Линейные и квадратные уравнения с параметрами

Слайд 1

Линейные и квадратные уравнения с параметром Проект выполняет: Иванов Платон 9 « Б» класс Руководитель проекта: Ситникова Галина Александровна 2022-2023 ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЬЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ШКОЛА №219 КРАСНОСЕЛЬСКОГО РАЙОНА Г. САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

Слайд 2

Оглавление ВВЕДЕНИЕ, АКТУАЛЬНОСТЬ…...………………………………………….3 ОПРОС…………………………………………………………………………4 ЦЕЛЬ, ЗАДАЧИ………………………………...………………………………5 ГИПОТЕЗА, МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ…...……………………………..6 ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ…………………………….………………………….....7 6.1 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ…………………….………8 6.2 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ………………...……….13 7. КОНЕЧНЫЙ ПРОДУКТ, ЗАКЛЮЧЕНИЕ .…………………………………..19 8. ЛИТЕРАТУРА…………………….……………………………………………20

Слайд 3

Введение Актуальность Темой проекта являются линейные и квадратные уравнения с параметром. Линейные и квадратные уравнения – это математические уравнения, решение которого зависит от значения одного или нескольких параметров. Такие темы, как «Линейные уравнения с параметрами» и «Квадратные уравнения с параметрами» изучаются только в математике углубленного уровня, поэтому эта проблема является актуальной, так как эти задачи встречаются на олимпиадах и в Кимах ГИА в форме ОГЭ и ЕГЭ. В данный момент выучить эти темы можно только самостоятельно. Это сильно сказывается на результатах.

Слайд 4

Опрос и его результаты Мною был проведен опрос среди учеников 9 классов, его результаты: Из них можно сделать вывод, что 70% обучающихся в 9х классах, не умеют решать уравнения с параметром.

Слайд 5

Цель проекта Задачи проекта Изучение тем «линейные и квадратные уравнения с параметрами» и изготовление методического пособия по этим темам - Провести анализ результатов ОГЭ и ЕГЭ по математике выпускников прошлых лет Провести опрос обучающихся 8,9 классов об умении решать уравнений с параметрами - Изучить темы «Линейные и квадратные уравнения с параметрами» - Изучить способы решения линейных и квадратных уравнений с параметрами - Систематизировать и упорядочить найденную информацию - Составить методическое пособие из имеющейся информации

Слайд 6

Гипотеза Методы исследования Если освоить общие принципы решения линейных и квадратных уравнений с параметром, то это позволит в дальнейшем овладеть приемами и способами решения более сложных задач с параметрами, тем самым обеспечит качественную подготовку к олимпиадам и ГИА в форме ОГЭ и ЕГЭ. Анализ литературы Обобщение и систематизация Экспериментально-теоретические методы Анкетирование Практическое моделирование

Слайд 7

Основная часть Существует всего два способа, с помощью которых можно решить линейное или квадратное уравнение с параметром. Первый способ – аналитический, второй способ – графический. При решении важны оба способа, потому что бывают уравнения, которые легко решить с помощью графического способа, но при этом тяжело решить с помощью аналитического. Также для решения необходимо знать следующие вещи: Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным, фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству. Аналитический метод – это способ «прямого» решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Графический метод – это исключительно наглядный способ решения задач с параметром.

Слайд 8

Линейные уравнения с параметром Линейное уравнение имеет вид ax=b. а и b – это некоторые действительные числа, х – переменная. Решение удобнее всего рассмотреть с помощью алгоритма успеха.

Слайд 9

Аналитический способ решения Пример 1 Постановка задачи Решить уравнение ax=2 Решение При а=0, то есть 0*x=2 , уравнение корней не имеет. Если а ≠ 0, то x = 2 : a Ответ: Если а=0, то корней нет Если а ≠0, то x = 2 :а

Слайд 10

Пример 2 Постановка задачи Найдите все a, при которых корнем уравнения ax+5a−2(3x+2)=−5x+a 2 будет любое число. Решение Раскроем скобки и перенесем все члены, содержащие x, влево, а остальные – вправо, приведем подобные: ax−x=a 2 −5a+4 вынесем за скобку x и разложим квадратный многочлен на множители: x(a−1)=(a−1)(a−4) Рассмотрим 2 случая: Ответ: а=1 Ответ: x=a-4

Слайд 11

Графический способ решения Пример 1 Постановка задачи Решить пример ax=2 Решение Запишем уравнение в виде системы Каждое уравнение системы изобразим графически в системе координат. Первое уравнение изображается прямой, второе – семейством прямых, проходящих через начало координат. При а = 0, т. е. второе уравнение примет вид у = 0, прямые будут параллельны, а значит, система не имеет корней. При а ≠ 0 прямые пересекаются, значит система имеет корень. Ответ: если а = 0, то корней нет; если а ≠ 0, то х = 2: a

Слайд 12

Пример 2 Постановка задачи Решите уравнение |х| = х + а. Решение Запишем уравнение в виде системы Далее построим график В системе координат Оху первое уравнение определяет ломаную, второе – семейство прямых, параллельных биссектрисе I и III координатных четвертей. Исходя из графика можно дать такой Ответ: Если а меньше 0 , то x=a :2 . Если а=0, то решений бесконечно много. Если а больше 0 , то корней нет.

