Оглавление

Введение        3

1. Историческая справка        5

2. Разработка «Калькулятора Коллатца»        7

2.1. Система программирования PascalABC.NET        7

2.2. Блок-схема алгоритма решения задачи “3n+1”        7

2.3. Программный код «Калькулятора Коллатца»        7

3. Анализ результатов решения задачи “3n+1” и представление их в графическом виде        8

3.1. Построение графиков        8

3.2. Построение графа        8

Заключение        9

Список литературы        10

Приложение 1. Программный код решения задачи “3n+1”        I

Приложение 2. Графики решения задачи “3n+1”        IV

Приложение 3. Фрагмент графа «Решение задачи “3n+1”»        VI

Введение

Задачи и модели в математике обычно не возникают ниоткуда. Они могут родиться из практики или из потребностей других наук. Могут возникнуть при решении проблем самой математики. Задача  взялась ниоткуда. У нее нет предыстории, нет практической пользы, она не возникла как проявление какой-то внутренней математической проблемы [1].

Ее происхождение приписывают немецкому математику Лотару Коллатцу, который в 1937 году выдвинул следующую гипотезу:

Если взять положительное целое число  разделить его на 2, если оно четное, либо умножить на 3 и прибавить 1, если оно нечетное, и применять эти правила к каждому новому значению , то все значения  приведут к 1 и бесконечному циклу 1 → 4 → 2 → 1 (далее – Гипотеза). Эти правила можно записать в виде [2]:

(далее – Правила).

Возможно, данная гипотеза неверна и существуют такие положительные целые числа, которые при применении к ним данных Правил приведут в бесконечность.

Учеными и просто любителями математики были рассмотрены квинтиллионы чисел и все они приходили к единице. Ещё никто не смог доказать, что так же будет с любым целым числом [3].

Задача  или иначе гипотеза Коллатца является самой простой нерешенной проблемой в математике. Математики, решавшие задачу , предупреждают новичков держаться подальше от гипотезы Коллатца, сравнивая её с песней Сирены, говоря, что можно попасть под её транс и потратить слишком много времени на решение задачи [2, 4].

Цель работы: проведение численного эксперимента по решению задачи  с применением собственной программы для ПК.

Задачи:

1. Изучить литературные источники по данной проблематике;

2. Написать программу для ПК, реализующую правила, сформулированные Л. Коллатцем;

3. Построить графики, демонстрирующие преобразования нескольких положительных натуральных чисел  по правилам, сформулированным Л. Коллатцем;

4. Построить граф, демонстрирующий решение задачи , для всех положительных натуральных чисел , участвующих в численном эксперименте.

Продукт – программа для ПК, реализующая алгоритм гипотезы Л. Коллатца.

Практическая значимость работы заключается в приобретении навыков компьютерного программирования, применения информационных технологий в поиске и обработке информации, графического представления результатов проектной деятельности.

Календарный график

1. Историческая справка

Лотар Коллатц (1910-1990 гг.) – немецкий математик, высказал одноимённую Гипотезу в 1937 году. Его Гипотеза звучит как розыгрыш для студенческих вечеринок.

«Целый месяц весь Йельский университет безрезультатно трудился над этой задачей. Такая же участь постигла исследователей Чикагского университета, когда я им сообщил о ней» - писал в 1960 г. о задаче  Сидзуо Какутани – американский математик японского происхождения [1].

Интуиция подсказывает, что результат вычислений должен возрастать, ведь пешеход, делающий три шага вперёд и два шага назад, хотя и не быстро, но всё же доберётся до цели (рис. 1), а в задаче  умножение производится на 3, а деление только на 2, однако Л. Коллатц предсказал, что независимо от того с какого числа начать, в конце концов вычисления приведут к единице (табл. 1).

Рис. 1 – Путь пешехода, делающего три шага вперед и два шага назад

Таблица 1 – Преобразования чисел по правилам задачи

Для задачи  на сегодняшний день численным экспериментом доказано, что последовательность вычислений приходит к единице для всех не более чем 19-значных чисел.

