разделил ее на 12 равных частей. Пифагорова комма исчезла. Новый музыкальный строй позволил выполнять транспонирование мелодии. С введением этого строя в музыке восторжествовала темперация (от лат. соразмерность). В основе устройства музыкальной гаммы лежат определенные закономерности. Для построения гаммы гораздо удобнее пользоваться, оказывается, логарифмами соответствующих частот. Музыкальная шкала должна быть разделена на 12 частей. Отношение соседних частот равномерно-темперированного строя постоянно и равно.

Органы, настроенные А. Веркмайстером, зазвучали в равномерно - темперированном строе. Преимущества нового строя были бесспорными. Строй носил замкнутый характер и состоял из интервалов, вполне приемлемых для музыкального слуха как в мелодическом, так и в гармоническом отношении. В нем совершенно спокойно можно было осуществлять переходы из тональности в тональность. И.С.Бах доказал жизнеспособность новой музыкальной системы, написав "Хорошо темперированный клавир", состоящий из 12 мажорных и 12 минорных произведений. Авторитет великого композитора примирил споры математиков и музыкантов, выступавших "за" или "против" нового музыкального строя. История создания равномерной темперации еще раз свидетельствует о том, как тесно переплетаются судьбы математики и музыки. Рождение нового музыкального строя не могло произойти без изобретения логарифмов. Без знания логарифмов провести расчеты равномерно-темперированного строя было бы невозможно. Логарифмы стали своеобразной "алгеброй гармонии", на которой выросла темперация.  В музее музыкальной культуры можно увидеть музыкальные инструменты, в которых число ступеней в октаве значительно больше двенадцати. Были попытки создания инструментов с числом ступеней в октаве 24, 48, 53 для того, чтобы получить интервалы, наиболее близкие к чистым. В музыкальной практике, однако, такие инструменты не использовались.

 2.  Взаимосвязь между математикой и музыкой.

  Рассмотрим взаимосвязи между математикой и музыкой с точки зрения ее теоретического построения. Основой математических знаний является арифметический счет. Счет, как числовой ряд состоит из определенной последовательности чисел, в которой каждое последующее число больше предыдущего на одну единицу – и это уже само по себе является определенной ритмической закономерностью. Арифметические действия с числами происходят путем перемещения по этому числовому ряду либо в сторону увеличения, либо наоборот.  По аналогии, музыкальный звукоряд – это последовательность музыкальных звуков, в которой каждый последующий звук выше предыдущего также на одну единицу, (в музыке ей соответствует полутон), если звукоряд восходящий. Cоответственно, если звукоряд нисходящий, то каждый последующий звук ниже предыдущего на пол-тона. Аналогично арифметическому действию мы можем вычислить музыкальный звук путем перемещения по музыкальному ряду. Ученые, изучавшие взаимосвязь между восприятием музыки и мыслительными процессами (Генрих Гетце 1994, Мария Спайхигер 2000) утверждают, что оперируя математическим рядом чисел и выполняя любые арифметические действия «в уме», будь то сложение, вычитание, умножение, деление или даже извлечение корня и возведение в степень, человек достигает результата весьма похожими пространственными мыслительными операциями, что и при дифференциации звуковысотности и длительности. Мне кажется весьма логичным утверждение, что существует определенная связь между арифметическими и музыкальными мыслительными операциями. При написании музыкального диктанта человек, не обладающий абсолютным музыкальным слухом вполне в состоянии записать точно и правильно прослушанную им мелодию, если он хорошо дифференцирует сравнительную звуковысотность (выше-ниже), темп (быстрее-медленнее), музыкальные длительности (дольше, короче, длиннее). Способность дифференцировать эти сравнительные соотношения тренируется и развивается музыкальными занятиями. Те же соотношения используются и в математике.
Определение интервала в музыке есть не что иное как вычисление разности между двумя звуками. Интересно и то, что когда музыканты воспринимают музыкальные интервалы, то в их воображении автоматически возникает числовой ряд, отрезок которого равен определенному интервальному отрезку, т.е. представляется отрезок чисел от 1 до 4 - если слышат кварту, от 1 до 7-если септиму и т.д. Наверное, возможно также представление септимы как отрезок чисел от 2 до 9 или от 3 до 10 – он также равен 7.
Построение музыкального произведения имеет свою логику и числовые характеристики. Соотношение частей музыкального произведения образуют музыкальную форму.  Составные элементы музыкальных форм – мотивы, фразы, предложения, периоды – в совокупности образуют мелодию.
Изучив определенные законы построения музыкального произведения, можно научиться сочинять музыку – по формуле, точно также как и формально сочинять стихи. (Правда, нет гарантии, что эти произведения будут представлять из себя какую-либо художественную ценность). Мелодия образуется только в том случае, если звуки организованы ритмически, т.е. определяются определенными длительностями. Чередование звуков вне ритма не воспринимается как мелодия; ритм же подчас настолько ярко характеризует мелодию, что ее можно узнать только по обозначению длительностей звуков без указания их высоты.
Основные ритмические измерения, применяемые в музыке - это относительные длительности: целая нота, половинная, четвертная, восьмая и т.д. Итак, в математическом построении 12 мажорных и 12 минорных тональностей совершенно тождественны. А как в звучании? Конечно, каждая из тональностей обладает своим неповторимым музыкальным оттенком. Можно провести своего рода эксперимент для произведения разных тональностей, определяя характер их звучания и музыкальные характеристики. Слушая сонату Л.Бетховена "Аврора", написанную в до мажоре, чувствуем в музыке светлое, солнечное, спокойное настроение. Итак, было рассмотрено математическое описание музыкальной гаммы - основы создания любого музыкального произведения. В построении музыкального строя чувствуются математическая точность и гармония.                         

    3. Некоторые понятия теории музыки

1. Гаммой, или звукорядом, называется последовательность звуков, расположенных от основного тона (звука) в восходящем или нисходящем порядке.

2. Интервалом между тонами называется порядковый номер ступени верхнего тона относительно нижнего в данном звукоряде.

3. Тоника(тон) - основной наиболее устойчивый тон в гамме. С него начинается данная музыкальная система.

4.Лад – организация музыкальных звуков вокруг опорного звука, который  называется тоникой.

5.Музыкальный строй - математическое выражение системы звуковысотных соотношений - лада.

6.Такт- отрезок музыкального произведения от одной сильной доли до следующей.

7.Доля такта -  малый отрезок  одинаковой длительности из которых складывается данный музыкальный текст.

8.Мотив произведения -  1-2 такта.

9.Отрезок произведения- 2-3 мотива соединённые вместе- относительно законченное музыкальное построение.

10.Аккорд- созвучие, состоящее не менее чем из трёх звуков.

11.Трезвучие – аккорд из трёх звуков, тоническое трезвучие- трезвучие построенное на первой ступени лада.

12.Мажорный лад- лад, в котором устойчивые звуки, взятые вместе , образуют мажорное трезвучие(с бодрой радостной эмоциональной окраской).

13.Ритмическая группировка – чередование звуков в определённом ритме.

14.Терция- интервал, который содержит три ступени. Малая терция(м.3) - имеет полтора тона. Большая терция(б.3)- состоит из двух тонов.

15.Ступень- порядковое  обозначение звуков лада. Отмечается римской цифрой.

16.Квинта- интервал ,который содержит 5 ступеней. Уменьшённая квинта состоит  из  трёх тонов.

17.Уменьшённое трезвучие- трезвучие , которое состоит из двух  малых терций , крайние звуки  образуют  уменьшённую квинту.

18.Септаккорд седьмой  ступени- аккорд, из четырёх звуков, которые расположены  или могут быть расположены  по терциям и строится на седьмой ступени.

                            4. Ступени и аккорды строящиеся на них.

Некоторые музыкальные формулы используемые в исследовании.

5/3=3+3 ( для аккордов: Т5/3;D5/3;\/|5/3;Ум5/3)

7=3+3+3(  для аккордов: ||7;D7;\/||7)

                                         5. Исследовательская часть.

Цель исследования

Попытаемся создать отрезок произведения, основываясь на музыкальных и математических формулах выведенных Кеплером.

Задаю условие моей задачи:

1. Отрезок произведения пишем в соль-мажоре. Соль - основной  тон (нота), соль = а=0 ( в математике), соль=а=1 (в музыке - это 1 ступень).

2) Отрезок произведения будет состоять из 4 тактов.

3) Размер моего отрезка 2/4 ( числитель дроби – количество долей в такте, знаменатель – длительность этих долей).

4) В каждом такте у меня будет 4 ноты, разделённые на 2 равные группы. Иначе  говоря в музыке это называется  ритмической группировкой (в данном случае эта группировка называется две восьмые – одна доля ).

5) Первый такт подчинён формуле септаккорд 7ступени. Второй такт подчинён  формуле Т5/3 , результат будет взят в обратном порядке и заканчиваю этот такт  нотой стоящей на 3 ступени. Третий такт подчинён  формуле  УМ5/3 , результат будет взят в обратном порядке и  с удвоенной  7 ступенью. Четвёртый такт  подчинён формуле Т5/3  с удвоенной 5 ступенью.

Ход работы:

Высчитываю ноты первого такта:

Формула септаккорда 7 ступени:

музыкальная: а +(а+7)+(а+7+3)+(а+7+3+3) при условии  а=1

математическая: а+(а+6)+(а+6+2)+(а+6+2+2)+(а+6+2+2+2)=

=а +(а+6)+(а+8)+(а+10)+(а+12) при условии а=0

 Соль=а=0 основная нота (держим в уме) от которой  считаем 4 ноты первого такта: 1 нота=а+6=0+6=6(фа)

                          2 нота=а+8=0+8=8(ля)

                          3 нота=а+10=0+10=10(до 2-ой октавы)

                          4 нота=а+12=0+12=12(ми 2-ой октавы)

Ноты 1 такта: фа-ля-до(2-ой октавы)-ми(2-ой октавы)

Высчитываю ноты второго такта:

Формула Т5/3:

музыкальная: а +(а+3)+(а+3+3) при условии а =1

математическая: а +(а+2)+(а+2+2)=а +(а+2)+(а+4) при условии а=0

Высчитываемые ноты располагаем в обратном порядке в 2 такте согласно условию.

                  1 нота =а=соль

                  2 нота=а+2=0+2=2(си)

                  3 нота=а+4=0+4=4(ре 2-ой октавы)

Согласно условию задачи:1) записываем ноты в следующем порядке: ре-си-соль.2) повторяем 3 ступень (соответствующую музыкальным расчётам) ноту си.

Ноты 2 такта: ре(2-ой октавы)-си-соль-си.

Высчитываю ноты третьего такта:

Формула Ум5/3:

музыкальная: а +(а+7)+(а+7+3)+(а+7+3+3) при условии а =1

математическая: а +(а+6)+(а+6+2)+(а+6+2+2)=а+(а+6)+(а+8)+(а+10) при условии а=0

Высчитываемые ноты располагаем в обратном порядке в 3такте согласно условию.

               1 нота=а+6=0+6=6(фа)

               2 нота=а+8=0+8=8(ля)

               3 нота=а+10=0+10=10(до 2-ой октавы)

Согласно условию задачи:1) записываем ноты в следующем порядке: до(2-ой октавы)-ля-фа. 2) удваиваем 7 ступень (соответствующую музыкальным расчётам) ноту фа.

Ноты 3 такта: до(2-ой октавы)-ля-фа-фа.

Высчитываю ноты четвёртого такта:

Формула Т5/3:

музыкальная: а +(а+3)+(а+3+3) при условии а =1

математическая: а +(а+2)+(а+2+2)=а +(а+2)+(а+4) при условии а=0

                  1 нота =а=соль

                  2 нота=а+2=0+2=2(си)

                  3 нота=а+4=0+4=4(ре 2-ой октавы)

Согласно условию задачи: 1) удваиваем 5 ступень (соответствующую музыкальным расчётам) ноту ре.

Ноты 4 такта: соль-си-ре(2-ой октавы)-ре(2-ой октавы)

  Получившийся  отрезок произведения:

                                                  5. Вывод:

1. С помощью математических формул можно написать музыкальное произведение .
2. Музыкальная формула находится в соответствии с математической формулой.
3.  Математический счёт звукового  ряда меньше музыкального  счёта звукового ряда на единицу.
4.  Путём симметричного переноса созданного музыкального отрезка по горизонтали вдоль нотного стана , мы можем получить музыкальное произведение.

Заключение

Известно, что и компьютеры сочиняют музыку. Правда, она довольно посредственна. В ней нет игры и свободного дыхания, которые трудно укладываются в математические каноны. До сих пор никому не удавалось найти алгоритм, порождающий простую и красивую мелодию. Мы просто не знаем, какое волшебство происходит в голове композитора, создающего неповторимую мелодию. Гениальное произведение - это результат вдохновения и мастерства его создателя. Смею предположить, что гениальные композиторы мировой культуры, обладавшие потрясающими музыкальными способностями, имели незаурядные математические способности. Например Бетховен, потерявший полностью слух в конце жизни продолжал создавать гениальные музыкальные произведения. Возможно он пользовался известными только ему оригинальными музыкально-математическими формулами. А еще своеобразная тайна, постичь которую порой невозможно. Решая задачи и слушая великую музыку, мы открываем в ней совершенство, простоту, гармонию и еще нечто такое, что неподвластно выражению словом...

                                                                     Литература:

1. «Элементарная теория музыки» В.Вахромеев.

2. Р.Глиэр. О профессии композитора и воспитании молодежи. «Советская музыка», 1954, №8

3. INTERNET

4. Электронная энциклопедия.

5.Математика серии "МГУ - школа". Издательство Просвещение. Авторы: С.М. Никольский,  М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.

6.Сайт:  http://www.ВикипедиЯ /ru

7.Математическая энциклопедия (в 5-ти томах), 1980-е гг. // Общие и специальные справочники по математике на EqWorld 

8. Н. И. Кондаков. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975.

9. Энциклопедия математических наук и их приложений1899—1934 гг. (крупнейший обзор литературы XIX века)

10. Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984.

11. Клайн М. Математика. Поиск истины. М.: Мир, 1988.

12. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей.

13.Том I. Арифметика. Алгебра. Анализ. М.: Наука, 1987. 432 с.

14. Курант Р., Г. Роббинс. Что такое математика? 3-e изд., испр. и доп. — М.: 2001. 568 с.

15. Пуанкаре А. Наука и метод  «Занимательная математика»

16. Майкл Пилхофер, Холли Дей Теория музыки для "чайников"

17. Способин Игорь Владимирович Элементарная теория музыки. — М.: Кифара, 2003. — С. 182

18. Тюлин Юрий Николаевич Краткий теоретический курс гармонии. — М.: Музыка, 1978.