Точки экстремума

Слайд 1

Слайд 2

Вогнутость функции Точки максимума Точки минимума Точки перегиба Убывание функции Выпуклость функции СОДЕРЖАНИЕ Нули функции y=f(x) Возрастание функции

Слайд 3

1. Возрастание функции Функция y=f(x) называется возрастающей на промежутке, если при возрастании аргумента, значение функции увеличивается Функция y=f(x) возрастает , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции Теорема: Если производная на промежутке положительная, то функция y=f(x) на данном промежутке возрастает. y=f(x) у >0 у >0 у >0

Слайд 4

2. Убывание функции Функция y=f(x) называется убывающей на промежутке, если при возрастании аргумента, значение функции уменьшается. Функция убывает , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции Теорема: Если производная на промежутке отрицательная, то функция y=f(x) на данном промежутке убывает. y=f(x) у  < 0 у  < 0

Слайд 5

3. Точки максимума Точка х = а называется точкой максимума функции y=f(x) если производная в данной точке равна 0, и при переходе через эту точку слева направо знак производной меняется с (+) на (-) y=f(x) x max x Распознать точку максимума по графику функции очень просто. График функции в окрестности точки максимума выглядят как гладкий “ холм ” x f ( x ) + – max x 0 у  < 0 у >0 у  < 0 у >0 у >0

Слайд 6

4. Точки минимума Точка х = а называется точкой минимума функции y=f(x) если производная в данной точке равна 0, и при переходе через эту точку слева направо знак производной меняется с (-) на (+) Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума. y=f(x) x min x Распознать точку минимума по графику функции очень просто. График функции в окрестности точки минимума выглядят как гладкая “ впадина ” x f ( x ) + – min x 0 у  < 0 у >0 у  < 0 у >0 у >0

Слайд 7

5. Выпуклость функции Функция y=f(x) называется выпуклой на промежутке, если все точки графика функции расположены ниже касательной. y=f(x) касательная касательная ТЕОРЕМА: Функция y=f(x) является выпуклой на промежутке, если вторая производная на этом промежутке отрицательная. касательная у ”<0

Слайд 8

6. Вогнутость функции Функция y=f(x) называется вогнутой на промежутке, если все точки графика функции расположены выше касательной. y=f(x) касательная касательная касательная у ”>0 ТЕОРЕМА: Функция y=f(x) является вогнутой на промежутке, если вторая производная на этом промежутке положительная. у ”>0 у ”>0

Слайд 9

7. Точки перегиба P 1 Точка Р называется точкой перегиба функции y=f(x) если при переходе через эту точку слева направо знак второй производной меняется. y=f(x) P 1 P 2 P 3 Распознать точку перегиба по графику функции очень просто. График функции в окрестности точки перегиба выглядит границей между “ холмом ” и “ впадиной ” Р у ”>0 у ”>0 у ”<0 у ”<0

Слайд 10

8 . Нули функции Точки, в которых график функции пересекает ось ОХ называются нулями функции . Ординаты этих точек равны 0. f ( x 1 )= f ( x 2 )=0 y=f(x) X1 = 2,5 и X2 = 5,5 - нули функции f ( x 1 )= f ( x 2 )=0

Слайд 11

Список литературы: Учебник : Богомолов, Н. В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для студентов сред. проф. учеб. заведений Презентация может быть использована на уроках математики для формирования умения формулировать свойства графиков функций, с применением производной по теме « Производная. Точки экстремума и перегиба. Возрастание и выпуклость функции » .