Исследовательская работа " Автоподобности в математике и биологии "

Муниципальное казённое образовательное учреждение

«Илирская средняя общеобразовательная школа № 2»

Тема исследования:

«Автоподобности в математике и биологии»

п. Прибрежный  2023г.

Содержание

Введение.…………………………………...…………………………………….…..…3

1. Автоподобность в математике……………………………………………….…….3

1. История открытия автоподобности………………………………………….…4
2. Автоподобные фигуры……………………………………………………..…...4

1. Звезда Коха………………………………………………………………..4
2. Кривая Пеано……………………………………………………………...5

3. Проявление автоподобности в биологии………………………………………5

1. Паутина Крестовика……………………………………………………….5
2. Розетка подсолнечника…………………………………………………....5
3. Расположение листьев на стебле…………………………………………6

1. Исследование………………………………………………………………………..6

1. Нахождение длины звезды Коха…………………………………………….....6
2. Нахождение площади  звезды Коха…………………………………………….7
3. Модель кривой Пеано……………………………………………………………7

Заключение………………………………………………………….……….…...…….8

Список литературы…………………………………………………..………..……….8

Приложение………………………………………………………….……..…………..9

Введение

Первый раз, услышав о фракталах и автоподобных фигурах, я задался вопросом, что это такое? С одной стороны – это сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составления из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Данная тема сегодня очень актуальна, поскольку в современной математике развивается новый раздел - фрактальная геометрия. Фракталы успели занять полноправное место не только в математике, но и в других областях науки, а красивые рисунки, выполненные с помощью компьютерной графики, привлекают к ним даже людей, далёких от науки. Меня увлекает строение дерева и его ветвей, расположение листьев на стебле, розетка подсолнечника, форма кристаллов и снежинок, поведение бабочек в ночное время суток.

Я выдвинул гипотезу, встречаются ли  автоподобные фигуры в математике и в биологии.

Тема: Автоподобности в математике и биологии 

Цель: Исследовать проявление автоподобности в математике и биологии.

Задачи:

1. Познакомиться с примерами автоподобных фигур.
2. Исследовать свойства этих фигур.
3. Построить модель кривой Пеано, вычислить площадь звезды Кох и длину кривой, ограничивающей звезду Кох.
4. Рассмотреть расположение листьев на стебле, розетке подсолнечника, изучить свойства паутины крестовика.

1. Автоподобность в математике

Математика – одна из древнейших наук. За долгую историю своего существования она знала периоды расцвета и застоя. Фигуры, части которых подобны целому, всё больше и больше привлекают к себе не только математиков, но и ученых самых различных областей знания.

Автоподобность в математике построена на понятиях: подобные фигуры, пропорциональность, геометрическая прогрессия, числа Фибоначчи.

Автоподобные фигуры – это фигуры, части которых подобны целому. Из частей автоподобных фигур, создаются более сложные фигуры.

Фрактал - это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба. Масштабная инвариантность, наблюдаемая во фракталах, может быть либо точной, либо приближённой. В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность.

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Пропорциональность проявляется в подобном строении дерева и его ветвей, в формах снежинок, кристаллов, в сохранении одной клеткой живого организма всей информации о целом.

Последовательность (bn), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q, называется геометрической прогрессией. Формула бесконечной геометрической прогрессии S=b1/1-q , где b1 это первый член геометрической прогрессии и q – это знаменатель геометрической прогрессии.

Числа Фибоначчи — элементы числовой последовательности 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, в которой первые два числа равны 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Названы эти числа в честь средневекового математика Леонардо Пизанского, известного как Фибоначчи.

1. История открытия автоподобности

Идею само подобия малого в большом высказал известный немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716) рискнул предположить, что внутри капли воды могут умещаться целые вселенные со своими планетами.  До начала 20 века фракталы и автоподобные фигуры совершенно не изучались. Считалось, что они не являются полноправными математическими объектами, и поэтому их изучение отбрасывалось. Идеи изучения автоподобных фигур были развиты Б.Мандельбротом,  в 1975 году он ввёл слово «фрактал». Фрактал происходит от латинского слова  fractus, от которого позднее произошли английские термины fraction, fractional – дробь, дробный.

