Фрактальная геометрия природы

Новая философия математики Фрактал — это слово, изобретенное Бенуа Мандельбротом для того, чтобы объединить под одним заголовком обширный класс объектов, которые сыграли историческую роль в развитии чистой математики. Классическую математику XIX в. от современной математики отделяет великая революция идей. Корни классической математики лежат среди правильных геометрических структур Евклида и поступательной динамики Ньютона. Современная математика начинается с канторовой теории множеств и заполняющей пространство кривой Пеано. Исторически революция была вызвана открытием математических структур, не умещавшихся в рамках построений Евклида и Ньютона. Эти новые структуры рассматривались как «патологические» как некая «выставка чудовищ», вроде кубистской живописи и атональной музыки, перевернувших примерно в то же время установленные стандарты хорошего вкуса в искусстве. Математики же, сотворившие этих чудовищ, считали их важными свидетельствами того, что мир чистой математики содержит в себе необыкновенное изобилие возможностей, далеко выходящее за рамки тех простых структур, что можно наблюдать в Природе. И тут, как отмечает Мандельброт, Природа сыграла с математиками шутку. Возможно, математикам XIX в. недоставало воображения — Природа же никогда таким недостатком не страдала. Как оказалось, окружающим нас и хорошо знакомым нам объектам всегда были присущи те самые патологические структуры, которые математики изобрели, чтобы избавиться от уз натурализма XIX в. Бенуа Мандельброт Б. Мандельброт «Фрактальная геометрия природы» Почему геометрию так часто называют «холодной» и «сухой»? Одна из причин — ее неспособность описать форму облака, горы, дерева или береговой линии. Облака не являются сферами, горы — конусами, береговые линии нельзя изобразить с помощью окружностей, кору деревьев не назовешь гладкой, а путь молнии — прямолинейным. В более общем виде я заявляю, что многие формы Природы настолько неправильны и фрагментированы, что в сравнении с евклидовыми фигурами Природа демонстрирует не просто более высокую степень, но совершенно иной уровень сложности. Количество различных масштабов длины в естественных формах можно считать бесконечным для каких угодно практических задач. Существование таких феноменов бросает нам вызов и побуждает заняться подробным изучением тех из форм, которые Евклид отложил в сторону из-за их «бесформенности» — исследовать, так сказать, морфологию «аморфного». Математики же пренебрегли этим вызовом и предпочли бежать от природы путем изобретения всевозможных теорий, которые никак не объясняют того, что мы видим или ощущаем. Рискнув ответить на вызов, я задумал и разработал новую геометрию Природы, а также нашел для нее применение во многих разнообразных областях. Новая геометрия способна описать многие из неправильных и фрагментированных форм в окружающем нас мире и породить вполне законченные теории, определив семейство фигур, которые я называю фракталами. Новая геометрия С момента выхода книги Б. Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» началось бурное развитие фрактальной геометрии. Фракталы обнаружили практически во всех естественных явлениях и процессах. «Сейчас анализ на фрактальных множествах развит в той же мере, что и анализ на гладких многообразиях», — говорит Р. Стричартц, профессор американского университета Корнелл. Идеи и достижения новой геометрии нашли самые разнообразные приложения. Фрактальные модели применяют в медицине для ранней диагностики раковых опухолей; в геологии и почвоведении; в материаловедении при изучении процессов разрушения изделий; в ядерной физике и астрономии для изучения элементарных частиц, распределения галактик во Вселенной, процессов на Солнце; в информатике для сжатия данных и улучшения трафика в сети Интернет; для анализа колебаний рыночных цен в экономике, сердечного ритма в кардиологии, погоды в метеорологии; в химии, искусствоведении… — перечень можно продолжать бесконечно. Всем этим человечество обязано математику Бенуа Мандельброту. То, что новую науку со столь широкими приложениями создал один человек, выглядит невероятным. В наше время все значительные достижения науки и технологий являются плодами работы коллективов. Время одиночек–энциклопедистов прошло, специализация достигла такой степени, что одному человеку не под силу охватить даже основные идеи из разных областей. Для этого надо быть гением. Но многие так и считают: открыв фракталы, Б. Мандельброт совершил переворот в физике, утверждают авторы книги «От Ньютона до Мандельброта» (Штауффер Д., Стэнли Х.Е.). Фракталы в интернете Фрактальные картинки Береговая линия Норвегии При изучении географии вы, конечно, помните, что каждая из стран имеет свою площадь территории и длину границы, в частности, если страна омывается каким-либо морем или океаном, то она имеет морскую границу определенной длины. Задумывались ли вы когда-либо, как эту длину границы определяют? В 1977 г. Бенуа Мандельброт поставил перед собой следующий вопрос: чему равна длина береговой линии Великобритании? Оказалось, что корректно ответить на этот «детский вопрос» не удается. В 1988 г. норвежский ученый Енс Федер решил выяснить, чему равна длина береговой линии Норвегии. Обратите внимание на то, что побережье Норвегии сильно изрезано фиордами. Другие ученые задавали себе аналогичные вопросы о длинах береговых линий побережий Австралии, Южной Африки, Германии, Португалии и других стран. Мы можем измерить длину береговой линии только приблизительно. По мере того как мы уменьшаем масштаб, нам приходится измерять все больше маленьких мысов и бухт — длина береговой линии увеличивается, и объективного предела уменьшению масштаба (и, тем самым, увеличению длины береговой линии) просто не существует; мы вынуждены признать, что эта линия имеет бесконечную длину. Измерение длины береговой линии Измеренная длина береговой линии как функция длины шага Тот же график в дважды