https://docs.google.com/presentation/d/1JI13PU3o5n...
ССЫЛКА НА ПРЕЗЕНТАЦИЮ
ССЫЛКА ЕСТЬ НА ПЕРВОЙ СТРАНИЦЕ РАБОТЫ
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 105.8 КБ |
МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛЕСНОГОРОДСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА ДУБКОВСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
(143080, Московская область, посёлок ВНИИССОК, Липовая улица, д. 1)
Тел. 594-30-21)
КОНКУРСНАЯ РАБОТА
Математика
«ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА: БАНКИ И КРЕДИТЫ»
Содержание и различные подходы к решению задач на кредиты
Выполнили:
Мелиш Кирилл Юрьевич, 11 класс
Московская область,
Одинцовский р-он, посёлок ВНИИССОК,
улица Берёзовая, д. 4, кв. 214
Новиков Сергей Сергеевич, 11 класс
Московская область,
Одинцовский р-он, посёлок ВНИИССОК,
улица Михаила-Кутузова, д. 15, кв. 654
Руководитель:
Голованова Елена Евгеньевна
Учитель математики
Лесногородской средней общеобразовательной школы (Дубковское отделение)
Одинцово
2023
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМАТИКА ЗАДАЧ. 4
ГЛАВА 2. ТИПЫ И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ И ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. 5
ГЛАВА 3. РАВНЫЕ ПЛАТЕЖИ 7
Ищем кредит 7
Ищем платеж 9
Ищем процент (%) 12
Ищем срок кредита 14
ГЛАВА 4. РАЗНЫЕ ПЛАТЕЖИ 17
ГЛАВА 5. РАВНОМЕРНО УМЕНЬШАЮЩИЕСЯ ПЛАТЕЖИ 20
ВЫВОД 25
ПРИЛОЖЕНИЕ 26
ИСТОЧНИКИ 32
ПРЕЗЕНТАЦИЯ
МЕТОДИКА ПРЕПОДОВАНИЯ ТЕМ, СВЯЗАННЫХ С РЕШЕНИЕМ ЗАДАЧ ЕГЭ ПО ТЕМЕ КРЕДИТЫ
Цели проекта: Разработка методического пособия для учащихся выпускных классов и абитуриентов, повышение среднего балла на ЕГЭ (профильная математика), Создание справочно-методической базы для учителей.
Задачи проекта:
Наша задача состоит в том, чтобы создать методическое пособие, в котором будут все приемы и методы, необходимые для решения и понятные для учеников.
Актуальность темы: актуально, т.к. каждый год ученики сдают ЕГЭ по математике, одно из заданий которого связано с данной темой.
Для начала стоит разобраться в самой сути кредита. Что это такое?
Кредит – договор между кредитором – тем, кто дает заём и заёмщиком – тем, кто непосредственно получает ссуду. Заёмщик договаривается c кредитором об определённых условия, на основании которых будет выдан кредит. Одним из условий является срок, за который должна быть выплачена полная сумма взятого кредита, включая проценты.
Отдельно стоит сказать о проценте или процентной ставки кредита. При увеличении процентной ставки, конечная сумма кредита будет больше на , где S – изначальная сумма кредита, r- процентная ставка,
. Если представить данную зависимость в виде графика -
(см. приложение рис. 15), с учетом того, что платеж в нашей модели один единственный, где S – константа, то мы сможем убедиться в том, что наша зависимость линейная и прямо пропорциональная. С увеличением количества платежей количество вариантов выплаты кредита будет увеличиваться. Далее мы рассмотрим наиболее практически значимые из них.
Разобравшись в том, что же такое кредит, перейдём непосредственно к решению задач. Но перед этим для лучшего их понимания стоит ввести определенную классификацию данных задач:
По типу платежа: | По искомой величине: |
Равномерный платеж | Кредит |
Разные платежи | Платеж |
Равномерно уменьшающиеся платежи | Процентная ставка |
Срок кредита |
(табл. 1)
Общим методом решения является составление таблицы, где мы последовательно отражаем данные согласно заданным условиям. Например, для задачи, где некоторый гражданин берет некоторую сумму S в кредит на n лет(месяцев) под r% (процентная ставка кредита) погашает её равными платежами x. Составим таблицу погашения кредита в общем виде. (см. табл.2).
