Муниципальное общеобразовательное учреждение

г. Иркутска

средняя общеобразовательная школа №63

 Проект по теме: «арифметическая прогрессия»

Исполнитель: учащаяся 8А класса

МАОУ г. Иркутска СОШ №63

Виноградова Ирина

Руководитель: учитель математики

первой категории МАОУ г. Иркутска

СОШ №63

Бакулина Анна Васильевна

Иркутск, 2020

Оглавление

Введение        2

1.Основные понятия арифметической прогрессии        3

1.1. История возникновения арифметической прогрессии.        3

1.2. Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена и формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.        5

2. Задачник на тему арифметической прогрессии        6

Заключение        13

Литература        14

Введение

С начала нашей эры известна задача-легенда:

«Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал на первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую – два зерна, за третью – четыре и т. д. Оказалось, что царь не был в состоянии выполнить это «скромное» желание Сеты». Какие же знания нужны для решения данной задачи.

Актуальность: Потребность в дополнительных знаниях по данной теме, связь с жизнью.

Объект: задачи арифметической прогрессии

Предмет исследования: задачи арифметической прогрессии, входящие в школьный курс математики.

Цель: задачи арифметической прогрессии, входящие в школьный курс математики.

Задачи исследования:

Научиться

1. Сбор информации по данной теме;
2. Поиск и решение интересных и нестандартных задач по арифметической прогрессии.
3. Создать задачник по теме арифметическая прогрессия

1.Основные понятия арифметической прогрессии

 «Прогресс – движение вперёд». С латинского языка слово «прогресс» буквально и означает «движение вперед»

Что же такое арифметическая прогрессия?

1.1. История возникновения арифметической прогрессии.

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.

Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях.

На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий Архимед.

Термин «прогрессия» был введён римским автором Боэцием и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Название «арифметическая» была перенесена из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим учёным Диофантом. Правило нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книга абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский).

В XVIII веке в английских учебниках появились обозначения арифметической прогрессии.

Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в веке до н.э. греки знали прогрессии и их суммы:

Задача из египетского папируса Ахмеса:

«Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры».

Задача:

Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем потребовал за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую – 2 зерна, за третью – 4 зерна и т.д.. Обрадованный царь посмеялся над Сетой и приказал выдать ему такую «скромную» награду. Стоит ли царю смеяться?

Ответ: Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться с Сетом. Такое количество зерна пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Задача из арифметики Магницкого.

Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, обретя лошадь, раздумал и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчёта покупать за эту цену лошадь, которая этих денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия: «Если по-твоему цена лошади высока, то купи её подковные гвозди, а лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне 1/4 коп., за вторую – ½ коп., за третью – 1 коп., и т.д.». Покупатель, соблазнённый низкой ценой, и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить не более 10 рублей.

Прогрессия в литературе.

Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями. Так, вспомним строки из «Евгения Онегина». «… Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить …».

Ямб - это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2, 4, 6, 8,…стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разность прогрессии 2.

Пример ямба:

Мороз и солнце! День чудесный!

Ещё ты дремлешь, друг прелестный...

Можно заметить, что ударение падает только на вторую долю.

Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7,…

Пример хорея:

Мчаться тучи, вьются тучи

Невидимкою луна…

Здесь можно заметить, что ударение падает только на первую долю.

Прогрессии в жизни и быту.

Для решения некоторых задач по физике, геометрии, биологии, химии, экономике, строительному делу используются формулы арифметической и геометрической прогрессий.

1.2. Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена и формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия- это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Иными словами, можно сказать, что арифметическая прогрессия — это числовая последовательность (), заданная рекуррентно соотношениями

+

При этом n = 1, 2, 3, 4

Где, a и d являются заданными числами.

То есть, такая числовая последовательность,

как считается арифметической прогрессией.

Иначе говоря, числовая последовательностьявляется арифметической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие  = +.  Из этого равенства следует равенство     -=  которая означает, что разница между любым следующим и предыдущим членами арифметической прогрессии равна

Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т.д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен. Поэтому придумали формулу n-го члена арифметической прогрессии:

2. Задачник на тему арифметической прогрессии

Задача 1

Какая разность арифметической прогрессии 10, 5, 0, -5?

Решение:
Разность арифметической прогрессии равен -5.

Задача 2

 Образуют ли числа 2, 6, 10, 12, 16 ... арифметическую прогрессию?

Решение:
Числа не образуют арифметической прогрессии.
Если бы они образовывали, то это были бы числа 2, 6, 10, 14, 18.

Задача 3

Найдите сумму первых 10 натуральных чисел.