Слайд 13

Квадратные уравнения с параметром Квадратное уравнение имеет вид αx 2 + bx + c = 0 . При этом α не должно быть равно 0, т.к. в этом случае уравнение перестанет быть квадратным. Для решения этого уравнения используется формула нахождения дискриминанта D = b 2 – 4 αc . Дискриминант покажет нам можно ли решить уравнение и количество корней, которое имеет уравнение. При: D меньше 0 – корней нет D равно 0 – уравнение имеет один корень D больше 0 – уравнение имеет два корня

Слайд 14

уравнение αx 2 + bx + c = 0, где параметр α ≠ 0, b и с — произвольные числа Для решения этого уравнения рассмотрим алгоритм успеха.

Слайд 15

Исходя из этой схемы, можно понять следующее – При a=0 b=0 c=0 корнем может быть любое число При a=0 b=0 c ≠ 0 решений не будет , т.к. D меньше 0 При a ≠ 0 b=0 c=0 решений не будет, т.к. D меньше 0 При а=0 b ≠ 0 корень будет –c : b При a ≠ 0 и D больше 0 будет 2 различных корня, вычитаемых по формуле: При a ≠ 0 и D=0 будет 1 корень, вычитаемый по формуле –b : 2a х 1,2 =

Слайд 16

Аналитический способ решения Пример 1 Постановка задачи При каком значении параметра b уравнение 2x 2 -bx+18=0 имеет единственный корень? Решение Уравнение будет иметь один корень, если D = 0 b 2 – 4ac=0 b 2 – 4*2*18=0 b 2 = 144 b=+-12 Ответ: При b=12 или при b=-12

Слайд 17

Пример 2 Постановка задачи При каких значениях параметра a уравнение (a+6)x 2 +2ax +1 =0 имеет одно решение? Решение Рассмотрим два случая 1) a=-6 ; 2) a ≠ -6 Если а = -6, то -12х+1=0, исходя из этого х=1/12 Если а ≠ -6, то квадратное уравнение имеет единственное решение, если D=0 D= 4a 2 – 4(a+6)=4(a 2 -a-6) => a 2 -a-6=0 => a 1 =3 a 2 =- 2 Ответ: при a ∈ { 6 ; -2 ; 3 }

Слайд 18

Графический метод решения Пример 1 Постановка задачи Определить, при каких значениях параметра a , a уравнение x 2 −3 x −2 a =0 имеет 2 корня, 1 корень, не имеет корней. Решение x 2 -3x=2a => 0,5*(x 2 -3x)=y ; y=a график y = a – это просто семейство прямых параллельных оси x в плоскости . Если, например, a =5 , то графики y =5 и y =1/2∗( x 2−3 x ) имеют две общие точки, а значит, и два решения. При a =−1.125 a оба графика имеют только одну общую точку (1.5;−1.125) – это единственное решение. Ответ: При a >−1.115 уравнение имеет два корня; При a =−1.125 уравнение имеет один корень; При a <−1.125 уравнение не имеет корней.

Слайд 19

Конечный продукт Заключение Конечным продуктом моего проекта является методическое пособие в электронном виде. В нем описаны способы решения линейный и квадратных уравнений с параметрами, так же в методическом пособии объяснены решения примеров линейных и квадратных уравнений с параметрами. В основной части проекта были описаны способы решения линейных и квадратных уравнений, показаны примеры решения и объяснения этих решений. Этот проект можно считать удавшимся, потому что проект затрагивает актуальную проблему и решает ее, в проекте описаны способы решения линейных и квадратных уравнений. Это решает проблему и дает изучающему эту тему важные знания, которые пригодятся ему при сдаче ЕГЭ.

Слайд 20

Список используемой литературы Википедия - wikipedia.org Чикунова О.И. Практикум. Задачи с параметрами: учебно – методическое пособие для учащихся 7-11 классов. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решеня задач по математике для средней школы. А. Шахмейстер Задачи с параметрами в ЕГЭ Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. Библиотека видеоуроков по школьной программе – interneturok.ru

Слайд 21

Так же хочу отметить, что проект был реализован в двух классах ( 9Б и 9В ). В этих классах я подробно объяснил как решать квадратные и линейные уравнения с параметрами. В конце ученики этих классов смогли самостоятельно решить простые линейные и квадратные уравнения с параметрами без моей помощи.