1. Введение |
2. Основная часть |
2.1 Определение вневписанной окружности, ее центр и радиус |
2.2 Применение вневписанной окружности и ее свойств к решению задач |
2.2.1 Задачи на доказательство. |
2.2.2 Задачи на построение. |
2.2.3 Стереометрические задачи. |
3. Заключение |
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 2.37 МБ |
![]() | 307.87 КБ |
Слайд 1
Выполнила: ученица 11 «А» класса, школы № 146 Мазурова Надежда АлександровнаСлайд 2
Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать. Г.Галилей
Слайд 4
Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других. Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, почему они и получили название вневписанных .
Слайд 5
Радиусом вневписанной окружности является отрезок перпендикуляра, проведённый из центра окружности к какой-либо стороне треугольника или её продолжению.
Слайд 6
Биссектриса внутреннего угла ВАС треугольника АВС и биссектрисы двух внешних углов при вершинах В и С пересекаются в одной точке
Слайд 8
Пусть K - точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны АС треугольника АВС. Тогда длина отрезка равна полупериметру треугольника АВС.
Слайд 10
Задача 1 . В равнобедренный треугольник с основанием 12 вписана окружность, к ней проведены три касательные так, что они отсекают от данного треугольника три малых треугольника. Сумма периметров малых треугольников равна 48. Найдите боковую сторону данного треугольника. Решение
Слайд 11
Окружность с центром O - вневписанная окружность треугольников EAL, BKF и PDC. Поэтому AM = P Δ EAL , BM = P Δ BKF, BQ = P Δ BKF, QC = P Δ PCD, CN = P Δ PDC, AN = P Δ EAL . Из этого следует, что P ΔABC = P ΔEAL + P ΔBKF + P ΔPCD = 48 Значит, AB = = = 18
Слайд 12
Задача2. Построить треугольник по периметру и двум углам. Дано: углы α и β ,периметр треугольника P. Решение
Слайд 13
Построение: 1. Построить отрезок, равный полупериметру (AK). 2. Из точки А построить данный по условию угол α, а из точки К восстановить перпендикуляр. 3. Построить биссектрису угла САВ. 4. Построить окружность с центром в точке пересечения биссектрисы угла А с перпендикуляром О К и радиусом О К. 5. На отрезке АК построить второй данный угол β так, чтобы его луч был касательной к окружности. 6. Данная касательная пересечет вторую сторону угла в точке В. ABC - искомый.
Слайд 14
При решении задач, связанных с пирамидой, я руководствовалась следующими утверждениями. Утверждение 1 а) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания является центром вписанной окружности в многоугольник, лежащий в основании; б) высоты боковых граней-треугольников, проведённые из вершины пирамиды, равны и лежат на соответствующих боковых гранях; в)двугранные углы при основании пирамиды равны. Утверждение 2 а)ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания равноудалена от прямых, содержащих стороны основания пирамиды; б)высоты боковых граней- треугольников, проведённые из вершины пирамиды, равны; в)плоскости боковых граней образуют равные углы с плоскостью основания.
Слайд 15
Задача 3. В основании пирамиды, все плоскости боковых граней которой наклонены к плоскости основания под углом α , лежит правильный треугольник со стороной а Найти объем пирамиды. Решение Пусть SABC - данная пирамида, O - ортогональная проекция вершины S на плоскость основания AB , AC и BC . Имеем два случая расположения точки O :
Слайд 16
V = S осн · h , 1.Вершина тетраэдра проектируется в центр вписанной окружности
Слайд 17
V = S осн · h , , tgα = , h = r a tgα = tgα 2. Вершина тетраэдра проектируется в центр вневписанной окружности S осн = Ответ :
Слайд 18
В заключение хочу ещё раз сказать, что геометрия начинается с треугольника. Треугольник неисчерпаем. Две с половиной тысячи лет постоянно открываются его новые свойства. Мне было интересно познакомиться с вневписанной окружностью, так как решение некоторых геометрических задач связано с использованием этого понятия. Таким образом, я расширила свои знания в области геометрии касаемо треугольника и его замечательных линий и точек.
Содержание
1. Введение | 2 |
2. Основная часть | 3 |
2.1 Определение вневписанной окружности, ее центр и радиус | 3 |
2.2 Применение вневписанной окружности и ее свойств к решению задач | 5 |
2.2.1 Задачи на доказательство. | 5 |
2.2.2 Задачи на построение. | 10 |
2.2.3 Стереометрические задачи. | 11 |
3. Заключение | 13 |
4. Литература | 13 |
Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.