2. Автоподобные фигуры

1.2.1 Звезда Коха

Один из первых примеров автоподобных фигур был придуман немецким математиком Хельгой фон Кох. Называется звезда Кох. Для её построения к начальному равностороннему треугольнику последовательно добавляют новые, подобные ему, треугольники. На первом шаге стороны правильного треугольника разбиваются на три равные части и их середины заменяются на правильные треугольники, подобные исходному. В результате получается правильный звездчатый шестиугольник. Стороны этого шестиугольника снова разбиваются на три равные части, а их середины заменяются на правильные треугольники и т.д.

1.2.2 Кривая Пеано

Еще один пример кривой, получающейся последовательным приближением подобными многоугольниками, был получен Д. Пеано и называется кривой Пеано.

Для ее построения данный квадрат разбивают на четыре равных квадрата и соединяют их центры тремя отрезками. Уберем внутренние стороны квадратов и из четырех их копий составим фигуру:

Снова уберем внутренние стороны квадратов и соединим тремя отрезками концы ломаных. Повторяя описанную процедуру, будем получать более сложные ломаные, приближающиеся к кривой Пеано.

Ломаные, участвующие в построении кривой Пеано, на каждом этапе проходят через все квадраты, а сами квадраты уменьшаются, стягиваясь к точкам исходного квадрата. Поэтому кривая Пеано будет проходить через все точки исходного квадрата, т.е. она будет полностью заполнять весь исходный квадрат. Конечно, она будет иметь бесконечную длину.

3.  Проявление автоподобности в биологии

1.3.1 Паутина Крестовика

Сеть взрослой самки паука-крестовика имеет строго определенное число радиусов и спиралей клейких нитей и постоянное расстояние между соседними витками.

Известно, что в её сети имеется 39 радиусов, 35 витков спирали и 1245 точек прикрепления радиусов к спирали. Строительный инстинкт паука - результат запрограммированного всего комплекса движений в нервной системе, который закреплен генетически. Поэтому даже молодые паучки могут плести паутинную сеть, как и взрослые.

1.3.2 Розетка подсолнечника

Еще одним примером спиралевидного фрактала является розетка подсолнечника.

1.3.3 Расположение листьев на стебле

По мере роста стебля листья на нем располагаются в определенном порядке, обусловливающем доступ к достаточному количеству света.

Они появляются на стебле по спирали: по часовой стрелке и против часовой стрелки, под определенным углом расхождения. В угле расхождения замечена точная последовательность чисел Фибоначчи: 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89.

Эта последовательность ограничена полным оборотом в 360°, 360°*34/89=137,52 или 137°30` - угол, известный под названием золотой угол.

Количество оборотов в последовательности определяется моментом возвращения листа в начальное положение.

К примеру, листья могут быть расположены под углом:
а) 180° - 2 листа в обороте (1/2);

б) 120° - 3 листа в обороте (1/3);

в) 144° - пять листьев в два оборота (2/5) и т.д.

Поэтому листья растений располагаются на стебле в определенном порядке, т.е.  друг против друга, друг за другом или образуют кольцо.

Листья, располагающиеся друг против друга, называются супротивными. Супротивно прикрепляются листья базилика, мяты, гвоздики, сирени, зверобоя, шалфея, крапивы, триходесмы и других.

Поочередное прикрепление листьев  друг за другом – это у хлопчатника, помидора, яблони, абрикоса, тополя, шелковицы, розы, боярышника, винограда.

У некоторых растений листья располагаются в виде кольца. Такое расположение листьев называется мутовчатым. Оно встречается у олеандра, хвоща полевого.

2.  Исследование

2.1 Нахождение длины звезды Коха

Чтобы найти  длину  кривой, ограничивающей звезду Кох, сторону исходного равностороннего треугольника я взял за 1, тогда периметр начальной звезды равен 3.

