Работа ученицы 7 класса.
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 76.11 КБ |
Кыштовская средняя общеобразовательная школа №1 с.Кыштовки Кыштовского района Новосибирской области Адрес: 632270 с.Кыштовка Кыштовского района ул. Садовая, 14 Тел. 8-383-71-21-060
Выполнила работу ученица 7 «А» класса:
Крючкова Виктория
Руководитель: Голикова Татьна Валерьевна
2016-2017 гг.
Оглавление
Дополнительные факты о числе π 5
Практическое вычисление числа π 6
Измерение с помощью взвешивания 6
Заключение 10
Гипотеза . Предполагаю, что число интересно, его помнят и оно находит свое применение в жизни.
Цель работы: Исследовать и систематизировать информацию о числе в математике и жизни.
Задачи работы:
Основное содержание.
История появления числа π.
История числа π, выражающего отношение длины окружности к её диаметру, началась в Древнем Египте. Площадь круга диаметром d египетские математики определяли как (d-d/9)2 (эта запись дана здесь в современных символах). Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число p считали равным дроби (16/9)2, или 256/81, т.е. p = 3,160...
В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число p в то время принимали равным , что даёт дробь 3,162...
Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата. Следует заметить, что на протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом.
Архимед в III в. до н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" три положения:
Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;
Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14;
Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71.
Последнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных описанного и
Архимед вписанного шестиугольников, затем двенадцатиугольников и т.д., доведя вычисления до периметров правильного вписанного и описанного многоугольников с 96 сторономи. По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3*10/71 и 3*1/7, а это означает, что π = 3,1419... Истинное значение этого отношения 3,1415922653...
В V в. до н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение этого числа: 3,1415927...
Впервой половине XV в. обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил π с 16 десятичными знаками. Он сделал 27 удвоений числа сторон многоугольников и дошёл до многоугольника, имеющего 3*228 углов. Ал-Каши произвёл уникальные расчёты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом в 1'. Эти таблицы сыграли важную роль в астрономии.
Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашёл число π только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Ф.Виет первым заметил, что p можно отыскать, используя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, так как позволило вычислить π с какой угодно
Ф.Виет точностью. Только через 250 лет после ал-Каши его результат был превзойдён.
Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом π английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова "periferia", что в переводе означает "окружность". Введённое У.Джонсоном обозначение стало обшеупотребительным после опубликования работ Л.Эйлера, который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г.
В конце XVIII в. А.М.Лажандр на основе работ И.Г.Ламберта доказал, что число p иррационально. Затем немецкий математик Ф.Линдеман, опираясь на исследования Ш.Эрмита, нашёл строгое доказательство того, что это число не только иррационально, но и трансцендентно, т.е. не может быть корнем алгебраического уравнения. Из последнего следует, что с помощью только циркуля и линейки построить отрезок, равный по длине окружности, н е в о з м о ж н о, а следовательно, не существует решения задачи о квадратуре круга.
Поиски точного выражения π продолжались и после работ Ф.Виета. В начале XVII в. голландский математик из Кёльна Лудольф ван Цейлен (1540-1610) (некоторое историки его называют Л.ван Кейлен) нашёл 32 правильных знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа π с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа.
К концу XIX в., после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа π. Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.
После разработки методов дифференциального и интегрального исчисления 0 было найдено много формул, которые содержат число "пи". Некоторые из этих формул позволяют вычислить "пи" приёмами, отличными от метода Архимеда и более рациональными. Например, к числу "пи" можно прийти, отыскивая пределы некоторых рядов. Так, Г.Лейбниц (1646-1716) получил в 1674 г. ряд
1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... =π/4,
который дал возможность вычислить π более коротким путём, нежели Архимед.
Ещё более удобную формулу для вычисления π получил Дж.Мачин. Пользуясь этой формулой, он вычислил π (в 1706 г.) с точностью до 100 верных знаков. Хорошее приближение для "пи" даёт выражение
p =
Однако следует помнить, что это равенство надо рассматривать как приближённое, т.к. правая часть его - число алгебраическое, а левая - трансцендентное, следовательно, эти числа равными быть не могут.
В наше время труд вычислителей заменили ЭВМ. С их помощью число "пи" вычислено с точностью более миллиона знаков после запятой, причём эти вычисления продолжались только несколько часов.
1.Памятник числу «пи» на ступенях перед зданием Музея искусств в Сиэтле .
2.Древние египтяне и Архимед принимали величину от 3 до 3,160, арабские математики считали число.
3.Мировой рекорд по запоминанию знаков числа после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки. В том же 2006 году японец Акира Харагути заявил, что запомнил число до 100-тысячного знака после запятой, однако проверить это официально не удалось.
4.В штате Индиана (США) в 1897 году был выпущен билль, законодательно устанавливающий значение числа Пи равным 3,2. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора университета Пердью, присутствовавшего в законодательном собрании штата во время рассмотрения данного закона.
5.«Число Пи для гренландских китов равно трем» написано в «Справочнике китобоя» 1960-х годов выпуска.
6.По состоянию на 2010 год вычислено 5 триллионов знаков после запятой.
7.По состоянию на 2011 год вычислено 10 триллионов знаков после запятой.
8.Существует художественный фильм, названный в честь числа Пи.
9.Неофициальный праздник «День числа пи» ежегодно отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа. Считается, что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи = 3,14159.
10.Ещё одной датой, связанной с числом , является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа .
Начертим на плотном картоне окружность диаметра d (=15 см), вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тонкую нить . Измерив длину l (=46,5 см) одного полного оборота нити, разделим l на длину диаметра d окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числа , т. е. = l / d = 46,5 см / 15 см = 3,1. Данный довольно грубый способ дает в обычных условиях приближенное значение числа с точностью до 1.