S - сумма кредита
r - % по кредиту
(данная переменная означает насколько сумма долга после начисления % больше суммы долга до этого)
x - платеж
Год | Долг с % | Платеж | Сумма после платежа |
0 | S | ||
1 | Sb | x | Sb-x |
2 | (Sb-x)b | x | (Sb-x)b-x |
3 | ((Sb-x)b-x)b | x | ((Sb-x)b-x)b-x |
… | … | … | … |
n | (((Sb – x)…)b-x)b | x | 0 |
(табл. 2)
Несмотря на различные трактовки задач составителями ЕГЭ, основной метод их решения, без которого все остальные не имеют никакого практического смысла и благодаря которому достигается логичность и правильная последовательность действий, проводящих к нужному ответу, – составление таблицы.
Так же немаловажно и то в каких единицах требуется записать ответ – в миллионах, тысячах или просто в рублях.
Теперь, после всего вышесказанного мы может приступить к разбору методов решения задач на кредиты.
В задачах на равные платежи неизвестными могут быть такие данные как: кредит, процент, платеж и срок кредита. Подробнее разберем задачи на нахождение этих неизвестных:
ЗАДАЧА №1:
31 декабря 2022 годя Геннадий Иванович взял в банке некоторую сумму в кредит под 11% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 11%), затем Анатолий переводит в банк 3,696,300 рублей. Какую сумму взял Геннадий Иванович в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Для решения данной задачи стоит ввести условные обозначения и их известные значения из данной задачи:
S - сумма кредита (руб.) | S-? руб. |
r - % по кредиту | 11% |
x - платеж (руб.) | 3,696,300 руб. (2 равных платежа) |
(табл. 3)
Затем мы составим таблицу, согласно общему образцу для данного типа платежей (см табл. 4):
Год | Долг с % | Платеж | Сумма после платежа |
0 | S | ||
1 | Sb | x | Sb-x |
2 | (Sb-x)b | x | (Sb-x)b-x |
(табл. 4)
При условии, что мы ищем кредит, нам по существу важна лишь ячейка в последней строчке таблицы, колонке «сумма после платежа» (см. табл. 4), но для её верности нам необходимо составлять таблицу с самого начала. Итак, согласно нашей таблицы, значение в этой ячейке равно 0, так как долг полностью выплачен, значит мы можем записать равенство - . Это и будет наше уравнение, решив которое, мы сможем найти сумму, взятую в кредит.
Подставим в преобразованное уравнение известные значения из таблицы (см. табл. 3)
Так же число 3696300 представим в виде произведения: и в получившееся уравнение:
Для сокращения данной и подобных ей дробей, мы будем пользоваться признаками делимости, а точнее наиболее употребимыми: на 2, на 3, на 4, на 5, на 25.
Ответ: 6,330,000 рублей
ЗАДАЧА №2:
В июле 2023 года планируется взять кредит в банке на сумму 545 000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 40% по сравнению с концом предыдущего года
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?
Составим таблицу с условными обозначениями, подобную той, что составлена для задачи №1. Основное её отличие заключается в сроке лет.