логарифмическом масштабе. Обратите внимание: точки могут быть хорошо аппроксимированы прямой. А что же все-таки делать с длиной береговой линии? Отказаться ее измерять, потому что она неизмерима? Нет, это не выход. Просто, приводя длину береговой линии, следует всегда указывать, по картам какого масштаба она измерялась, каким способом. Без указания масштаба карт всякие данные о длине береговой линии теряют смысл. К сожалению, даже в источниках, претендующих на сугубую солидность, можно встретить страшные нелепости. Например, известный сайт ЦРУ «The World Factbook». Здесь для каждой страны и океана приведены данные по береговой линии, но способ измерения не указан. В результате береговая линия Канады оказывается больше 200 тыс. км, Северного Ледовитого океана — 45,4 тыс. км, Атлантического — 111,9 тыс. км (данные приведены с точностью до километра). Береговая линия двух из трех океанов, омывающих Канаду, в сумме меньше береговой линии одной только Канады. Для Норвегии приведена цифра 21 925 км и дано примечание: «Материк 3419 км, большие острова 2413 км, длинные фьорды, многочисленные маленькие острова и мелкие изгибы (в буквальном переводе зазубрины) береговой линии 16 093 км». В сумме получается как раз указанная общая длина береговой линии. Но вот почему берега фьордов — не часть береговой линии материка, почему длина зазубрин приплюсована к длине береговой линии материка, какие острова считать большими — обо всем этом приходится только догадываться. Совершенно бесспорные данные в этой таблице приведены только для Андорры, Австрии, Ботсваны, Венгрии, Свазиленда и подобных им стран, выхода к морю не имеющих, — написано: «0 км». Данные собранные Ричардсоном Длина береговых линий как функция выбранного шага δ (км). Фрактальная размерность Как объяснить то, что все результаты измерений в дважды логарифмическом масштабе укладываются на прямую? Имеем где a и b — некоторые константы. Потенцируя, получим С одной стороны, константа b есть тангенс угла наклона прямой, причем, как следует из графиков, она не положительна. С другой стороны она имеет важный физический смысл — чем она больше по модулю, тем быстрее растет длина побережья с уменьшением длины шага, и, следовательно, более изрезанным выглядит побережье. В дальнейшем мы увидим, что константа b тесно связана с одной из важнейших характеристик фрактальных кривых — фрактальной размерностью. ln( ( )) (ln ), L a b δ δ = + ( ) . a b L e δ δ = Парадокс Шварца Рассмотри равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с катетами равными 1. Понятно, что длина кратчайшего пути из A в C равна корню из 2. Предположим, что по условию, задачи мы можем передвигаться только по вертикали или горизонтали. Тогда длина пути из A в B затем в C, обозначенного зеленым цветом, равна 2. Если мы выберем синий или красный путь, то его длина по прежнему будет равна 2. Более того, мы можем выбрать путь из A в С , состоящий из вертикальных и горизонтальных отрезков, сколь угодно близкий к гипотенузе AC, но его длина по прежнему будет равна 2, что очевидно больше, чем длина самой гипотенузы. Как можно объяснить это несоответствие? Самоподобие Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и то же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т. д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды — вы снова увидите горы. Приблизьте картинку еще — вы по-прежнему будете различать нечто, напоминающее горы, благодаря вашей способности различать тип объекта на рисунке. Кратко можно сказать, что самоподобный объект «выглядит» неизменным и после увеличения, и после уменьшения его размеров. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия. Многие законы природы не зависят (или почти не зависят) от масштаба. То, что скейлинг (изменение масштаба) обычно имеет предел (постоянную Планка — когда объекты становятся слишком малыми, или скорость света — когда объекты движутся слишком быстро), не умаляет полезности «размышлений в терминах самоподобия» — так это не создает сколь-нибудь серьезных препятствий для применения этого понятия в реальном мире. Так, в турбулентных потоках крупные вихри порождают меньшие, те, в свою очередь, — еще меньшие и так почти до бесконечности. Теорема Пифагора Вот доказательство теоремы Пифагора, предложенное одиннадцатилетним Эйнштейном, и блистательно иллюстрирующее идею самоподобия. Высота, проведенная из прямого угла, делит большой треугольник на два меньших, подобных друг другу и большому треугольнику. Учитывая, что площади подобных фигур относятся как квадраты соответствующих линейных размеров, получим соотношение для площадей где k — некоторый отличный от нуля множитель, один и тот же во всех трех соотношениях. Учитывая, что получим 2 2 2 , , , c a b S kc S ka S kb = = = , c a b S S S = + 2 2 2 c a b = + . Самоподобие «простых» объектов Разделим отрезок прямой на N равных частей. Тогда каждую часть можно считать копией всего отрезка, уменьшенной в r раз. Очевидно, N и r связаны соотношением N=r1 . Если квадрат разбить на N равных квадратов каждый из которых является копией всего квадрата, уменьшенной в r раз, то соотношение запишется как N = r 2 . Если куб разбить на N равных кубов, то соотношение примет следующий вид: N = r 3 . Заметим, что размерность d объекта, будь то одномерный отрезок, двумерный квадрат или трехмерный куб, появляется как степень r в соотношении между N, числом равных подобъектов, и коэффициентом подобия r. А именно: Рассмотренные множества обладают целой размерностью. Зададимся вопросом, возможно ли такое построение, при котором показатель d не является целым, то есть такое, что при разбиении исходного множества на N непересекающихся подмножеств, полученных масштабированием оригинала с коэффициентом r значение d не будет выражаться целым числом. Ответ, как мы убедимся — решительное да! Такое множество называют самоподобным фракталом. Величину d называют фрактальной (дробной) размерностью или размерностью подобия.