Г.Галилей
1. Введение
Действующие школьные программы по математике не предусматривают изучение понятия вневписанной окружности треугольника. Вневписанная окружность представляется изысканным элементом геометрии треугольника. А вот знакомство с ней зачастую ограничивается определением, нахождением ее центра и решением нескольких популярных задач. Но при более подробном знакомстве с вневписанной окружностью можно увидеть в ней скрытую красоту и силу, можно рассматривать ее как подспорье в решении геометрических задач. Простейший из многоугольников - треугольник играет в геометрии особую роль. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о "геометрии треугольника" как о самостоятельном разделе элементарной геометрии. Первые упоминания о треугольнике и его свойствах мы находим в египетских папирусах, которым более 4000 лет. Через 2000 лет в Древней Греции изучение свойств треугольника достигает высокого уровня - достаточно вспомнить теорему Пифагора и формулу Герона. Центральное место в геометрии треугольника занимают свойства замечательных точек и линий:
Если рассмотреть дополнительно биссектрисы трех пар внешних углов треугольника, то получаются еще три замечательные точки - центры вневписанных окружностей.
2. Основная часть
Цель моей работы:
Дать определение вневписанной окружности и её элементов;
Показать применение свойств вневписанной окружности к решению задач на построения и доказательства.
2.1 Определение вневписанной окружности, ее центр и радиус
Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других.
Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, поэтому они и получил название вневписанных.
Центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника.
Доказательство этого следует из основного свойства биссектрисы угла: все точки, лежащие на ней, равноудалены от сторон угла.
С другой стороны, центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.
Данное свойство вытекает из следующей теоремы.
Теорема 1. Биссектриса внутреннего угла BAC треугольника ABC и биссектрисы двух внешних углов при вершинах B и C пересекаются в одной точке.
Доказательство: Проведем внешние биссектрисы из вершин B и C. Пусть они пересекаются в точке Oa. Докажем, что биссектриса угла BAC проходит через точку Oa. Все точки биссектрисы COa равноудалены от сторон угла, значит, расстояние от точки Oa до прямых BC и AC равны, так как Oa лежит на биссектрисе углаBCK1, то есть OaK1 = OaK3.
Аналогично равны расстояния от точки Oa до прямых BC и AB - OaK2 = OaK3. Тогда очевидно, что точка Oa равноудалена от прямых AC и AB, то есть лежит на биссектрисе угла BAC.
Из теоремы 1 следует существование окружности с центром в точке Oa, касающейся прямых AC, AB и BC. Данную окружность и называют вневписанной окружностью.
Радиусом вневписанной окружности является отрезок перпендикуляра, проведенного из центра окружности к какой-либо стороне треугольника или ее продолжению.
Теорема 2. Пусть K1 - точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны АС треугольника АВС. Тогда длина отрезка АК1 равна полупериметру треугольника АВС.
Доказательство:
Пусть точки К2 и К3 – точки касания вневписанной окружности с прямыми АВ и ВС соответственно. Тогда СК1 = СК3, ВК2 = ВК3 и периметр треугольника АВС равен 2р = АС + СВ + АВ = АС + СК3 + ВК3 + АВ = АС + СК1 + АВ + ВК2 = АК1 + АК2. А так как АК1 =АК2, то р = АК1, что и требовалось доказать.
2.2 Применение вневписанной окружности и ее свойств к решению задач
2.2.1 Задачи на доказательство.
Задача 1.Две непересекающиеся окружности с радиусами R1 и R2 касаются сторон прямого угла с вершиной A. Общая внутренняя касательная с окружностями пересекает стороны угла в точках B и C. Найти площадь треугольника ABC.
Решение: Так как обе окружности касаются сторон угла, то одна из них будет вписанной в треугольник ABC, а другая вневписанной. Пусть R1 < R2 , где R1 и R2 - соответственно радиусы вписанной и вневписанной окружности. Если O - центр вневписанной окружности, а точки K и M - ее точки касания со сторонами угла A, легко доказать, что AKOM - квадрат со стороной R2. По теореме 2 AK == p. Но так как AK = R2, то p =R2. А R1 =
. Отсюда следует, S = R1 × p, R1 × R2 .
Ответ: S = R1 × R2 .
Задача 2. К двум непересекающимся окружностям проведены две общие внешние касательные и общая внутренняя касательная. Докажите, что отрезок внутренней касательной, заключенный между внешними касательными, равен отрезку внешней касательной, заключенному между точками касания.
Решение: Пусть даны две окружности. Точки касания окружностей с первой внешней касательной - A и B, со второй - C и D.
Внутренняя касательная пересекает внешние в точках M и N. Продолжим прямые AB и CD до их пересечения в точке K. Тогда окружность с центром O2 является вписанной в треугольник MNK, а окружность с центром O1 - вневписанной. Обозначим сторону MN треугольника MNK - а и его полупериметр - p. Тогда (по т. 2)AK = p и BK = p - a.
Значит, AB = a, то есть AB = MN. Аналогично CD = MN.
