Признаки равенства треугольников

Треугольник – одна из самых простых и загадочных геометрических фигур. Вот уже два с половиной тысячелетия открываются его новые и новые свойства. Со времен «Начал» Евклида геометрия строится на основе трех признаков равенства треугольников. Исходя из того, что в треугольнике выделяют шесть основных элементов: три внутренних угла и три соответственно противолежащие им стороны, равенство треугольников устанавливается по равенству трех из шести элементов. Три следующих признака являются фундаментом геометрии:

по двум сторонам и углу между ними;
по стороне и прилежащим к ней углам;
по трём сторонам.

Эти признаки отличаются простотой формулировки и часто применяются при решении задач базового уровня. Рассматривая более сложные задачи, приходится фактически «изобретать велосипед», дважды или трижды применять известные признаки, конструируя из них решение. Это приводит к следующему выводу: известных трех признаков не всегда достаточно.

Если учесть, что для каждого треугольника однозначно определяются три медианы, три биссектрисы и три высоты, то число элементов треугольника увеличивается до 15. В связи с этим возникает следующая гипотеза: наряду с основными тремя признаками равенства треугольников можно сформулировать и доказать новые признаки равенства треугольников с использованием медианы, биссектрисы и высоты, знание которых поможет в решении многих геометрических задач.

Объектом данного исследования является треугольник и его элементы, в том числе медианы, биссектрисы и высоты; предмет исследования – признаки равенства треугольников.

Цели исследования:

сформулировать и доказать новые признаки равенства треугольников;

обосновать эффективность применения новых признаков равенства треугольников при решении геометрических задач.

Задачи исследования:

проанализировать определения и свойства медианы, биссектрисы и высоты;
выявить зависимость между равенством отдельных элементов и равенством треугольников;
определить типы геометрических задач, при решении которых целесообразно применение полученных признаков.

В работе применялись методы научного исследования: анализ, сравнение, математическое моделирование.

Для доказательства новых признаков равенства треугольников использовались только первый, второй и третий признаки равенства треугольников, что обеспечивает простоту доказательства и доступность данной работы для широкого круга школьников.

Глава I. Признаки равенства треугольников с использованием медианы

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника.

Проанализировав это определение медианы треугольника, делаем вывод: если равны стороны, к которым проведены медианы, то равны и отрезки, на которые медианы делят эти стороны, как половины равных сторон. Верно и обратное утверждение: если равны отрезки, отсекаемые медианами от сторон треугольников, то равны и стороны треугольников. Это позволяет сформулировать и доказать следующие новые признаки равенства треугольников с использованием медианы.

I .1. Признак равенства треугольников по стороне, медиане и углу между ними

Теорема (М1). Если сторона, медиана и угол между ними одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆ АВС; ∆ А1В1С1;

АМ=А1М1-медианы; АВ= А1В1; ےВАМ = ےВ1А1М1.

Доказать: ∆ АВС = ∆ А1В1С1

Доказательство.

Можно утверждать, что ∆ А1В1М1 = ∆ АВМ по первому признаку равенства треугольников, так как по условию:

АМ=А1М1
АВ= А1В1
ےВАМ = ےВ1А1М1.

Из равенства треугольников следует, что ےАВМ=ےА1В1М1 и ВМ= В1М1, как соответствующие углы и стороны в равных треугольниках.

Рассмотрим ∆ А1В1С1 и ∆ АВС

А1В1= АВ (по условию);
ے АВС= ے А1В1С1,т.к. ےАВМ= ے А1В1М 1 (по доказанному);
ВС = В1С1 , т.к. ВМ = В1М1;

ВС = 2 * ВМ; В1С1 = 2 * В1М1 по определению медианы.

Вывод: ∆ АВС = ∆ А1В1С1 по первому признаку равенства треугольников.

I .2. Признак равенства треугольников по медиане и углам, прилежащим к ней в одной полуплоскости

Теорема (М2). Если медиана и углы, прилежащие к ней в одной полуплоскости, одного треугольника равны соответствующим элементам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆ АВС; ∆ А1В1С1;

ВМ=В1М1-медианы; ےСМВ = ےС1М1В1; ےСВМ = ےС1В1М1.

Доказать: ∆ АВС = ∆ А1В1С1

Доказательство.

Можно утверждать, что ∆ М1В1С1 = ∆ МВС по второму признаку равенства треугольников, так как по условию:

ВМ=В1М1
ےСМВ = ےС1М1В1.
ےСВМ = ےС1В1М1.

Из равенства треугольников следует, что ےВСМ= ےВ1С1М1, ВС=В1С1 и МС=М1С1, как соответствующие углы и стороны в равных треугольниках.

Рассмотрим ∆ А1В1С1 и ∆ АВС

ےАСВ= ے А1С1В1 (по доказанному);
ВС=В1С1 (по доказанному);
АС = А1С1 , т.к. MC = М1С1; АС = 2 * МС; А1С1 = 2 * М1С1 по определению медианы.

Вывод: ∆ АВС = ∆ А1В1С1 по первому признаку равенства треугольников.