S - сумма кредита (руб.) | 545 000 руб. |
r - % по кредиту | 40% |
x – платеж (руб.) | x руб. |
B - сумма выплат (руб.) | 3x - ? руб. |
(табл. 5)
Год | Долг с % | Платеж | Сумма после платежа |
0 | S | ||
1 | Sb | x | Sb - x |
2 | (Sb - x)b | x | ((Sb - x)b - x |
3 | ((Sb - x)b - x)b | x | 0 |
(табл. 6)
Стоит обратить внимание на неизвестную, которую просят найти. В нашем случае , но будущем мы столкнемся с задачами, где сумма выплат может выражаться более сложными уравнениями. Но вернемся к задаче. По существу, мы обращаем свое внимание лишь на последнюю строку таблицы, мы уже делали это при решении задачи №1. Но выражать мы будем не сумму, взятую в кредит, а платёж:
Найдя формулу для одной выплаты, мы можем подставить её в уравнение суммы выплат и найти нужное значение:
Подставив известные значения вместо переменных, найдем сумму выплат:
Ответ: 1 029 000 руб.
ЗАДАЧА №3:
31 декабря 2022 года Пётр Ильич Чайковский взял в банку некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Сема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на r%), затем Пётр Ильич Чайковский переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 328 050 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 587 250 рублей, то за 2 года. Найдите r.
Как и в прошлых задачах, введем систему условных обозначений:
S - сумма кредита (руб.) | S руб. |
r - % по кредиту | r % |
x – платеж (руб.) | 328 050 руб. (4 равных платежа) 587 250 руб. (2 равных платежа) |
(табл. 7)
Но в отличии от них, мы составим две таблицы: одну для первого условия - руб. и вторую -
руб.
Год | Долг с % | Платеж | Сумма после платежа |
0 | S | ||
1 | Sb | x1 | Sb – x1 |
2 | (Sb – x1)b | x1 | ((Sb – x1)b – x1 |
3 | ((Sb – x1)b – x1)b | x1 | ((Sb – x1)b – x1)b-x1 |
4 | (((Sb – x1)b – x1)b-x1)b | x1 | 0 |
(табл. 8)
Год | Долг с % | Платеж | Сумма после платежа |
0 | S | ||
1 | Sb | x2 | Sb – x2 |
2 | (Sb – x2)b | x2 | 0 |
(табл. 9)
Составим уравнение из первой и второй таблиц:
Так как мы ищем общее решение этих двух уравнений относительно b, то мы поместим их в систему и решим её:
В итоге, решив систему уравнений мы пришли к тому, что: . Следовательно искомая неизвестная:
. Теперь, подставив известные нам значения, найдем процентную ставку:
Ответ: 12,5%
ЗАДАЧА №4:
Иван (Грозный) Рюрикович хочет взять в кредит 1 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Процентная ставка 10% годовых. На какое минимальное количество лет Иван (грозный) Рюрикович может взять кредит чтобы ежегодные выплаты не превышали 250 тысяч рублей?
В отличие от всех представленных видов задач в данном методическом пособии, это задача не имеет конечное уравнение с нужной нам неизвестной. Единственный практический метод её решения – напрямую. Идя по составленной нами таблице, согласно алгоритму, описанному в главе 3, мы проводим все необходимые вычисления, не забывая про основные способы и приёмы решения задач по теме кредиты.
Для удобства счета переведем миллионы рубле в тысячи, и систематизируем полученную информацию, как мы делали это раннее:
S - сумма кредита (тыс. руб.) | 1000 тыс. руб. |
r - % по кредиту | 10% |
x – платеж (руб.) | 250 тыс. руб. |
(табл. 10)
Год | Долг с % | Платеж | Сумма после платежа |
0 | 1000 | ||
1 | 250 | ||
2 | 250 | ||
3 | 250 | ||
4 | 250 | ||
5 | 250 | ||
6 | 92,6585 | 0 |
(табл. 11)
Ответ: 6 лет
Рассмотрим внимательнее, что мы сделали. Сначала идет 0 год – год, в который был взят кредит (1000 тыс. руб.), затем 1 год, в который банк начисляет проценты: , после этого Иван переводит деньги банку так, что сумма оставшегося долга становиться: 1100-250=850. Так как оставшаяся сумма долга не равна 0 наступает следующий год срока кредита и так далее, до того момента, пока долг, после начисления банком процентов, не будет меньше суммы выплаты. В этом случае Иван окончательно выплачивает кредит, и сумма оставшегося долга становиться равной 0.
