Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Кыштовская средняя общеобразовательная школа №1                                                                                            с.Кыштовки Кыштовского района Новосибирской области                                                                                                   Адрес: 632270 с.Кыштовка Кыштовского района ул. Садовая, 14                                                                                            Тел. 8-383-71-21-060

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА НА ТЕМУ:

« Загадочное число π »

                                   Выполнила работу ученица 7 «А» класса:

Крючкова Виктория

                                                 Руководитель: Голикова Татьна Валерьевна

2016-2017 гг.

Оглавление

Введение        3

Основное содержание        3

История появления числа π        3

Дополнительные факты о числе π        5

Практическое вычисление числа π        6

Простейшее измерение        6

Измерение с помощью взвешивания        6

Метод Монте-Карло        7

Метод “падающей иголки”        9

Заключение        10

Список литературы        11

Введение    

      С числом π я впервые познакомилась в 6 классе на уроках математики, когда мы изучали тему: « Длина окружности. Площадь круга ». Учитель рассказал нам о том, что число π является одним из самых загадочных  чисел, которое встречается не только в математике, но и в других школьных дисциплинах. С ним связано много интересных фактов. А недавно было установлено, что именно π отвечает за саму структуру ДНК, что произвело эффект разорвавшейся бомбы! Поэтому этот вопрос меня заинтересовал, и я решила узнать больше о числе.

Гипотеза . Предполагаю, что число  интересно, его помнят и оно находит свое  применение в жизни.

Цель работы: Исследовать и систематизировать информацию о числе  в математике и жизни.

Задачи работы:

1. Изучить литературу с целью получения информации об истории числа π;
2. Установить некоторые интересные факты о числе π;
3. Провести эксперименты по вычислению приближенного значения числа π.

Основное содержание.

История появления числа π.

История числа π, выражающего отношение длины окружности к её диаметру, началась в Древнем Египте. Площадь круга диаметром d египетские математики определяли как (d-d/9)2 (эта запись дана здесь в современных символах). Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число p считали равным дроби (16/9)2, или 256/81, т.е. p = 3,160...

В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число p в то время принимали равным , что даёт дробь 3,162...

Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата. Следует заметить, что на протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом.

Архимед в III в. до  н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" три положения:

Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;

Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14;

Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71.

Последнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных описанного и

          Архимед    вписанного шестиугольников, затем двенадцатиугольников и т.д., доведя  вычисления до периметров правильного вписанного и описанного многоугольников с 96 сторономи. По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3*10/71 и 3*1/7, а это означает, что π = 3,1419... Истинное значение этого отношения 3,1415922653...

В V в. до н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение этого числа: 3,1415927...

Впервой половине XV в. обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил π с 16 десятичными знаками. Он сделал 27 удвоений числа сторон многоугольников и дошёл до многоугольника, имеющего 3*228 углов. Ал-Каши произвёл уникальные расчёты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом в 1'. Эти таблицы сыграли важную роль в астрономии.

Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет   нашёл число π только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Ф.Виет первым заметил, что p можно отыскать, используя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, так как позволило вычислить π с какой угодно

      Ф.Виет  точностью. Только через 250 лет после ал-Каши его результат был превзойдён.

Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом π английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова "periferia", что в переводе означает "окружность". Введённое У.Джонсоном обозначение стало обшеупотребительным после опубликования работ Л.Эйлера, который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г.

В конце XVIII в. А.М.Лажандр на основе работ И.Г.Ламберта доказал, что число p иррационально. Затем немецкий математик Ф.Линдеман, опираясь на исследования Ш.Эрмита, нашёл строгое доказательство того, что это число не только иррационально, но и трансцендентно, т.е. не может быть корнем алгебраического уравнения. Из последнего следует, что с помощью только циркуля и линейки построить отрезок, равный по длине окружности, н е в о з м о ж н о, а следовательно, не существует решения задачи о квадратуре круга.

Поиски точного выражения π продолжались и после работ Ф.Виета. В начале XVII в. голландский математик из Кёльна Лудольф ван Цейлен (1540-1610)  (некоторое историки его называют Л.ван Кейлен) нашёл 32 правильных знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа π с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа.