Теренс Чи Шен Тао, австралийский и американский математик, используя вероятностный подход 8 сентября 2019 г. доказал, что гипотеза Л. Коллатца «почти» верна для «почти» всех чисел.

Окончательно доказать гипотезу Л. Коллатца науке еще только предстоит.

Однако проследить за поведением чисел при таком преобразовании - само по себе интересное математическое развлечение. Берём число и начинаем из него по приведённому правилу получать следующее. Попутно можно замечать, до какого максимума удалось подняться и сколько шагов придётся сделать, пока не придём к единице. Чтобы не щёлкать калькулятором, можно написать собственную компьютерную программу.

2. Разработка «Калькулятора Коллатца»

2.1. Система программирования PascalABC.NET

PascalABC.NET – свободно распространяемое программное обеспечение, применяемое в сфере образования и научных исследований. PascalABC.NET позволяет совершенно бесплатно писать компактные, эффективные и понятные программы и делает его идеальным выбором для обучения современному программированию в широком смысле: от учеников начальной школы до студентов профильных ИТ-направлений. Кроме того, он превосходно подходит в качестве средства программирования «на каждый день».

Для решения поставленной мной задачи, PascalABC.NET подходит как нельзя лучше, тем более что он изучается на уроках информатики [5].

2.2. Блок-схема алгоритма решения задачи “3n+1”

Алгоритм программы - это последовательность шагов, схема действий, описывающая процесс перехода от первичных данных к желаемому результату.

Самой простой и наглядной формой представления алгоритма является графическая, называемая блок-схемой.

На рис.П.1.1 Приложения 1 представлена блок-схема алгоритма программы решения задачи , которую я назвала «Калькулятором Коллатца».

2.3. Программный код «Калькулятора Коллатца»

На рис. П.1.2 Приложения 1 представлена программа (программный код) решения задачи  и интерфейс PascalABC.NET.

На рис.П.1.3 - П.1.10 Приложения 1 показаны результаты работы программы «Калькулятор Коллатца», форма вывода значений, которые приобретает заданное число после применения к нему правил Л. Коллатца, максимальное значение по результатам вычислений и количество вычислений (шагов), потребовавшихся для получения единицы.

Анализ результатов расчета (см. рис.П.1.3 - П.1.10), которые выдает «Калькулятор Коллатца», показывает, что количество шагов не зависит от значения числа N, т.е. количество шагов не увеличивается и не уменьшается с увеличением N. Количество шагов и максимальное значение, которое достигает N, предсказать невозможно.

Последовательность решения задачи  для каждого N сводится к последовательности 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

3. Анализ результатов решения задачи “3n+1” и представление их в графическом виде

3.1. Построение графиков

Созданная в PascalABC.NET программа представляет результат решения задачи  в текстовом виде. Такая форма представления информации не является удобной для восприятия и анализа, когда речь идет о большом количестве числовых данных.

Проследить за тем увеличиваются или уменьшаются значения числа N с каждым шагом преобразования или эти тенденции чередуются, гораздо удобнее, когда переход от начального к конечному значению представлен графически.

В Приложении 2 приведены несколько графиков, по которым видно, что число N «проходит» множество «взлётов» и «падений» прежде, чем «скатится» к единице. В ходе математического эксперимента были построены несколько графиков, примерно для ста целых чисел, и чередование «взлётов» и «падений» характерно для каждого из них.

Ученые сравнили последовательности значений на каждом шаге решения задачи  с поведением градин в атмосфере и назвали их числами-градинами. Градины, прежде чем коснуться земли, в круговороте тучи, то набирают массу и опускаются, то теряют её и поднимаются, когда вес градины превышает критическую массу, способную удерживаться воздушной массой, она падает на землю.

Все числа-градины «скатываются» к единице по одинаковой траектории 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Это демонстрируют и графики, и граф, построенный для всех целых чисел, участвующих в математическом эксперименте.