ЗАДАЧА №5
В июле 2024 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долго.
Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 160 тысяч рублей, а во второй год – 240 тысяч рублей.
Итак, воспользуемся основным методом решения задач по теме кредиты: составление таблицы и её краткой записи:
S - сумма кредита (тыс. руб.) | 300 тыс. руб. | |||
r - % по кредиту | r% | |||
x – платеж (руб.) | x1 = 160 тыс. руб. x2 = 240 тыс. руб. | |||
Год | Долг с % | Платеж | Сумма после платежа | |
0 | S | |||
1 | Sb | x1 | Sb-x1 | |
2 | (Sb-x1)b | x2 | 0 |
(табл. 12)
Затем, нам необходимо составить уравнение, благодаря которому мы сможем найти интересующую нас величину и записать её в ответ:
Сразу можно заметить то, что перед нами квадратное уравнение (относительно неизвестной b), способы решения которого вы рассматривали раннее в учебном курсе алгебры. Подставим известные нам величины и решим данное квадратное уравнение:
Мы получили два действительных корня уравнения, но один из них не подходит по области определения переменной b. Так как b не может быть числом отрицательным, в силу того что в таком случае задача смысла не имеет. Значит из этих двух корней нам подходит лишь положительный: b = 1,2. Далее по условию задачи нам нужно найти r, которая вычисляется по формуле: .
Ответ: 20%
Суть задач на равномерно уменьшающиеся платежи состоит в том, что сумма кредита уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же сумму каждый месяц или год. Для решения задач данного типа нам необходимо иметь знания об арифметический числовой прогрессии, её признаках и формуле суммы арифметической числовой прогрессии. Разберем пример:
ЗАДАЧА №6:
15 января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го число каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнения с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумма меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1,3 млн рублей?
Стоит обратить внимание на третье условие задачи: «15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумма меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.». Эта и другие на неё похожие фразы означает, что мы имеем дело с задачей на равномерно уменьшающиеся платежи. Запишем краткую запись и составим таблицу к задаче:
S - сумма кредита (тыс. руб.) | S - ? руб. | |||
r - % по кредиту | 4% | |||
1,04 | ||||
B – сумма выплат | 1,3 млн. руб. | |||
Месяц | Долг с % | Платеж | Сумма после платежа | |
0 | S | |||
1 | Sb | |||
2 | ||||
3 | ||||
… | … | … | … | |
12 | ||||
13 | ||||
14 | 0 |
(табл. 13)
Так как нам известна только лишь сумма всех выплат по кредиту, то мы будем составлять уравнение всех выплат в общем виде:
Затем мы можем заметить, что числовая последовательность: – напоминает уже известную нам из школьного курса математики арифметическую последовательность, что мы и должны доказать:
Докажем, что: – числовая последовательность
Следовательно, раз уж данная числовая последовательность является арифметической, то мы можем найти сумму всех её членов для упрощения дальнейших вычислений:
Значит:
Откуда, выразив неизвестную S, мы найдём ответ:
Ответ: 1 млн руб.
Так же данную задачу можно решить несколько иначе, графически:
(рис. 1)
Представим, что мы ежемесячно выплачиваем часть кредита, то есть . Пусть прямоугольник ABCD – «тело кредита», та сумма, которую мы взяли в кредит. Сторона AD в таком случае будет сроком кредита равный 14 месяцам, а AB – ежемесячная выплата по кредиту. Так как мы ежемесячно выплачиваем часть кредита равную
, то
. Пусть площадь трапеции BTFC будет суммой процентных выплат по кредиту, где BT – наибольшая из них, а FC – наименьшая. Стоит заметить, что сумма всех выплат будет равна сумме площадей прямоугольника ABCD и трапеции BTFC или площади большой трапеции ATFD.
Стоит заметить, что процентная выплата будет наибольшей в первый месяц срока кредита, сразу после начисления процентов на остаток долга, то есть на сам кредит. Следовательно, наибольшая процентная выплата будет равна , где
. Следуя данной логике, процентная выплата будет наименьшей в последний месяц кредитования, сразу после начисления процентов, то есть
.
Отсюда мы можем найти сумму, взятую в кредит:
Ответ: 1 млн. руб.
Начав с объяснения проблематики задач, мы рассказали общие методы и приёмы решения задач на кредиты, разобравшись с формой краткой записи задачи и составлением таблиц, мы усвоили необходимость использования неправильных дробей при решении уравнений. Затем решая задачи на равные платежи, мы последовательно объясняли все этапы решения, в зависимости от неизвестной. Затем мы перешли к задачам на разные платежи и используя полученные ранее знания, решили один пример с подробными объяснением и выводами. Задачи на равномерно уменьшающиеся платежи требовали от нас знаний о числовых прогрессиях и их признаках, в чём мы убедились на примере решения одной из такой задачи, на основании которой также был представлен графический метод решения с полными объяснением и доказательством.
В заключение можно сказать о том, что решение задач на кредиты помогает не только закрепить знания в области математики, ранее полученные в школьном курсе, но и повысить уровень финансовой грамотности ученика, а также мыслить логически, последовательно и приводить обоснованные доказательства.
(рис. 15)
Задачи для дополнительного решения
Равные платежи
1. 15 июля 2016 года Игорь взял в банке кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 15 июля каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Игорь переводит в банк 6 220 800 рублей. Какую сумму взял Игорь в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
2. В сентябре 2023 года планируется взять вредит в банке на сумму 1 820 000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?
3. 18 августа 2021 года Кирилл взял в банке некоторую сумму в кредит под некий процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 18 августа каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на a%), затем Кирилл переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 405 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 686 250 рублей, то за 2 года. Под какой процент Кирилл взял деньги в банке?
4. Сергей хочет взять в кредит 4 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начала начисления процентов. Ставка процента 15% годовых. На какое минимальное количество лет Сергей может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 1 млн рублей?
Разные платежи
5. В мае 2023 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в мае каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Месяц и год | Май 2023 | Май 2024 | Май 2025 | Май 2026 | Май 2027 |
Долг | S | 0,7S | 0,4S | 0,1S | 0 |
Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше 15 млн рублей.
6. В августе 2023 планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июль каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в августе 2024, 2025 и 2026 долг остается равным S тыс. рублей;
- выплаты в 2027 и 2028 годах равны по 605 тыс. рублей;
- к августу 2029 долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
7. В октябре 2023 г. планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4 млн рублей. Условия его возврата таковы:
- в январе каждого года долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего года, где r – целое число;
- с февраля по июль каждого года необходимо выплатить часть долга;
- 1 августа каждого года долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:
Дата | 01.08.2024 | 01.08.2025 | 01.08.2026 | 01.08.2027 | 01.08.2028 |
Долг | 3,2 | 2,6 | 1,4 | 0,6 | 0 |
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 8 млн рублей.
Равномерно уменьшающиеся платежи
8. 9 сентября планируется взять кредит в банке на 12 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 7% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 8-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 9-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 9-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 2,91 млн рублей?
9. В апреле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по март каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в апреле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на апрель предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит 2,5 млн рублей?
10. В июне планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на срок 10 лет. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июне каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июнь предыдущего года.
Найдите r, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 2,5 млн рублей, а наименьший – не менее 0,7 млн рублей.
11. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 6 млн рублей.
ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ ДЛЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:
1. - 16 104 000 рублей
2. - 2 592 000 рублей
3. - 20 %
4. - 7 лет
5. - 10 млн рублей
6. - 1 520 тыс. рублей
7. - 33%
8. - 2 млн рублей
9. - 31 млн рублей
10. - 40%
11. - 9 лет
3 загадки Солнечной системы
Медведь и солнце
Самый богатый воробей на свете
Выбери путь
Хитрый коврик