Творческая работа Треугольники - практики

Треугольники - практики

           В удивительной стране Геометрии был особенный город  - город Многоугольников. Жителями этого города были различные n-угольники: стоугольники, восьмиугольники, шестиугольники, квадраты, параллелограммы, трапеции, прямоугольники, ромбы. Их было очень много – всех не перечислишь! Они были очень дружны между собой, никогда не ссорились и всегда приходили друг другу на помощь. Но особенно трепетно многоугольники относились к своему младшему брату Треугольнику. Старшие всегда были уверены, что он  поможет им разобраться в любой сложной ситуации. И Треугольник очень гордился этим! Каких только интересных закономерностей не находил он у своих старших братьев и сестёр! Вот  провели диагональ в параллелограмме и получилось два равных треугольника. В ромбе  при пересечении двух диагоналей образуется четыре равных прямоугольных треугольника. А правильный шестиугольник можно разбить на шесть равносторонних треугольников.

     И сами  треугольники обладали разными свойствами. Прямоугольный треугольник  всегда гордился тем, что его стороны подчинены очень важному закону: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. А равнобедренный треугольник всем рассказывал о том, что его медиана, проведенная к основанию, является и биссектрисой,  и высотой. Равносторонний треугольник любил повторять, что у него не только стороны равны и все углы по 600, да ещё центры описанной и вписанной окружностей совпадают. Но среди всех треугольников выделялись пары треугольников, те, у которых размеры -  разные, а форма одинакова. И называли их подобными треугольниками! А как же их находили среди множества всех треугольников? Да очень просто! Нашли у  треугольников по два равных угла, и вот они - подобные треугольники. А если у треугольников обнаружилось, что стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого, и тоже получается, что такие треугольники подобны. Есть ещё один признак подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.                                                                                  

         И вот однажды в страну Многоугольников приехали математики- практики и обратились к треугольникам с просьбой:                                                                                                                                                  - Нам нужно решить несколько практических задач: определить расстояние до недоступной точки, измерить высоту предмета. Кто нам в этом поможет?                                                                       После быстрого обсуждения было решено, что с этими практическими задачами без труда могут справиться подобные треугольники. В срочном порядке собрался консилиум и подобные треугольники начали объяснять решение предложенных  задач:                                               - Предположим, что нам нужно определить высоту какого-нибудь предмета, например высоту телеграфного столба А1В1,   изображенного на рисунке.

Для этого поставим на некотором расстоянии от столба шест АС с вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку А1 столба, как показано на рисунке. Отметим на поверхности земли точку В, в которой прямая А А1 пересекается с поверхностью земли. Прямоугольные треугольники А1 В1В и АСВ подобны по первому признаку подобия треугольников ( ∠В1= ∠ С= 900,  ∠  В- общий). Из подобия  треугольников следует:                             А1В1 : АС = ВВ1 : ВС, откуда А1В1=(АСхВВ1)/ВС.  Измерив расстояние ВВ1 и ВС и зная длину АС шеста, по полученной формуле определяем высоту телеграфного столба А1В1. Например, если  ВВ1= 6,3 м., ВС= 2,1 м., АС= 1,7 м., то А1В1=(1,7х6,3)/2,1 =  5,1 м.

- Спасибо вам, подобные треугольники, за подробное объяснение этой задачи. Но нам нужно ещё научиться  измерять расстояние до недоступной точки или, например, ширину реки.                                                                              Тут в разговор вмешалась средняя линия треугольника:                                                                               - Я тоже могу Вам помочь. Вот моё решение этой проблемы. Как найти ширину реки ВВ1?  Выбрав точку С1, проводим В1С1.. Затем через точку А провешиваем АВ и АС таким образом, чтобы В1С1 была средней линий ∆ АВС, тогда ВВ1=АВ1

       Подобные треугольники внимательно выслушали Среднюю линию, поблагодарили её за такое оригинальное решение и неожиданно для всех предложили Математикам-практикам самостоятельно  найти расстояние до недоступной точки с помощью подобных треугольников.

Решение: Предположим, что нам нужно найти расстояние от пункта A до недоступного пункта B.                                                                                     В

А                                                                                                                                             С                                                                                                                                                                                                                                                                                  Для этого на местности выбираем точку C, провешиваем отрезок AC и измеряем его. Затем с помощью астролябии измеряем ∠A и ∠C. На листе бумаги строим  треугольник A1B1C1, у которого    ∠ A1= ∠A,   ∠С1=∠ С, и измеряем длины сторон A1B1 и A1C1 этого треугольника.

                                                              В1

                    А1                                                                                    С 1

Так как треугольники ABC и A1B1C1 подобны (по первому признаку подобия треугольников), то                  

АВ /А1В1 = АС /А1С1.

Откуда получаем

AB=(АСхА1В1)/А1С1.

Эта формула позволяет по известным расстояниям AC, A1C1  и A1B1 найти расстояние AB.