НЕФТЕЮГАНСКОЕ РАЙОННОЕ МУНИЦИПАЛЬНОЕ

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНООЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«САЛЫМСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ

ШКОЛА № 1»

Индивидуальный проект

«Решение одного тригонометрического уравнения различными способами»

Автор: Диана Тахировна Латыпова

10 «А» класс

Научный руководитель:

Крендясова Лариса Анатольевна,

учитель математики

с.п.Салым 2023 год

Содержание

Оглавление

Введение        3

Цель проекта        3

Задачи проекта:        4

Описание методов        5

Метод решения с помощью формул приведения и суммы, разности тригонометрических функций (специальные приемы)        5

Координатно-графический метод;        6

Метод введения вспомогательного угла;        7

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к однородным        8

Универсальная тригонометрическая подстановка        9

Заключение        10

Литература:        11

Введение

Данный проект предназначен для учеников 10-11 классов, которые уже имеют базовые знания в области тригонометрии и алгебры. Если вы хотите улучшить свои навыки в решении тригонометрических уравнений, то этот проект может стать отличным помощником и вдохновителем в изучении этой темы. Он поможет вам не только лучше понять и научится решать тригонометрические уравнения, но и познакомит вас с другими интересными и полезными математическими концепциями, которые могут оказаться полезными в будущем. Кроме того, этот проект имеет практический характер и содержит множество упражнений, которые помогут вам закрепить полученные знания и применить их на практике. Мы надеемся, что наш проект станет для вас полезным и интересным и поможет вам стать лучше в области тригонометрии и математики в целом.

В школьной программе изучаются такие методы как использование тригонометрических формул для приведения уравнения к простейшему; в частности, использование формул приведения и основного тригонометрического тождества; так же существуют приемы приведения уравнений к квадратному; изучается решение однородных уравнений первой и второй степени, а так же методы которыми можно привести некоторые тригонометрические уравнения к однородным; универсальная тригонометрическая подстановка и метод введения вспомогательного угла. В рамках проекта мы не предполагаем охватить все существующие методы решения тригонометрических уравнений, которые изучаются в школьной программе, это еще одна из причин почему мы рассматриваем только одно уравнение, оно как бы само нас ограничит в выборе методов.

Для исследовательского проекта я выбрала уравнение .

В математике часто так делают берут одну задачу и решают ее несколькими уже известными способами или даже придумывают свои. Это показывает всю красоту математики как науки. Позволяет посмотреть на одну проблему с различных точек зрения, глубже окунуться в суть проблемы.

В этой работе мы будем рассматривать данное тригонометрическое уравнение и изучать несколько разных методов его решения. Каждый метод уделяет особое внимание определенным аспектам уравнения и находит решение с учетом этих особенностей. Таким образом, мы сможем не только лучше понять, как работают различные методы решения, но и научиться выбирать наиболее эффективный метод для решения конкретной задачи. Кроме того, рассмотрение различных методов решения позволит нам получить более глубокое понимание сути тригонометрических уравнений и их применения на практике.

Цель проекта: для успешной сдачи экзамена по математике, мне необходимо научиться решать тригонометрические уравнения. Мы вместе с моим руководителем решили выбрать одно уравнение и найти для его решения как можно больше способов. Так же своей разработкой я могу поделиться со своими одноклассниками и не только, которым тоже предстоит сдавать экзамен по математике.

Задачи проекта:

1. Выбрать одно тригонометрическое уравнение для исследования.
2. Проанализировать все знакомые методы на предмет применимости решения выбранного уравнения. Предоставить теорию по каждому из выбранных методов.
3. Продемонстрировать каждый метод на примере выбранного уравнения, показав шаги решения и объяснив каждый из них.
4. Для каждого из методов подобрать уравнения, которые можно решить этим методом. Оформить все в виде таблицы.
5. Сравнить полученные результаты и выявить преимущества и недостатки каждого метода.
6. Подготовить отчет о проделанной работе в виде презентации и краткое изложение хода исследования.

Описание методов

Метод решения с помощью формул приведения и суммы, разности тригонометрических функций (специальные приемы)

Координатно-графический метод;

Метод введения вспомогательного угла;

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к однородным

Универсальная тригонометрическая подстановка

Заключение

В результате исследования были выбраны следующие методы решения тригонометрического уравнения :

• с помощью формул приведения и суммы или разности тригонометрических функций (специальные приемы);
• координатно-графический метод;
• введение тригонометрической единицы и формул двойного угла для аргумента  ;
• универсальная тригонометрическая подстановка;
• метод введения вспомогательного угла.

В ходе исследования были рассмотрены и проанализированы вышеперечисленные методы, применимые к данному уравнению. Проведенный анализ помог выявить как преимущества, так и недостатки каждого из этих методов, а также определить условия их применимости. К недостаткам можно отнести громоздкость решения в методе использование формул приведения и суммы или разности тригонометрических функций для решения данного уравнения и при введении тригонометрической единицы, но это относится только к рассматриваемому уравнению, при решении других уравнений может получится так, что этот метод самый компактный.

Больше всего на практике мне понравились координатно-графический метод и универсальная тригонометрическая подстановка. Они для рассматриваемого уравнения оказались самыми компактными, а возможность представить решение уравнения графически еще и «увидеть» эти решения.

В дальнейшем данную работу можно будет расширить другими методами решения тригонометрических уравнений, конечно же уже не ограничиваясь одним уравнением.

Самое сложное в работе было определить применимость существующего метода к выбранному уравнению, но именно решение данной проблемы и помогает сформировать навык выбора того или иного метода для решения уравнения.