Задача 3. В равнобедренный треугольник с основанием 12 вписана окружность, к ней проведены три касательные так, что они отсекают от данного треугольника три малых треугольника. Сумма периметров малых треугольников равна 48. Найдите боковую сторону данного треугольника.
Решение:
1. P = PΔEAL + PΔBKF + PΔPDC
2. Окружность с центром O - вневписанная окружность треугольников EAL, BKF и PDC. Поэтому AM = PΔEAL , BM =
PΔBKF, BQ =
PΔBKF, QC =
PΔPCD, CN =
PΔPDC, AN =
PΔEAL .
Из этого следует, что PΔABC = PΔEAL + PΔBKF + PΔPCD = 48.
Значит, AB = =
= 18.
Ответ: 18.
Задача 4. Прямые PA и PB касаются окружности с центром O (A и B - точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки PA и PB в точках X и Y. Докажите, что величина угла XOY не зависит от выбора третьей касательной.
Решение: Так как касательные PA и PB пересекаются, то угол APB обозначит . Точки X и Y лежат соответственно на отрезках PA и PB, поэтому данная окружность будет вневписанной для треугольника XPY. Центр окружности лежит на пересечении биссектрис, значит
XYO =
OYB =
,
OXY =
OXA =
. Величина угла XOY соответственно равна
XOY = 180
- (
+
).В треугольнике PXY
1 =180 - 2
,
2 = 180 - 2
. Величина угла APB заданная, тогда имеем: 2
+ 2
- 180
=
,
+
- 90
=
,
+
= 90
+
. Величина угла XOY соответственно равна:
XOY = 180
- (
+
) = 180
- (90
+
)= 90
-
и не зависит от выбора третьей касательной.
Задача 5.
Найдите радиусы вписанной и вневписанной окружностей треугольника со сторонами 5, 12, 13.
Решение: Если a и b - катеты прямоугольного треугольника, а c - его гипотенуза, то искомые радиусы будут равны:
Таким образом,
По-другому:
Ответ:
Задача 6.
В треугольнике ABC с периметром 2p величина острого угла BAC равна a. Окружность с центром в точке O касается стороны BC и продолжения сторон AB и AC в точках K,L и M соответственно. Точка D лежит внутри отрезка AK, AD=a. Найдите площадь треугольника DOK.
По теореме 2: , так как
.
Отсюда следует, что
Ответ:
2.2.2 Задачи на построение
Задача 7. Построить треугольник по периметру и двум углам.
Дано: углы и
,периметр треугольника P.
Построение:
1.Постороить отрезок, равный полупериметру (AK).
2.Из точки А построить данный по условию угол α, а из точки К восстановить перпендикуляр.
3. Построить биссектрису угла САВ.
4. Построить окружность с центром в точке пересечения биссектрисы угла А с перпендикуляром ОК и радиусом ОК.
5. На отрезке АК построить второй данный угол β так, чтобы его луч был касательной к окружности.
6. Данная касательная пересечет вторую сторону угла в точке В.
ABC - искомый.
2.2.3 Стереометрические задачи
При решении задач, связанных с пирамидой, я руководствовалась следующими утверждениями.
Утверждение 1.Следующие три предложения равносильны:
а) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания является центром вписанной окружности в многоугольник, лежащий в основании;
б) высоты боковых граней-треугольников, проведённые из вершины пирамиды, равны и лежат на соответствующих боковых гранях;
в)двугранные углы при основании пирамиды равны.
Утверждение 2.Следующие три предложения равносильны:
а) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания равноудалена от прямых, содержащих стороны основания пирамиды;
б) высоты боковых граней- треугольников, проведённые из вершины пирамиды, равны;
в) плоскости боковых граней образуют равные углы с плоскостью основания.
Задача 8. В основании пирамиды, все плоскости боковых граней которой наклонены к плоскости основания под углом , лежит правильный треугольник со стороной а. Найти объем пирамиды.
Решение: Пусть SABC - данная пирамида, O - ортогональная проекция вершины S на плоскость основания AB, AC и BC. Имеем два случая расположения точки O:
1.Вершина тетраэдра проектируется в центр вписанной окружности.
V = Sосн
h
tg α = , h = r
tg α, Sосн =
,
2.Вершина тетраэдра проектируется в центр вневписанной окружности.
Ответ:
1);
2)
3. Заключение
В заключение хочу ещё раз сказать, что геометрия начинается с треугольника. Треугольник неисчерпаем. Две с половиной тысячи лет постоянно открываются его новые свойства. А так как в школьной программе не предусматривается изучение понятия вневписанной окружности треугольника, то мне было интересно познакомиться с ним, так как решение некоторых геометрических задач связано с использованием этого понятия. Таким образом, я расширила свои знания в области геометрии касаемо треугольника и его замечательных линий и точек.
4. Литература
Весенняя гроза
Тупое - острое
Рисуем осенние листья
Цветущая сакура
Привередница