На следующем шаге количество    сторон увеличивается в 4 раза, а длина каждой стороны полученного треугольника  в 3 раза меньше исходной.

Периметр правильного звездчатого шестиугольника будет равен (3*4)/3=4. На каждом следующем шаге периметр многоугольника будет увеличиваться в 4/3 раза и т.д.

Вывод: кривая Кох, к которой приближаются многоугольники, имеет бесконечную длину.

2.2. Нахождение площади  звезды Коха

Пусть площадь исходного равностороннего треугольника равна 1.

На первом шаге добавляем 3 равносторонних треугольника, со сторонами в 3 раза меньшими исходных. Площадь каждого такого треугольника равна 1/9. Следовательно, площадь правильного звездчатого шестиугольника равна 1+3/9=4/3.

На следующем шаге добавляется 12 треугольников суммарной площади 12/81. Поскольку длины сторон треугольников на каждом шаге уменьшаются в 3 раза, их площадь уменьшается в 9 раз. Число добавляемых треугольников равно числу сторон многоугольника и на каждом шагу увеличивается в 4 раза.

По формуле бесконечной геометрической прогрессии S=b1/1-q находим:

S=3/9:(1-4/9)=3/9:5/9=3/9*9/5=3/5

Sзв.Кох=1+S=1+3/5=8/5.

Вывод: площадь звезды Кох представляет собой площадь исходного треугольника плюс сумма геометрической прогрессии с начальным членом 3/9 и знаменателем 4/9.

2.3. Модель кривой Пеано

Построение модели кривой Пеано, я выполнял из листов бумаги формата А4:

1. Из листа А4 вырезал квадрат;
2. Данный квадрат разделил на 4 равных квадрата, отметив их центры,  и соединил центры тремя отрезками;
3. Расположив в нужном порядке мини-квадраты,  склеил их на одном листе А4 и соединил тремя отрезками концы ломаных;

4. Так мне понадобилось 32 мини-квадратов. Повторяя описанную процедуру, будем получать более сложные ломаные, приближающиеся к кривой Пеано. 

Вывод: Ломаные, участвующие в построении кривой Пеано, на каждом этапе проходят через все квадраты, а сами квадраты уменьшаются, стягиваясь к точкам исходного квадрата. Поэтому кривая Пеано будет проходить через все точки исходного квадрата, т.е. она будет полностью заполнять весь исходный квадрат, и будет иметь бесконечную длину.

Заключение

При выполнении данной работы я узнал, что такое автоподобность и её свойства. Познакомился с понятиями автоподобность и фрактал. Понятия автоподобности и фрактала завораживает своей красотой и таинственностью, проявляясь в самых неожиданных областях: метеорологии, философии, географии, биологии, механики и даже истории. Если мы зададим слово «фрактал» в любой поисковой системе, то придём к мысли, что Рунет создавался для фракталов и автоподобных фигур. Практически невозможно не увидеть автоподобные фигуры в природе, ведь почти каждый объект (облака, горы, береговая линия и т.д.) имеют фрактальное строение.

Исследовав проявление автоподобности в математике и в биологии, выдвинутая мной гипотеза была доказана, в процессе исследования. Автоподобные фигуры встречаются и в математике и в биологии.

Я вычислил площадь звезды Кох, провел исследования по нахождению длины кривой, ограничивающей звезду Кох, и построил кривую Пеано. Работая над этой темой, я применял изученные мной определения, формулы, теоремы, выполнял расчёты, построение рисунков.

Рассмотрел расположение листьев на стебле, розетке подсолнечника, изучил свойства паутины крестовика.

Много ещё неизвестного, тайного, занимательного открывают передо мной такие науки, как математика и биология.

 Свою работу я хотел бы порекомендовать на уроках математике и, в общем, для своего кругозора.

Список литературы

https://obuchonok.ru/node/1673 

https://skillbox.ru/media/code/fraktaly-chto-eto-takoe-i-kakie-oni-byvayut/

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BB

https://yandex.ru/images/

Приложение