I .3. Признак равенства треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них

Теорема (М3). Если две стороны и медиана, проведенная к одной из них, одного треугольника равны соответствующим элементам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆ АВС; ∆ А1В1С1;

ВD=В1D1-медианы; АС= А1С1; ВС= В1С1.

Доказать: ∆ АВС = ∆ А1В1С1

Доказательство.

Можно утверждать, что ∆ B1D1С1 = ∆ ВDС по третьему признаку равенства треугольников, так как по условию:

ВD=В1D1
ВС= В1С1
DС= D1С1, как половины равных сторон (АС= А1С1 по условию)

Из равенства треугольников следует, что ےВСD= ےВ1С1D1, как соответствующие углы в равных треугольниках.

Рассмотрим ∆ А1В1С1 и ∆ АВС

BС = B1С1 (по условию)
АС = А1С1 по условию;

ےАСВ= ے А1С1В1,т.к. ےВСD= ےВ1С1D1 (по доказанному);

Вывод: ∆ АВС = ∆ А1В1С1 по первому признаку равенства треугольников.

Глава II. Признаки равенства треугольников с использованием биссектрисы

Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла и проходит между его сторонами.

Исходя из указанных определений, делаем вывод: если в двух треугольниках равны углы, биссектрисы которых проведены, то равны и их части, на которые биссектрисы делят углы, как половины равных углов. Верно и обратное утверждение: если равны половины углов, то равны и углы треугольников. Это позволяет сформулировать и доказать следующие новые признаки равенства треугольников с использованием биссектрисы.

При доказательстве этих признаков используется второй признак равенства треугольников, который в учебнике сформулирован следующим образом:

если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

После изучения теоремы о сумме углов треугольника можно утверждать, что условие прилежания углов к равным сторонам является излишним. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то и третьи их углы равны между собой.

Значит, второй признак может быть использован в следующей формулировке:

если сторона и два угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

II.1. Признак равенства треугольников по стороне, биссектрисе и углу между ними

Теорема (Б1). Если сторона, биссектриса и угол между ними одного треугольника соответственно равны стороне, биссектрисе и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆ АВС; ∆ А1В1С1;

АL=А1L1-биссектрисы; АВ= А1В1; ےВАL = ےВ1А1L1.

Доказать: ∆ АВС = ∆ А1В1С1

Доказательство.

Можно утверждать, что ∆ А1В1L1 = ∆ АВL по первому признаку равенства треугольников, так как по условию:

АL=А1L1
АВ= А1В1
ےВАL = ےВ1А1L1.

Из равенства треугольников следует, что ےАВС= А1В1С1, как соответствующие углы в равных треугольниках.

Рассмотрим ∆ А1В1С1 и ∆ АВС

А1В1= АВ (по условию);
ے АВС= ے А1В1С1 (по доказанному);
ے ВАС= ے В1А1С1 , т.к. ےВАL = ےВ1А1L1;

ےВАС =2 * ےВАL; ےВ1А1С1 =2 * ےВ1А1L1 по определению биссектрисы.

Вывод: ∆ АВС = ∆ А1В1С1 по второму признаку равенства треугольников.

II.2. Признак равенства треугольников по биссектрисе и двум углам

Теорема (Б2). Если биссектриса и два угла одного треугольника соответственно равны биссектрисе и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆ АВС; ∆ А1В1С1;

АL=А1L1-биссектрисы; ےАВС = ےА1В1С1; ےВСА = ےВ1С1А1.

Доказать: ∆ АВС = ∆ А1В1С1

Доказательство.

Можно утверждать, что ے ВАС= ے В1А1С1 по теореме о сумме углов треугольника, значит и ےВАL = ےВ1А1L1, как половины равных углов.

Отсюда следует, что ∆ А1В1 L1 = ∆ АВ L по второму признаку равенства треугольников, так как по условию:

А L=А1L1
ےВАL = ےВ1А1L1
ےАВL= ے А1В1L1 по условию.

Из равенства треугольников следует, что АВ= А1В1, как соответствующие стороны в равных треугольниках.

Рассмотрим ∆ А1В1С1 и ∆ АВС

А1В1= АВ (по доказанному);
ے АВС= ے А1В1С1 (по условию);
ے ВАС= ے В1А1С1(по доказанному).

Вывод: ∆ АВС = ∆ А1В1С1 по второму признаку равенства треугольников.

Глава III. Признаки равенства треугольников с использованием высоты

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника. Таким образом, высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Это обеспечивает равенство углов между высотой и стороной, на которую опущена высота.

Это позволяет сформулировать и доказать следующие новые признаки равенства треугольников с использованием высоты.

III.1. Признак равенства треугольников по двум углам и высоте, опущенной из вершины третьего угла

Теорема (В1). Если два угла и высота, опущенная из вершины третьего угла, одного треугольника соответственно равны двум углам и высоте, опущенной из вершины третьего угла другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆ АВС; ∆ А1В1С1;

ВD=В1D1-высоты; ےВАС= ے В1А1С1; ےВСА= ے В1С1А1

Доказать: ∆ АВС = ∆ А1В1С1

Доказательство.

