Исследовательская работа: Признаки делимости чисел

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Бортойская средняя общеобразовательная школа»

Секция: Естественно-научного профиля

Исследовательская работа

«Признаки делимости чисел»

Автор: Соктоева Нарана

ученица 6 класса

Руководитель: Раднаева Раиса Геннадьевна

учитель математики и физики

Бортой, 2023 г.

Содержание

1. Факты из истории математики.
2. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5 ,6, 9, 10, 15.
3. Признаки делимости натуральных чисел на 4, 8, 11.
4. Решение задач с использованием признаков делимости.
5. Вывод.
6. Список использованной литературы (источников).

Актуальность: в курсе изучения математики 6 класса, мы изучаем признаки делимости, которые помогают нам быстро выяснить и разделить то или иное число. Мне стало интересно, какие еще есть признаки делимости натуральных чисел, кроме тех, которые даны в учебнике 6 класса и можно ли ещё самой вывести новые признаки делимости? Именно поэтому для исследовательской работы мной выбрана тема «Признаки делимости натуральных чисел».

Гипотеза: если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то вероятней всего есть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.

Предмет исследования: признаки делимости натуральных чисел.

Цель: дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе.

Задачи:

• Дать определение и повторить уже изученные признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10.
• Самостоятельно проверить и получить признаки делимости натуральных чисел на 6 и 15
• Найти из дополнительной литературы признаки делимости натуральных чисел на 4, 8, 11.
• Сделать вывод.

Новизна: в ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.

Методы исследования: сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.

1. Факты из истории математики.

Делимость натуральных чисел, простые и составные числа, взаимно простые числа, делители и кратные, разложение чисел на простые множители интересовали великих математиков еще с древних времен. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры. Признак делимости на 9 имеется у греков в III  веке до н.э., признак делимости на 3 зафиксирован у Леонарда Пизанского (1228г) и Иордана Неморария (умер 1237 г).

Признаки делимости на 2, 3 и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170 – 1228).

Признак делимости на 11 рассматривал араб ал-Кархи (примерно 1100 г).

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль, один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль нашел общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, который опубликовал в трактате "О характере делимости чисел".

2.Признаки делимости на 2, 3, 5 ,6, 9, 10, 15.

Признак делимости — алгоритм, позволяющий  быстро определить, делится ли число заданному числу.

  Признак делимости на 2: Число делится на 2 в том случае, если его последняя цифра чётная, т.е. заканчивается 0,2,4,6,8.

Например: 23478, 13690, 13574 и т.д.

  Признак делимости на 3: Число делится на 3 в том случае, если сумма его цифр делится на 3.

Пример: 23172 делится на 3, т.к. 2+3+1+7+2 =15, которое  делится на 3.

  Признак делимости на 5: Число делится на 5 в том и только в том случае, если оно оканчивается на 0 или на 5.

Пример: 4230,  3275 делятся на 5, т.к. они оканчиваются 0 и 5.

  Признак делимости на 9: Число делится на 9 в том случае, если сумма его цифр делится на 9.

Пример: 1827 делится на 9, т.к. 1+8+2+7=18, которое делится на 9.

  Признак делимости на 10: Число делится на 10в том случае, если его последняя цифра равна 0.

Пример: 2340, 125600 и т.д.

  Используя признаки делимости на 2, 3 и 5, я узнала признаки делимости 6 и 15.

  Признак делимости на 6: так как 6=2*3, то число, которое делится на 6, должно делиться одновременно на 2 и 3. Таким образом, число делится на 6 в том случае, если оканчивается четной цифрой и сумма цифр делится на 3.

Пример: 23172 делится на 6, т.к. последняя цифра 2 – четная цифра и 2+3+1+7+2=15, которое делится на 3.

Признак делимости на 15: так как 15=3*5, то число, которое делится на 15, должно делиться одновременно на 5 и 3. Значит должно оканчиваться на 0 или 5 и сумма цифр, из которых состоит число, делиться на 3.

Пример: 1230; 2415

3.Признаки делимости натуральных чисел на 4, 8, 11.

 Из дополнительной литературы я узнала, что существуют несколько признаков делимости на 4, 8 и 11.

Признак делимости на 4: Число делится на 4 в том случае, если две его последние цифры образуют двузначное число, делящееся на 4, или оканчивается двумя нулями.        

Пример: 8316 делится на 4, т.к. 16 делится на 4, 234700 делится на 4

  Признак делимости на 8: Число делится на 8 в том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8, или заканчивается тремя нулями.

Пример: 123328 делится на 8, т.к. 328 делится на 8 или 234000 также делится на 8.

Признаки делимости на 11.

Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа равна цифре, которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр.

Примеры:
594 делится на11, т.к. 5+4=9, 9-в середине.

473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7- в середине.

861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6.

Если количество цифр нечетное, то находят разность суммы цифр стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, и проверяют, делится ли на 11. Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет слева направо.

Пример:

2135704  2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.

1352736  1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, значит, это число делится на 11.

Если количество цифр четное, то число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.

Пример: Определим, делится ли число 12561714 на 11.
Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 делится на 11, значит, данное число делится на 11.

4.Решение задач с использованием признаков делимости.

Задача № 1.

Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков» - две взрослые и одну детскую за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают?

Решение.

3543+500= 4043, но 4043 не делится на 3.

Задача № 2

Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее из таких чисел. Напишите наименьшее из таких чисел.

Решение.

Используем признак делимости на 11.

Ответ: 987652413; 102347586

Задача № 3

Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Решение: наибольшие цифры 8 и 9

1. так как число делится на 2, значит последняя четная цифра
2. делится на 5, последняя цифра 5 или 0.

Из 1 и 2 следует, что последняя цифра 0.

3. делится на 9, значит, сумма цифр должна делиться на 9
4. делится на 11, значит разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11 или равна 0.

из 3 и 4 следует (8+1)-(9+0)=0

Ответ: 8910

Вывод: В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математике. Я узнала, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 8, 11.

   Познакомившись с признаками делимости чисел, я считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации. Например, при решении олимпиадных задач, пригодится при сдаче ОГЭ и ЕГЭ.

5. Список использованной литературы (источников):

1. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир: Математика 6 класс.
2. И. Я. Депман, «История арифметики», Москва, 1965, «Просвещение»
3. Л.М. Фридман. Изучаем математику: Книга для учащихся 5-6 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1995.- 255с.: ил.
4. Я.И. Перельман, «Живая математика», Москва, 1978, «Наука»
5. http://www.doronchenko.ru/2009/01/13/vse_pro_chislo_13.html
6. http://ru.wikipedia.org/wiki/3
7. htpp://www.krugosvet.ru/articles/07/1000723/1000723a1.htm