Наши вычисления данным методом:
Предмет | Длина окружности ( C ) | Диаметр ( d ) | |
Диск | 37,7 см | 12 см | 3,14166… |
Горлышко 2 л банки | 25,8 см | 8,2 см | 3,14634… |
Стакан | 25,8 см | 8,2 см | 3,14634… |
Монета – 10 рублей | 6,9 см | 2,2 см | 3,14636… |
Вывод: отношение длины окружности к длине диаметра приближенно равно 3,14, т.е числу π.
На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квадрата круг. Взвесим и его. Зная массы квадрата mкв (=10 г) и вписанного в него круга mкр (=7,8 г) воспользуемся формулами
где p и h –соответственно плотность и толщина картона, S – площадь фигуры. Рассмотрим равенства:
Отсюда
Естественно, что в данном случае приближенное значение зависит от точности взвешивания. Если взвешиваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможно даже на обычных весах получить такие значения масс, которые обеспечат приближение числа с точностью до 0,1.
Наши вычисления данным методом:
Размеры квадрата | Масса квадрата | Масса круга | |
12 | 17,77 г | 13,99 г | 3,1491… |
8,7 | 1,88 г | 1,46 г | 3,1063… |
Вывод: отношение 4M к N ( M-масса круга , вписанного в квадрат, N-масса квадрата, вырезанного из картона ) приближенно равно числу π.
Это фактически метод статистических испытаний. Свое экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить случайные числа и при помощи …дождя.
Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть Nкр – число капель в круге, Nкв – число капель в квадрате, тогда
Дождь можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе. Каждому следу капли поставим в соответствие два случайных числа, характеризующих его положение вдоль осей Ох и Оу. Случайные числа можно выбрать из таблицы в любом порядке, например, подряд. Пусть первое четырехзначное число в таблице 3265. Из него можно приготовить пару чисел, каждое из которых больше нуля и меньше единицы: х=0,32, у=0,65. Эти числа будем считать координатами капли, т. е. капля как будто попала в точку (0,32; 0,65). Аналогично поступаем и со всеми выбранными случайными числами. Если окажется, что для точки (х; у) выполняется неравенство, то, значит, она лежит вне круга. Если х + у = 1, то точка лежит внутри круга.
Для подсчета значения снова воспользуемся формулой (1). Ошибка вычислений по этому методу, как правило, пропорциональна , где D – некоторая постоянная, а N –число испытаний. В нашем случае N = Nкв. Из этой формулы видно: для того чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N, т. е. объем работы, в 100 раз. Ясно, что применение метода Монте-Карло стало возможным только благодаря компьютерам. Программа 2 реализует на компьютере описанный метод.
Программа 2
REM "Вычисление пи"
REM "Метод Монте-Карло "
INPUT "Введите число капель ", n
m = 0
FOR i = 1 TO n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t \ 100)
y = t - x * 100
IF x ^ 2 + y ^ 2 < 10000 THEN m = m + 1
NEXT i
p = 4 * m / n
PRINT "значение пи равно"; π
END
Программа была набрана и запущена при различных значениях параметра n. Полученные значения числа записаны в таблице:
Возьмем обыкновенную швейную иголку и лист бумаги. На листе проведем несколько параллельных прямых так, чтобы расстояния между ними были равны и превышали длину иголки. Чертеж должен быть достаточно большим, чтобы случайно брошенная игла не упала за его пределами. Введем обозначения: а- расстояние между прямыми, l – длина иглы.
Метод падающей иголки
Положение случайным образом брошенной на чертеж иглы определяется расстоянием Х от ее середины до ближайшей прямой и углом j , которой игла образует с перпендикуляром, опущенным из середины иглы на ближайшую прямую. Ясно, что
Угол падения иглы
На рис. 12 изобразим графически функцию y=0,5 cosx . Всевозможные расположения иглы характеризуются точками с координатами (x; у ), расположенными на участке ABCD. Закрашенный участок AED – это точки, которые соответствуют случаю пересечения иглы с прямой. Вероятность события a – “игла пересекла прямую” – вычисляется по формуле:
Вероятность p(a) можно приблизительно определить многократным бросанием иглы. Пусть иглу бросали на чертеж c раз и p раз она упала, пересекая одну из прямых, тогда при достаточно большом c имеем p(a) = p / c. Отсюда = 2 l с / a k.
Замечание. Изложенный метод представляет собой вариацию метода статистических испытаний. Он интересен с дидактической точки зрения, так как помогает совместить простой опыт с составлением довольно сложной математической модели.
Из курса школьной математики я узнала, что число Пи (греческая буква π) - это математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Число Пи иррационально и бесконечно. Существует масса формул, которые вычисляют эту константу, формулы эти были выведены как древними учеными, так и современными математиками.
Большинство из нас будут удивлены, узнав, сколько людей интересуется числом π.
Любой школьник сегодня должен знать, что обозначает число ПИ и чему оно равно хотя бы до второго знака после запятой. Поскольку с этим числом связано много различных формул. И их количество возрастает. Все это говорит о том, что интерес к этой важной математической константе не угасает и в наши дни. Поскольку с этим числом связано много формул как в математике, так и физике. И их количество возрастает. Все это говорит о том, что интерес к этой важнейшей математической константе не угасает и в наши дни.
1. Жуков А.В. Вездесущее число Пи.- М.:URSS,2012, 240 с.
2. Звонкин А. Что такое p // Квант, 1978 №11.
3. Кымпан Ф. История числа p. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987, 138 с.
4. Райк А.Е. Очерки по истории математики в древности. - Саранск, 1987, 95 с.
Что такое музыка?
Мастер-класс "Корзиночка"
Акварель + трафарет = ?
Лиса-охотница
О чем поет Шотландская волынка?