Можно утверждать, что ∆ А1В1D1 = ∆ АВD по второму признаку, так как по условию:

ВD=В1D1;
ے А1D1В1 = ے АDВ=90, так как ВD и В1D1- высоты;
ے А1В1D1 = ے АВD по теореме о сумме углов треугольника.

А также, можно утверждать, что ∆ С1В1D1 = ∆ СВD по второму признаку, так как по условию:

ВD=В1D1;
ے С1D1В1 = ے СDВ=90, так как ВD и В1D1- высоты;
ے С1В1D1 = ے СВD. по теореме о сумме углов треугольника.

Из равенства двух пар треугольников следует, что и ∆ А1В1С1 = ∆ АВС, что и требовалось доказать.

Замечание. В этом признаке можно отказаться от утверждения о том, что высота опущена из вершины третьего угла. Это позволяет сделать теорема о сумме углов треугольника. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то и третьи их углы равны между собой.

III.2. Признак равенства треугольников по высоте и прилежащим к ней углам

Теорема (В2). Если высота и углы, образованные ею со сторонами одного треугольника соответственно равны высоте и углам, образованным ею со сторонами, другого треугольника, то такие треугольники равны при условии одинакового расположения углов относительно высоты.

Дано: ∆ АВС; ∆ А1В1С1; С

ВD=В1D1-высоты; ےАВD = ے А1В1D1; ےСВD = ے С1В1D1;

Доказать: ∆ АВС = ∆ А1В1С1

Доказательство.

Можно утверждать, что ∆ А1В1D1 = ∆ АВD по второму признаку, так как по условию:

ВD=В1D1;
ے А1D1В1 = ے АDВ=90, так как ВD и В1D1- высоты;
ےА1В1D1 = ے АВD по условию.

А также, можно утверждать, что ∆ С1В1D1 = ∆ СВD по второму признаку, так как по условию:

ВD=В1D1;
ے С1D1В1 = ے СDВ=90, так как ВD и В1D1- высоты;
ے С1В1D1 = ے СВD. по условию.

Из равенства двух пар треугольников следует, что и ∆ А1В1С1 = ∆ АВС, что и требовалось доказать. Следует отметить, что в этом признаке существенным является условие расположения углов относительно высоты. В случае остроугольного треугольника высоты находятся внутри треугольника, а в случае тупоугольного треугольника две из них расположены вне треугольника. Условие, заявленное в теореме, позволяет разграничить эти случаи.

Заключение

В ходе данного исследования был проведен анализ изученных признаков равенства треугольников и определений медианы, высоты и биссектрисы треугольника и выявлена зависимость между равенством трех элементов треугольников, включая медианы, высоты и биссектрисы, и равенством треугольников. Также было установлено, что известный второй признак равенства треугольников может быть применен в упрощенной форме, как признак по стороне и любым двум углам.

На основании результатов данного исследования в работе сформулированы и доказаны 7 новых признаков равенства треугольников с использованием медианы, биссектрисы и высоты и получены выводы об эффективности использования этих признаков при решении задач на доказательство равенства треугольников.

В дальнейшем исследовательская деятельность в этом направлении может быть продолжена с целью доказательства признаков равенства для равнобедренных треугольников.

Литература

Интернет – ресурсы.

http://www. profistart.ru/ps/blog/24031.html
http:// festival.1september.ru/articles/104251/
Учебник. Геометрия 7-9 классы. Авторы: Атанасян Л.С., В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина.

Приложения.

Задачи поданной теме:

В треугольниках АВС и А1В1С1 АВ=А1В1, медиана ВD=B1D1, угол ABD=А1B1D1. Докажите, что треугольник АВС=А1В1С1. (М1)
Даны треугольники АВС и А1В1С1, докажите, что они равны. Если медиана и углы, прилежащие к ней в одной полуплоскости, треугольника АВС равны таким же элементам треугольника А1В1С1. (М2)
Докажите, что треугольники АВС=А1В1С1. Если две стороны и медиана, проведенная к одной из них треугольника АВС, равна соответствующим элементам треугольника А1В1С1. (М3)
Стороны АВ=А1В1, биссектриса АL=A1L1, угол BAL=B1A1L1, в треугольниках АВС и А1В1С1. Докажите, что они равны. (Б1)
В треугольниках АВС и А1В1С1, биссектриса AL=A1L1, угол ABC=A1B1C1 ACB=A1C1B1. Докажите, что треугольники равны. (Б2)
Докажите, что треугольники АВС=А1В1С1. Если два угла и высота, опущенная из вершины третьего угла, треугольника АВС соответственно равны двум углам и высоте, опущенной к одной из них треугольника А1В1С1. (В1)
Даны треугольники АВС и А1В1С1, докажите, что они равны. Если высота DB=D1B1, угол BDC=B1D1C1, угол ABC=A1В1С1.

Агния Барто. Сережа учит уроки

Тупое - острое

Новогодняя задача на смекалку. Что подарил Дед Мороз?

А. Усачев. Что значит выражение "Белые мухи"?

Сказка "Колосок"