Решение:
Как мы знаем, натуральные числа образовывают арифметическую прогрессию c Поэтому

Задача 4

 Пустьесть арифметической прогрессией. Если  и =7, найдите

Решение:
Так как есть арифметической прогрессией, разница между любыми двумя последовательными членами одна и та же и она равна . Формула для n-го члена есть подставляя n=11 мы получаем  

 Задача 5

Пусть ​ есть арифметической прогрессией, для которой d =12 и = 43. Найдите

Решение:

. Подставляем =3 и получаем

Задача 6

Пусть ​ есть арифметической прогрессией. Если, определите .

Решение:

. Так как ​ есть арифметической прогрессией, . Подставляем значение ​ и получаем

Задача 7

Пусть ​ есть арифметической прогрессией, для которой. Найдите

Решение:
, тогда

Задача 8

Пусть ​ есть арифметическая прогрессия, для которой

. Найдите разницу прогрессии

Решение:

Задача 9

Найдите разницу арифметической прогрессии

Решение:

. Вычитая последнее из первого, мы получим , и тогда , что означает, что

Задача 10

Пусть будет арифметической прогрессией, для которой . Найдите сумму первых десяти членов.

Решение:

 следовательно

Задача 11

В арифметической прогрессии 10 членов. Сумма членов с четными номерами равна 25, а сумма членов с нечетными номерами равна 10. Найдите седьмой член прогрессии.

Решение:

четные члены:
a+(а+2d)+(а+4d)+(а+6d)+(а+8d)=5a+20d=10
нечетные члены:
(а+d)+(а+3d)+(а+5d)+(а+7d)+(а+9d)=5a+25d=25

Имеем систему:
5a+20d=10
5a+25d=25
a+4d=2
a+5d=5
Вычитаем из 2-го 1-е:
d=3
a+4d=a+43=2
a+12=2
a= -10
Седьмой член=a+6d= -10+63= -10+18=8

Задача 12

Тринадцатый член арифметической прогрессии равен 5. Найдите сумму первых 25 ее членов.

Решение:

a13 = a1 + d(13 - 1) = a1 + 12d;
S25 = (( 2a1 + 24d) · 25:2 = 2(a1 + 12d) · 25:2 = 2 · 5· 25:2 = 125;

Задача 13

Дана арифметическая прогрессия: -4;-2;0…Найдите сумму первых десяти её членов.

Решение:

Задача 14

Дана арифметическая прогрессия (): -7; -5; -3…Найдите .

Решение:

Задача 15

Записаны первые три члена арифметической прогрессии: 20; 17; 14. Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 91-м месте?

Решение:

Задача 16

В арифметической прогрессии сумма восьми первых членов равна 32, а сумма двадцати первых членов равна 200. Найдите сумму первых 28 членов этой прогрессии.

Решение:

, отсюда   

Задача 17

В арифметической прогрессии 3; 6; 9; ... содержится 463 члена, в арифметической прогрессии 2; 6;10; ... содержится 351 член. Сколько одинаковых членов содержится в этих прогрессиях?

Решение:

1)В первой прогрессий разность членов равна 6-3=3

2)В второй прогрессий разность членов равна 6-2=4

1. 3.6.9.12.15.18.21.24.27.30.33.36.39.42.45.48.51.54

463-2=461  

461:4=115  

     2) 2.6.10.14.18.22.26.30.34.38.42.46.50.54

351-2=349

349:3=116  

Задача 18

Если является арифметической прогрессией, для которой ,найдите

Решение:

Задача 19

Начало формы

Если ​ есть арифметическая прогрессия, для которой , найдите

Решение:

Задача 20

Найдите разницу арифметической прогрессии ​, для которой

Решение:

Заключение

В ходе работы было установлено, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл. Также мы убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также, как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни.

Мы выяснили, какие ученые внесли свой вклад в развитие теории прогрессий и как теоретические знания применяются на практике в современной жизни.

Много задач с практическим содержанием в учебниках по математике для 9 класса. Сделав анализ задач, мы увидели, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях.

На основе полученных данных можно сделать вывод о том, что знания арифметической и геометрической прогрессий помогают человечеству решать многие проблемы. Арифметическая и геометрическая прогрессии не только связаны с красивыми задачами и легендами прошлого, но и позволяют изучать часто встречающиеся на практике процессы.

В 9 классе мы добавим нестандартные задачи арифметической прогрессии.

Литература

1. М. Л.  Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич «Сборник задач по алгебре 8-9 классы»- Издательство: «Просвещение»-Москва, 2019.
2. Ю. Н. Макрывичев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова-«Учебник по алгебре 9 класс»-Издательство: «Просвещение»-Москва, 2011.
3. Федеральный институт педагогических измерений: www.fipi.ru