3.2. Построение графа

В математике и информатике граф - это совокупность объектов (вершин) со связями между ними. Ориентированный граф – такой граф, в котором можно двигаться от вершины к вершине только в одном направлении [6].

По результатам математического эксперимента построен ориентированный граф (см. Приложение 3) для 1066 целых чисел, входящих в последовательности решения задачи  для целых чисел от 1 до 500.

Граф представляет собой «дерево», все ветви которого расходятся из одного «ствола» 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Таким образом, подтверждается гипотеза Л. Коллатца о том, что все значения , после применения к ним Правил, приведут к 1 и бесконечному циклу 1 → 4 → 2 → 1.

Заключение

В ходе работы проведен численный эксперимент по решению задачи  с применением собственной программы для ПК «Калькулятора Коллатца». Проведен анализ полученных данных, представленный графически.

В ходе математического эксперимента на примере целых чисел в диапазоне  доказана гипотеза Л. Коллатца.

В процессе деятельности приобретены навыки:

- программирования в PascalABC.NET, основы программирования в PascalABC.NET получены на уроках информатики в 8 классе;

- работы в графическом редакторе AutoCAD, в котором строились графики и граф, основы работы в AutoCAD приобретены на YouTube-канале «Учебный центр ITРазвитие»;

- построения ориентированного графа, показывающего маршрут преобразования целого числа в единицу, при применении к нему заданных правил.

Список литературы

1. Прогресс в безнадежной задаче // Яндекс. Дзен [Электронный ресурс]. https://zen.yandex.ru/ media/maths/progress-v-beznadejnoi-zadache-5df3b249e6e8ef00b0203fa0 (дата обращения 09.09.2020 г.).

2. Mathematician Proves Huge Result on ‘Dangerous’ // Quantamagazine [Электронный ресурс]. https://www.quantamagazine.org/mathematician-terence-tao-and-the-collatz-conjecture-20191211/ (дата обращения 10.09.2020 г.).

3. Брайан Хэйес. Взлёты и падения чисел-градин. В мире науки. Scientific American Издание на русском языке № 3 март 1984 г.·С. 102–107 [Электронный ресурс]. http://ega-math.narod.ru/Nquant/Collatz.htm (дата обращения 10.10.2020 г.).

4. Математики достигли прорыва в изучении «опасной» задачи. SE7EN.ws [Электронный ресурс]. https://se7en.ws/matematiki-dostigli-proryva-v-izuchenii-opasnoy-zadachi/ (дата обращения 10.10.2020 г.).

5. Осипов А.В. PascalABC.NET: выбор школьника. Часть 1. – 2-е изд., испр. и доп. – Ростов-на-Дону; Таганрог: Издательство Южного федерального университета, 2020.-148 с.

6. Омельченко А. В. Теория графов / - Москва : Изд-во МЦНМО, 2018. - 415 с.

Приложение 1. Программный код решения задачи “3n+1”

Рис.П.1.1 – Блок-схема алгоритма решения задачи

Рис. П.1.2 – Программный код решения задачи “3n+1”

Рис. П.1.3 – Результат работы программы для числа «25»

Рис. П.1.4 – Результат работы программы для числа «26»

Рис. П.1.5 – Результат работы программы для числа «27»

Рис. П.1.6 – Результат работы программы для числа «28»

Рис. П.1.7 – Результат работы программы для числа «29»

Рис. П.1.8 – Результат работы программы для числа «30»

Рис. П.1.9 – Результат работы программы для числа «31»

Рис. П.1.10 – Результат работы программы для числа «32»

Приложение 2. Графики решения задачи “3n+1”

Рис. П.2.1 – График решения задачи “3n+1” для N=18

Рис. П.2.2 – График решения задачи “3n+1” для N=21

Рис. П.2.3 – График решения задачи “3n+1” для N=24

Рис. П.2.4 – График решения задачи “3n+1” для N=25

Рис. П.2.5 – График решения задачи “3n+1” для N=30

Приложение 3. Фрагмент графа «Решение задачи “3n+1”»