Легко и просто!

РАЙОННАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ШКОЛЬНИКОВ ПО ФИЗИКЕ И МАТЕМАТИКЕ «ИССЛЕДУЕМ И ПРОЕКТИРУЕМ»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Старомокшинская средняя общеобразовательная школа имени В.Ф.Тарасова» Аксубаевского муниципального района

Республики Татарстан

                                         Учебно-исследовательская работа

Легко и просто !

                                                                                 Автор:

                                                                                 Тарасова Ульяна Владимировна,

                                                                                 ученица 9 класса

                                                                                Руководитель:

                                                                                Зайцева Галина Геннадиевна,
                                                                               учитель математики

 Пос. МЮД

2017 год

Содержание

Введение.        3

1. Геометрическая интерпретация понятия |а|.        5

2. График функции у = f |(х)|.        6

3. График функции у = |f (х)| ………………………………………………………   7

4. График функции у = | f |(х)| |………………………………………………………9

Заключение.        11

Список использованной литературы.        12

Приложения………………………………………………………………………….13

Введение.

Натолкнуло меня на данное исследование следующее наблюдение: при подготовке к экзамену по математике встречаются задания с абсолютной величиной или модулем. Это могут быть задания на нахождение значений выражения, построение графика функции, аналитическая запись которой содержит знак абсолютной величины. Не все мои одноклассники берутся за выполнение таких заданий из страха перед модулем. Эта тема изучается в 6 классе, и не все ее хорошо помнят. Я решила помочь и им и себе.

Актуальность данного исследования состоит в том, что при выполнении второй части заданий ОГЭ по математике, возникает много трудностей при построении графиков функций, содержащих абсолютную величину.

Новизна данной работы заключается в том, что я исследовала функции и вывела алгоритмы построения их графиков. 

         Цель исследования:

• выявить алгоритм построения графиков функций, аналитическая запись

которых содержит знак абсолютной величины.

     Задачи исследования:

• изучить имеющуюся теоретическую литературу по проблеме;
• исследовать изменения графика функции в зависимости от расположения

знака абсолютной величины.

Объект исследования:

• функции, содержащие знак абсолютной величины.

Предмет исследования:

• закономерность графиков функций: у = f |(х)|, у = f |(х)|, у = | f |(х)| | ;
• изменения графика функции в зависимости от расположения знака

абсолютной величины.

•  Методы исследования:

• решение примеров на построение графиков; анализ полученных данных,

синтез и обобщение.

Теоретическая значимость работы: результаты данного исследования могут применяться не только на уроках математики 9 класса, но и по результатам исследования можно проводить подготовку к ЕГЭ учащихся 10 и 11 классов.

 Практическая значимость работы состоит в использовании приобретенных знаний по данной теме, а также углубление их и применение к другим функциям и уравнениям; в использовании навыков исследовательской работы в дальнейшей учебной деятельности. Исследования, проведенные в работе, окажут помощь учащимся при изучении темы, на которую в школьной программе отведено небольшое количество часов.  

1. Геометрическая интерпретация понятия |а|.

                                                                          Знание только тогда знание,

                                                                          когда оно приобретено усилиями

                                                                          своей мысли, а не памятью.

                                                                                                Л.Н.Толстой

Немного исторической справки. В первой половине XVII века начинает складываться представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Так, французские математики Пьер Ферма (1601 – 1665) и Рене Декарт (1596 – 1650) представляли себе функцию как зависимость ординаты точки кривой от ее абсциссы. А английский ученый Исаак Ньютон (1643 – 1727) понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки.

Термин «функция» (от латинского function – исполнение, совершение) впервые ввел немецкий математик Готфрид Лейбниц ( 1646 – 1716 ). У него функция связывалась с геометрическим образом (графиком функции). В дальнейшем швейцарский математик Йоганн Бернулли ( 1667 – 1748 ) член Петербургской Академии наук знаменитый математик XVIII века Леонард Эйлер  ( 1707 – 1783 ) рассматривали функцию как аналитическое выражение. У Эйлера имеется и общее понимание функции как зависимости одной переменной величины от другой.

Понятие «модуль» одно из самых интересных понятий в математике. Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово, которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

В архитектуре – это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике – это термин, применяемый в различных областях, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и так далее.

Модуль объемного сжатия (в физике) – отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

Перейду непосредственно к геометрической интерпретации модуля. Каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, эта точка будет геометрическим изображением данного действительного числа. Каждой точке числовой прямой соответствует ее расстояние от начала отсчете, или длина отрезка, начало которого в точке начала отсчета, а конец – в данной точке. Длина отрезка всегда рассматривается как величина неотрицательная. Геометрической интерпретацией действительного числа служит вектор, выходящий из начала отсчета и имеющий конец в точке, изображающей данное число. Длина этого вектора будет геометрической интерпретацией модуля данного действительного числа.