Литература:

1. Практикум. Алгебра: уравнения, неравенства, системы. Ольга Ивановна Чикунова, учебное пособие для учащихся 8-11 классов. Издание четвертое, 2016г.
2. Учебник. Математика: алгебра и начала математического анализа 10 класс (углубленный уровень) А.Г. Мерзляк, Д.А. Немировский, В.М. Поляков, М:. «Просвещение» 2021, 5-е издание стереотипное.
3. Учебник. Математика: алгебра и начала математического анализа 10 класс (базовый уровень) А.Г. Мерзляк, Д.А. Немировский, В.Б. Полонский под ред. Подольского В.Е., М:. «Просвещение» 2020 г.

Выступление:

[СЛАЙД 1]Уважаемые члены жюри. Я ученица 10 класса, Латыпова Диана Тахировна. Тема моего проекта «Решение одного тригонометрического уравнения различными способами»...

Данный проект предназначен для учеников 10-11 классов, которые уже имеют базовые знания в области тригонометрии и алгебры. Если вы хотите улучшить свои навыки в решении тригонометрических уравнений, то этот проект может стать отличным помощником и вдохновителем в изучении этой темы. Он поможет вам не только лучше понять и научится решать тригонометрические уравнения, но и познакомит вас с другими интересными и полезными математическими концепциями, которые могут оказаться полезными в будущем. Кроме того, этот проект имеет практический характер и содержит множество упражнений, которые помогут вам закрепить полученные знания и применить их на практике. Я  надеюсь, что наш проект станет для вас полезным и интересным и поможет вам стать лучше в области тригонометрии и математики в целом.

         В школьной программе изучаются много способов решения тригонометрических уравнений. В рамках проекта я не предполагаю  охватить все существующие методы решения тригонометрических уравнений, которые изучаются в школьной программе, это еще одна из причин, почему я выбрала только одно уравнение, оно как бы само нас ограничит в выборе методов.

Для исследовательского проекта я выбрала уравнение .

В математике часто так делают берут одну задачу и решают ее несколькими уже известными способами или даже придумывают свои. Это показывает всю красоту математики как науки. Позволяет посмотреть на одну проблему с различных точек зрения, глубже окунуться в суть проблемы.

[СЛАЙД 2]Каждый метод уделяет особое внимание определенным аспектам уравнения и находит решение с учетом этих особенностей. Таким образом, мы сможем не только лучше понять, как работают различные методы решения, но и научиться выбирать наиболее эффективный метод для решения конкретной задачи. Кроме того, рассмотрение различных методов решения позволит нам получить более глубокое понимание сути тригонометрических уравнений и их применения на практике.

[СЛАЙД 3]Цель проекта: для успешной сдачи экзамена по математике, мне необходимо научиться решать тригонометрические уравнения. Мы вместе с моим руководителем решили выбрать одно уравнение и найти для его решения как можно больше способов. Так же своей разработкой я могу поделиться со своими одноклассниками и не только, которым тоже предстоит сдавать экзамен по математике.

[СЛАЙД 4]Задачи проекта:

1. Выбрать одно тригонометрическое уравнение для исследования.
2. Проанализировать все знакомые методы на предмет применимости к решению выбранного уравнения. Предоставить теорию по каждому из выбранных методов.
3. Продемонстрировать каждый метод на примере выбранного уравнения, показав шаги решения и объяснив каждый из них.
4. Для каждого из методов подобрать уравнения, которые можно решить этим методом. Оформить все в виде таблицы.
5. Сравнить полученные результаты и выявить преимущества и недостатки каждого метода.

Подготовить отчет о проделанной работе в виде презентации и краткое изложение хода исследования.

[СЛАЙД 6,7] В работе я решила не выделять в отдельную главу на теорию, практику и задания для тренировки, а для каждого из методов представить это все в удобной таблице. В первой сточке или столбце таблицы краткая теория по выбранному методу,  

[СЛАЙД 8,9]ниже представлено уже решение уравнения с пояснениями к каждому шагу

[СЛАЙД 10] и в конце таблицы уравнения для того чтобы каждый мог попрактиковаться в решении уравнений данным методом.

[СЛАЙД 11] В ходе исследования были рассмотрены и проанализированы вышеперечисленные методы, применимые к данному уравнению. Их оказалось пять

• Метод решения с помощью формул приведения и суммы, разности тригонометрических функций ( он относится к специальным приемам)

•  Координатно-графический метод;

• Метод введения  вспомогательного угла;

• Тригонометрические уравнения, сводящиеся к однородным (первой или второй степени)

• Универсальная тригонометрическая подстановка

 Проведенный анализ помог выявить как преимущества, так и недостатки каждого из этих методов, а также определить условия их применимости.

[СЛАЙД 11,12]К недостаткам можно отнести громоздкость решения в методе решения с помощью формул приведения и формул суммы или разности тригонометрических функций  и при введении тригонометрической единицы, но это относится только к рассматриваемому уравнению, при решении других уравнений может получиться так, что этот метод самый компактный.

[СЛАЙД 13,14] Больше всего на практике мне понравились координатно-графический метод и способ решения с помощью универсальной тригонометрической подстановки. Они для рассматриваемого уравнения оказались самыми компактными, а возможность представить решение уравнения графически еще и «увидеть» эти решения.  

В дальнейшем данную работу можно будет расширить другими методами решения тригонометрических уравнений, конечно же уже не ограничиваясь одним уравнением.

[СЛАЙД  15]Самое сложное в работе было определить применимость существующего метода к выбранному уравнению, но именно решение данной проблемы и помогает сформировать навык выбора того или иного метода для решения уравнения.

Всем спасибо за внимание у меня все. Если есть вопросы могу на них ответить.