К концу XIX в., после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа π. Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.

После разработки методов дифференциального и интегрального исчисления 0 было найдено много формул, которые содержат число "пи". Некоторые из этих формул позволяют вычислить "пи" приёмами, отличными от метода Архимеда и более рациональными. Например, к числу "пи" можно прийти, отыскивая пределы некоторых рядов. Так, Г.Лейбниц (1646-1716) получил в 1674 г. ряд

1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... =π/4,

который дал возможность вычислить π более коротким путём, нежели Архимед.

Ещё более удобную формулу для вычисления π получил Дж.Мачин. Пользуясь этой формулой, он вычислил π (в 1706 г.) с точностью до 100 верных знаков. Хорошее приближение для "пи" даёт выражение

p =

Однако следует помнить, что это равенство надо рассматривать как приближённое, т.к. правая часть его - число алгебраическое, а левая - трансцендентное, следовательно, эти числа равными быть не могут.

В наше время труд вычислителей заменили ЭВМ. С их помощью число "пи" вычислено с точностью более миллиона знаков после запятой, причём эти вычисления продолжались только несколько часов.

Дополнительные факты о числе π

1.Памятник числу «пи» на ступенях перед зданием Музея искусств в Сиэтле .

2.Древние египтяне и Архимед принимали величину  от 3 до 3,160, арабские математики считали число.

3.Мировой рекорд по запоминанию знаков числа  после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки. В том же 2006 году японец Акира Харагути заявил, что запомнил число  до 100-тысячного знака после запятой, однако проверить это официально не удалось.

4.В штате Индиана (США) в 1897 году был выпущен билль, законодательно устанавливающий значение числа Пи равным 3,2. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора университета Пердью, присутствовавшего в законодательном собрании штата во время рассмотрения данного закона.

5.«Число Пи для гренландских китов равно трем» написано в «Справочнике китобоя» 1960-х годов выпуска.

6.По состоянию на 2010 год вычислено 5 триллионов знаков после запятой.

7.По состоянию на 2011 год вычислено 10 триллионов знаков после запятой.

8.Существует художественный фильм, названный в честь числа Пи.

9.Неофициальный праздник «День числа пи» ежегодно отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа. Считается,  что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи = 3,14159.

10.Ещё одной датой, связанной с числом , является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа .

Практическое вычисление числа π

Простейшее измерение

    Начертим на плотном картоне окружность диаметра d (=15 см), вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тонкую нить . Измерив длину l (=46,5 см) одного полного оборота нити, разделим l на длину диаметра d окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числа , т. е.  = l / d = 46,5 см / 15 см = 3,1. Данный довольно грубый способ дает в обычных условиях приближенное значение числа  с точностью до 1.

Наши вычисления данным методом:

Вывод: отношение длины окружности к длине диаметра приближенно равно 3,14, т.е числу π.

Измерение с помощью взвешивания

    На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квадрата круг. Взвесим и его. Зная массы квадрата mкв (=10 г) и вписанного в него круга mкр (=7,8 г) воспользуемся формулами

где p и h –соответственно плотность и толщина картона, S – площадь фигуры. Рассмотрим равенства:

Отсюда

Естественно, что в данном случае приближенное значение  зависит от точности взвешивания. Если взвешиваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможно даже на обычных весах получить такие значения масс, которые обеспечат приближение числа  с точностью до 0,1.

Наши вычисления данным методом:

Вывод: отношение 4M к N ( M-масса круга , вписанного в квадрат, N-масса квадрата, вырезанного из картона ) приближенно равно числу π.

Метод Монте-Карло

Это фактически метод статистических испытаний. Свое экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить случайные числа и при помощи …дождя.

Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть Nкр – число капель в круге, Nкв – число капель в квадрате, тогда

Дождь можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе. Каждому следу капли поставим в соответствие два случайных числа, характеризующих его положение вдоль осей Ох и Оу. Случайные числа можно выбрать из таблицы в любом порядке, например, подряд. Пусть первое четырехзначное число в таблице 3265. Из него можно приготовить пару чисел, каждое из которых больше нуля и меньше единицы: х=0,32, у=0,65. Эти числа будем считать координатами капли, т. е. капля как будто попала в точку (0,32; 0,65). Аналогично поступаем и со всеми выбранными случайными числами. Если окажется, что для точки (х; у) выполняется неравенство, то, значит, она лежит вне круга. Если х + у = 1, то точка лежит внутри круга.

Для подсчета значения  снова воспользуемся формулой (1). Ошибка вычислений по этому методу, как правило, пропорциональна , где D – некоторая постоянная, а N –число испытаний. В нашем случае N = Nкв. Из этой формулы видно: для того чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N, т. е. объем работы, в 100 раз. Ясно, что применение метода Монте-Карло стало возможным только благодаря компьютерам. Программа 2 реализует на компьютере описанный метод.

Программа 2

REM "Вычисление пи"

 REM "Метод Монте-Карло "

 INPUT "Введите число капель ", n

 m = 0

 FOR i = 1 TO n

 t = INT(RND(1) * 10000)

 x = INT(t \ 100)

 y = t - x * 100

 IF x ^ 2 + y ^ 2 < 10000 THEN m = m + 1

 NEXT i

 p = 4 * m / n

 PRINT "значение пи равно"; π

 END

Программа была набрана и запущена при различных значениях параметра n. Полученные значения числа  записаны в таблице:

Метод “падающей иголки”

Возьмем обыкновенную швейную иголку и лист бумаги. На листе проведем несколько параллельных прямых так, чтобы расстояния между ними были равны и превышали длину иголки. Чертеж должен быть достаточно большим, чтобы случайно брошенная игла не упала за его пределами. Введем обозначения: а- расстояние между прямыми, l – длина иглы.

Метод падающей иголки

Положение случайным образом брошенной на чертеж иглы определяется расстоянием Х от ее середины до ближайшей прямой и углом j , которой игла образует с перпендикуляром, опущенным из середины иглы на ближайшую прямую. Ясно, что

Угол падения иглы

На рис. 12 изобразим графически функцию y=0,5 cosx . Всевозможные расположения иглы характеризуются точками с координатами (x; у ), расположенными на участке ABCD. Закрашенный участок AED – это точки, которые соответствуют случаю пересечения иглы с прямой. Вероятность события a – “игла пересекла прямую” – вычисляется по формуле:

Вероятность p(a) можно приблизительно определить многократным бросанием иглы. Пусть иглу бросали на чертеж c раз и p раз она упала, пересекая одну из прямых, тогда при достаточно большом  c имеем p(a) = p / c. Отсюда  = 2 l с / a k.

Замечание. Изложенный метод представляет собой вариацию метода статистических испытаний. Он интересен с дидактической точки зрения, так как помогает совместить простой опыт с составлением довольно сложной математической модели.

Заключение.

               Из курса школьной математики я узнала, что число Пи (греческая буква π) - это математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Число Пи иррационально и бесконечно. Существует масса формул, которые вычисляют эту константу, формулы эти были выведены как древними учеными, так и современными математиками.

Большинство из нас будут удивлены, узнав, сколько людей интересуется числом π.

Любой школьник сегодня должен знать, что обозначает число ПИ и чему оно равно хотя бы до второго знака после запятой.    Поскольку с этим числом связано много различных формул. И их количество возрастает. Все это говорит о том, что интерес к этой важной математической константе не угасает и в наши дни.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Поскольку с этим числом связано много формул как в математике, так и физике. И их количество возрастает. Все это говорит о том, что интерес к этой важнейшей математической константе не угасает и в наши дни.

Список литературы

1. Жуков А.В. Вездесущее число Пи.- М.:URSS,2012, 240 с.

2. Звонкин А. Что такое p // Квант, 1978 №11.

3. Кымпан Ф. История числа p. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987, 138 с.

4. Райк А.Е. Очерки по истории математики в древности. - Саранск, 1987, 95 с.