Определение. Модуль числа а или абсолютная величина числа а равна а, если а больше или равна нулю и равна –а, если а меньше нуля:

                         I                               I                              I

                        -а                              0                             а

               | а| ≥ 0

2. График функции у = f |(х)| .

Выдвижение гипотезы. Я сопоставила два графика функций у = х и у = - х и выдвинула гипотезу, что график функции у = f ( | x | ) получается из графика функции у = f ( x ) при х ≥ 0 симметричным отображением относительно оси ОУ.  (Приложение 1).

Проверка гипотезы. Можно ли применять этот метод для построения графиков для любой функции, содержащей абсолютную величину? Я рассмотрела несколько функций и сделала выводы.

1. Построить график функции у = 0,5 х2 – 2| х| – 2,5. (Приложение 2).

а) Поскольку |(х)| = х при х ≥ 0, требуемый график совпадает с параболой

у = 0,5 х2 – 2 х – 2,5. Если х <  0, то поскольку х2 = | х|2 , | х| = - х, то требуемый график совпадает с параболой у = 0,5 х2 + 2 х – 2,5.

         б) Если рассмотрим график у = 0,5 х2 – 2 х – 2,5  при х ≥ 0 и отобразить его относительно оси ОУ, мы получим тот же самый график.

2. Построить график функции у = 0,25 х2 –| х| – 3.

а) Поскольку |(х)| = х при х ≥ 0 , требуемый график совпадает с параболой

у = 0,25 х2 –  х – 3. Если х <  0, то поскольку х2 = | х|2 , | х| = - х, то требуемый график совпадает с параболой у = 0,25 х2 +  х – 3.

         б) Если рассмотрим график у = 0,25 х2 –х – 3  при х ≥ 0 и отобразить его относительно оси ОУ, мы получим тот же самый график.

         Доказательство гипотезы. Докажем, что график функции у = f (|x|) совпадает с графиком функции у = f (x) на множестве неотрицательных значений аргумента и симметричен ему относительно оси ОУ на множестве неотрицательных значений аргумента.  (Приложение 3).

         Доказательство: если х ≥ 0, то f (|x|) = f (x), то есть на множестве совпадают. Так как у = f (|x|) – четная функция, то ее график симметричен относительно оси ОУ.

        Таким образом, график функции у = f (|x|) можно получить из графика функции у = f (x) следующим образом:

1. построить график функции у = f (x) для х > 0;
2. для х < 0, симметрично отобразить построенную часть относительно

оси ОУ.

3. График функции у = |f (х)| .

1. Построить график функции у = |х2 – 2х| . Освободимся от знака модуля

по определению. (Приложение 4).

       а) если х2 – 2х ≥ 0, то есть если х ≤ 0 и х ≥ 2, то |х2 – 2х| = х2 – 2х;

       б) если х2 – 2х < 0, то есть если 0 < х < 2, то |х2 – 2х| = - х2  + 2х.

       Я вижу, что на множестве  0 ≤  х ≤ 2 графики функций у = х2 – 2х и  у = |х2 – 2х| совпадают, а на множестве 0 < х < 2 графики функций у = - х2  + 2х и  у = |х2 – 2х| совпадают.

        Построю их.

        Выдвижение гипотезы. График функции у = |f (х)| состоит из части графики функции у = f (х) при х ≥ 0  и симметрично отраженной части графики функции у = f (х) при х < 0 относительно оси ОХ.

       Проверка гипотезы.

1. Построю график функции у = |х2 – х - 6| . (Приложение 5).

а) если х2 – х – 6 ≥ 0 , то есть если – 2  ≤  х ≤ 3, то |х2 – х - 6| = х2 – х – 6;

б) если х2 – х – 6 < 0 , то есть если – 2  < х < 3, то |х2 – х - 6| = - х2 + х + 6.

2. Построю график у = х2 – х – 6. Нижнюю часть графика симметрично

отображу относительно оси ОХ.  (Приложение 6).

      Докажем, что график функции у = |f (х)| совпадает с графиком функции у =

f (х) для f (х) ≥ 0 и симметрично отраженной частью у = f (х) для f (х) < 0 относительно оси ОХ.

       Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий:

     у = f (х) , если  f (х) ≥ 0;            у = f (х) , если f (х) < 0.

        Для любой функции у = f (х) , если  f (х) ≥ 0, то  у = | f |(х)| | f (х)| = f (х), значит в этой части график функции у =  |f (х)| совпадает с графиком самой функции у = f (х).

         Если же f (х) < 0, то |f (х)| = - f (х), то есть точка (х; - f (х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ «отрицательную» часть графика у = f (х).

         Вывод: гипотеза верна. Действительно для построения графики у = |f (х)| достаточно:

1. построить график функции у = f (х);
2. на участках, где график расположен в нижней полуплоскости, то

есть где f (х) < 0 симметрично отражаем относительно сои абсцисс. (Приложение 7).

4. График функции  у = | f |(х)| | .

Проверю истинность гипотез для графика функции у = | f |(х)| |. Применяя

определение абсолютной величины и ранее рассмотренные примеры я построила графики функций: у = | 2|х| – 3| , у = |х2 – 5|х| |, у =|| х|3 – 2| и сделала выводы. (Приложение 8).

       Для того чтобы построить график функции у = | f |(х)| | нужно:

1. строим график функции у = f (х) для х ≥ 0;
2. строим вторую часть графика, то есть построенный график отображаем

симметрично относительно оси ОУ, так как данная функция четная;

3. участки получившегося графика, расположенные в нижней

полуплоскости, преобразовываем на верхнюю полуплоскость симметрично относительно оси ОХ.

        Построю график функции у = | 2|х| – 3|. (Приложение 9).

1.Строю график у = 2|х| – 3 для 2|х| – 3 ≥ 0, |х| ≥ 1,5, то есть  х ≥ 1,5 и х <-1,5

а) у = 2х – 3, для х  ≥ 0,

б) для х < 0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

2. Строю у = - 2|х| – 3 для 2|х| – 3 < 0, |х| ≥ 1,5, то есть  -1,5 < х < 1,5

а) у = - 2х – 3, для х  > 0,

б) для х < 0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОХ.

Построю график функции у = | 2|х| – 3| используя гипотезу.

1. Строю у = 2х – 3 для х ≥ 0;
2. Строю прямую, симметричную построенной относительно прямой ОУ;
3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаю

относительно оси ОХ.

       Сравнивая оба графика, видим, что они одинаковые.

       Построю график функции у = |х2 – 5|х||. (Приложение 10).

1.Строю график у = х2 – 5|х| для х2 – 5|х| ≥ 0,  то есть  х ≥ 5 и х < - 5

а) у = х2 – 5 х, для х  ≥ 0,

б) для х < 0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

2. Строю у = - х2 – 5 х для х2 – 5|х| < 0, то есть  - 5 < х < 5

а) у = - х2 – 5 х, для х  > 0,

б) для х < 0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОХ.

Построю график функции у =|х2 – 5|х|| используя гипотезу.(Приложение 11).

1. Строю у = х2 – 5 х , для х ≥ 0;
2. Строю часть графика, симметричную построенной относительно прямой ОУ;
3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаю

относительно оси ОХ.

       Сравнивая оба графика, видим, что они одинаковые.

       Построю график функции у =|| х|3 – 2|.  (Приложение 12).

1.Строю график у = | х|3 – 2  для  | х|3 – 2 ≥ 0,  то есть  х ≥ 3√2 и х < - 3√2

а) у =  х3 – 2, для х  ≥ 0,

б) для х < 0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

2. Строю у = - | х|3 + 2  для | х|3– 2 < 0, то есть  - 3√2 < х < 3√2  

а) у = -  х3 + 2, для х  > 0,

б) для х < 0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОХ.

Построю график функции у =|| х|3 – 2| используя гипотезу. (Приложение 13).

1. Строю у =  х3 – 2  , для х ≥ 0;
2. Строю часть графика, симметричную построенной относительно прямой ОУ;
3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаю

относительно оси ОХ. Сравнивая оба графика, видим, что они одинаковые.

Заключение.

         При выполнении исследовательской работы я научилась:

-  работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор научных сведений;

-   выдвигать гипотезы и доказывать истинность гипотез, делать выводы;

- сформировала алгоритмы построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины;

-  приобрела опыт построения таких графиков, как у = f |(х)|, у = |f (х)|,

у = | f |(х)| ;

-  приобрела опыт выполнения графических работ на компьютере;

-  оказала помощь одноклассникам при подготовке к экзаменам.

Список литературы.

1. Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г. Функции и графики. Издательство «Наука».
2. Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции. Издательство «Наука».
3. Потапов М.К., Олехник С.Н. Конкурсные задачи по математике. Издательство «Наука».
4. Макарычев Н.Ю., Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к школьному учебнику. Издательство «Просвещение»

Приложения.

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Приложение 7

Приложение 8

Приложение 9

Приложение 10

Приложение 11

Приложение 12

Приложение 13