Первообразная и интеграл

Слайд 1

Слайд 2

Первообразная Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на данном промежутке, если для любого x из этого промежутка F’(x) = f(x). Пример: Первообразной для функции f(x)=x на всей числовой оси является F(x)=x 2 /2, поскольку ( x 2 /2 ) ’=x.

Слайд 3

Основное свойство первообразных Если F(x) – первообразная функции f(x), то и функция F(x)+C, где C – произвольная постоянная, также является первообразной функции f(x). Графики всех первообразных данной функции f(x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси y. Геометрическая интерпретация y x

Слайд 4

Неопределенный интеграл Совокупность всех первообразных данной функции f(x) называется ее неопределенным интегралом и обозначается : , где C – произвольная постоянная.

Слайд 5

Правила интегрирования

Слайд 6

Определенный интеграл В декартовой прямоугольной системе координат XOY фигура, ограниченная осью OX, прямыми x=a, x=b (a

Слайд 7

Определенный интеграл Вычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [ a;b ] на n равных частей. Проведем через полученные точки прямые, параллельные оси OY. Заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей. Площадь всей трапеции приближенно равна сумме площадей столбиков. по определению , его называют определенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [ a;b ] и обозначают так:

Слайд 8

Связь между определенным интегралом и первообразной (Формула Ньютона - Лейбница) Для непрерывной функции где F(x) – первообразная функции f(x).

Слайд 9

Основные свойства определенного интеграла

Слайд 10

Основные свойства определенного интеграла

Слайд 11

Геометрический смысл определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [ a;b ] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:

Слайд 12

Геометрический смысл определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [ a;b ] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:

Слайд 13

Геометрический смысл определенного интеграла Замечание : Если функция изменяет знак на промежутке [ a;b ] , то

Слайд 14

Физический смысл определенного интеграла При прямолинейном движении перемещение s численно равно площади криволинейной трапеции под графиком зависимости скорости v от времени t:

Слайд 15

Вычисление площадей и объемов с помощью определенного интеграла

Слайд 16

Площадь фигуры, Ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и y=g(x) таких, что для любого x из [ a;b ], где a и b – абсциссы точек пересечения графиков функций:

Слайд 17

Объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси x криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [ a;b ]: