Проект по математике "Математические закономерности в календарях"

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение        Новобурейская средняя общеобразовательная школа №3

Исследовательский проект по математике: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ В КАЛЕНДАРЯХ

                                                                        Выполнила:  Слепенькова Дарья

                                                                                         Ученица  9 «А» класса

                     Руководитель: Перемышленникова Е.В – учитель математики

Оглавление

1. Введение…………………….......................................................................с. 3 - 4
2. Теоретический раздел…………………………........................................ .с. 5 – 9

2.1.Что является календарём?...............................................................с.5

2.2. Разновидности печатного календаря и их функции……………с.5

2.3. Понятие солнечного календаря……………………………….....с. 5 – 6

2.4. Первые календари……………………………………………...…с. 6 – 8

2.5. Понятие математической закономерности……………………...с. 8 - 9

3. Практический раздел……………………………………............................с. 10 - 17

     3.1. Задача с треугольниками………………………………………….с. 10 – 11

     3.2. Задачи с многоугольниками……………………………………....с. 11 – 14

     3.3. Исследование Пятницы 13………………………………………..с. 14 – 15

     3.4. Результаты проведённого опроса………………………………....с. 15 - 17

4. Заключение……………………………………...………………………….с. 18
5. Список литературы…………………………………………………….......с. 19
6. Приложение………………………………………….……………………..с. 20 - 25

1. ВВЕДЕНИЕ

Я представляю исследовательский проект, темой которого является изучение математических закономерностей в календаре. Данный вопрос интересен для меня, так как я увлекаюсь изучением математики и хочу знать как можно больше. Для исследования необходимо знать теоретические сведения, связанные с темой, а также понимать, как доказать выявленные закономерности на практике при помощи составленных задач с подробным решением. Данную проблему можно рассмотреть достаточно детально, поставив правильные цели и наметив план действий. Обозначим главные характеристики моего проекта.

Цель проекта – создать буклет «Закономерности календаря»; выяснить, существуют ли математические закономерности в календаре, опровергнуть или подтвердить гипотезу в ходе дальнейшего исследования.

Для изучения любого вопроса должен быть четкий план действий, состоящий из задач, которые в дальнейшем будут последовательно выполняться. Итак, задачи моего проекта таковы:

• Изучить историю календарей и их виды.
• Исследовать задачу про календарь и треугольник.
• Рассмотреть и проанализировать уже существующие закономерности.
• Узнать мнение опрашиваемой группы относительно данной проблемы.
• Выявить новые закономерности.

Актуальность моей работы заключается в том, что её тема довольно неординарная, что может заинтересовать многих людей, подтолкнуть к дальнейшему погружению в мир математики, дать возможность видеть математические закономерности в обычных вещах. Также тема проекта представляет научный интерес, так как выявленные закономерности должны быть теоретически-обоснованными, с приведением доказательств.

Для дальнейшего продвижения проекта стоит выдвинуть гипотезу: «Предположу, что календарь обладает математическими закономерностями». В дальнейшем мы будем опираться на это утверждение, искать подтверждение или, в противном случае, опровержение.

Главная проблема проекта - работа с гипотезой, поиск доказательств и полное обоснование, сделанного вывода по гипотезе.

Результаты выполнения этих задач в оформленном виде и будет являться проектной работой, разбитой на несколько частей, приведённых в оглавлении.

Теперь выберем методы решения поставленных задач и проведения исследования, исходя из поставленной цели:

• Изучение и обобщение информации
• Анализ исторических сведений
• Опрос с целью выявления мнения по данной теме

Проектным продуктом будет являться изготовленный мной буклет «Закономерности календаря», а также подготовленная выставка различных видов календарей.

Вся работа будет делиться на два раздела:

• Теоретический раздел – содержит основные определения и пояснения к ним, приведены исторические сведения, связанные с темой, а также другие теоретические сведения, которые могут быть интересны для изучения и практически-полезны для дальнейшего исследования.
• Практический раздел – составление математических задач, где будут выявлены закономерности в календаре, с их последующим решением и подробным объяснением всех этапов решения. Данный раздел является основой проекта, и я могу назвать его самой важной частью проектной работы.

В конце проекта будет приведено заключение, где будут подведены итоги исследования. В процессе создания проектной работы я буду опираться на литературные источники, которые будут указаны в конце проекта и сопровождать текстовую часть проекта. Также немаловажным является приложение - часть работы, где будут приведены иллюстрации, всевозможные дополнения, а также результаты опроса по теме.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ

Для проведения любого исследования важна опора на теоретические данные. Моя работа не является исключением. В данном разделе нужно выяснить: что такое календарь, каковы его функции, привести некоторые исторические сведения, а также привести задачи с подробным описанием закономерностей.

1.  Что является календарём?

Итак, начнём с определения календаря. Календарь - система счисления больших промежутков времени, основанная на периодичности движения небесных тел: Солнца - в солнечных календарях, Луны -в лунных календарях и одновременно Солнца и Луны в лунно-солнечных календарях. Также календарём называется список дней года с разделением на недели и месяцы и обозначением праздников и периодическое справочное издание с последовательным перечнем дней, недель, месяцев данного года, а также другими сведениями различного характера. В моей проектной работе я буду опираться именно на второе определение, рассматривая календарь как печатное изделие [1].

2.  Разновидности печатного календаря и их функции

Календари делятся на множество видов, у каждого из которого есть собственные преимущества. Сейчас я расскажу о трёх видах, которые наиболее распространены. Отдельный календарь выполняет индивидуальную функцию, которая обусловлена его типом. На данный момент времени календари обрели функцию не только временного указателя, но и некоторые другие, давайте их рассмотрим:

• Календарь настольный (Приложение 1) (с логотипом и без) - его преимущество в возможности размещении рекламы на нём, что является дешёвым способом донести какую-либо информацию до потребителя.
• Карманный календарь (Приложение 2) - отличается своей портативностью, лёгкостью. В современном мире может выполнять функцию визитки, что также помогает в распространении  информации.
• Квартальный настенный календарь (Приложение 3) -  отличается дешевизной, является очень удобным и многие календари данного типа содержат поля для отдельных записей [2].                    

3.   Понятие солнечного календаря

Основными единицами календаря являются сутки, месяц и год. В результате их согласования появились три календарные системы: лунные календари, в которых месяц согласован с фазами Луны; лунно-солнечные календари, в которых год и месяц согласованы с фазами Луны и с движением Земли вокруг Солнца, и солнечные календари, в которых год согласован только с движением Земли вокруг Солнца. В ходе исследования мы затронем третью систему- солнечный календарь. В его основе лежит тропический год, то есть период смены времён года. Средняя продолжительность тропического года составляет с 2000 года 365,2421897 суток, то есть примерно 365,2422 суток. Таким образом, календарный год в солнечном календаре должен составлять или 365 суток — обычный год, или 366 суток — високосный год. Поскольку тропический год определяется как период между двумя последовательными прохождениями Солнца одной и той же точки равноденствия, то, рассуждая о точности календаря, обычно говорят о точке весеннего равноденствия. Так, одним из требований к солнечному календарю является тот факт, что момент прохождения Солнцем точки весеннего равноденствия по истечении календарного цикла должен приходиться на одну и ту же дату [3].

4.  Первые календари

Еще в древние времена люди пытались решить проблему определения времени, используя подручные средства и имеющиеся знания о природе. Сейчас мы привыкли жить по календарю и считаем его обыденной вещью, а когда-то по этому поводу разгорались горячие споры. Когда же появились первые календари, какими они были и как ими пользовались?

Считать время днями и месяцами начали еще в глубокой древности. Первые календари появились около 6-ти тысяч лет назад. Наблюдая за движением небесных светил, люди заметили цикличность их поведения. Согласно периодам появления их на небосклоне подсчитывалось благоприятное время для сева и уборки урожая.

Во времена формирования персидских государств населяющие их земледельцы уже имели календари. Они знали, когда бывает день с самой длинной и самой короткой ночью, празднуя в это время Солнцеворот – рождение Солнца и начало Нового года. Победа над злодейкой Зимой обеспечивала приход тепла и начало полевых работ.

Современное слово «календарь» произошло от латинских «caleo» (провозглашать) и «calendarium» (долговая книга). Изначально таким термином называли долговые книги, практикуемые ростовщиками для записи процентов должников. Процедура записи проводилась ежемесячно, в один и тот же день, который назывался «календ» [4], [5].

• Шумерский календарь

 Где-то приблизительно пять миллионов лет назад такой народ, под названием шумеры создали свой календарь, по которому живет все человечество. Всего в году 12 месяцев, в каждом из них было от 29 до 31 дня. Обязательно год должен длится 354 дня. Иногда появлялись какие-то природные явления, это способствовало тому, что данный народ периодически вводил новый месяц. Что же это за новый месяц? В данном месяце каждый день делили на 12 интервалов, каждый интервал содержал в себе по 2 часа. А интервал состоял уже из своих собственных тридцати частей. В каждой части было по 4 минуты. Это был мусульманский календарь, и многие мусульманские страны до сих пор используют его в повседневной жизни (Приложение 4) [6].

• Египетский календарь

Жизнь Египта была основана на земледелии в нижнем течении Нила и привязана к его сезонным циклам. Цикл разбивался на три периода: наводнения, русла (сезон посева) и обмеления (сезон сбора урожая).

Год длился 365 дней и составлял 12 месяцев по 30 дней каждый. В конце года были дополнительные 5 дней - праздники в честь детей бога земли Геба и его супруги Нут: Осириса, Гора, Сета, Исиды и Нефтиды (сравните с календарем французской революции).
Как уже было отмечено, месяцы были сгруппированы по четыре, образуя сезоны. Египтяне не использовали високосных дней, поэтому за период в 1460 лет новый год проходил все сезоны. Для египтян это выглядело, как если бы восход Сириуса смещался по календарю на день каждые 4 года. Этот период так и назывался - цикл Сотиса (или Великий год Сотиса). Возвращение звезды отмечалось праздником в честь Вечности.        

Египтяне не имели постоянной эры. Они вели счет лет от времени вступления на престол очередного фараона. Но начало года по всем этим эрам неизменно начиналось с 1 тота (29 августа), предшествовавшего вступлению на престол (Приложение 5) [7].

• Календарь племени майя

Данное племя следило за всеми созвездиями, но главный объект наблюдения была планета Венера. Всего был год, из него состояло 18 месяцев. В каждом месяце было по 20 дней. Так как остальные дни не влезали, то после окончания 18 месяца шли 5 дней. Племя майя думало, что это самые несчастливые дни в году. Данное племя было очень точным, и они очень точно рассчитали длину солнечного дня, у них получилось: 365,2420 дня. На сегодняшний день никто календарем майя не пользуются, но используют четыре дня: два дня солнцестояния и еще два дня равноденствия (Приложение 6) [4].

• Юлианский календарь

 Юлий Цезарь в 46 году до нашей эры ввел такой термин, как високосный год. После трех обычных годов шел високосный год. Он заметно отличался от не високосных, а именно: в обычном году в один месяц было двадцать девять, а в високосном было тридцать дней. Так же он правильно рассчитал все и создал правильную последовательность дней в году. В феврале месяце стало или 28 или 29 дней. Сентябрь и ноябрь получили по тридцать дней. А октябрь и ноябрь получили 31 день. Но и этот календарь был не точным, он отличался от солнечного календаря на 11 минут и 14 секунд. Со временем его, конечно, переделали (Приложение 7) [4].

• Григорианский календарь

Григорианский календарь был введён папой Григорием XIII 4 октября 1582 года взамен старого юлианского: следующим днём после четверга, 4 октября стала пятница, 15 октября (дней с 5 по 14 октября 1582 в григорианском календаре нет).

Поводом к принятию нового календаря стало смещение дня весеннего равноденствия, по которому определялась дата Пасхи.

Новый календарь сразу сдвигал на 10 текущее (на момент принятия) число из-за накопившихся ошибок. Во-вторых, в нём стало действовать новое, более точное правило о високосном годе: год високосен (то есть содержит 366 дней), если:

а) его номер без остатка делится на 4 и не делится на 100

б) его номер делится без остатка на 400.

Таким образом, с течением времени юлианский и григорианский календари расходятся всё больше и больше (на 1 сутки в столетие, если предыдущее столетие не делилось на 4). Григорианский календарь намного точнее отражает истинное положение вещей (то есть даёт гораздо лучшее приближение к тропическому году), чем юлианский. В России грегорианский календарь появился только в 1918 году и действует он по сегодняшний момент (Приложение 8) [8].

5.  Понятие математической закономерности

Во-первых, давайте рассмотрим, что вообще из себя представляет изучаемое нами понятие?

Закономерность- постоянно повторяющаяся взаимосвязь явлений, действий или свойств предметов [9].

Во-вторых, нужно рассмотреть вопрос: «Подразделяются ли закономерности на какие-либо виды?» 

Существует несколько типов закономерностей, давайте рассмотрим их подробнее:

         III.    ПРАКТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ

Перейдём от теории к практике. Я составила несколько задач и привела их подробное решение, с чертежами и опорой на знания геометрии. Итак, давайте рассмотрим первую из них:

1.  Задача с треугольниками

Задача 1: Если в календаре 2019 года соединить числа 10, 20 и 30 января, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник.

Для начала приведу некоторые понятия:

Равнобедренный треугольник - треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны, а последняя неравная им сторона - основанием. 

Прямоугольный треугольник - это треугольник, в котором один угол прямой.

Решение: Для удобства решения задачи, используем календарь, в котором числа запишем на клетчатой бумаге.

Соединив числа, данные нам в условии, получаем треугольник (Приложение 9). Как же доказать, что он является равнобедренным прямоугольным?

1. Выполним дополнительные построения для дальнейшей работы с чертежом. Для этого соединим клетки с числами 10 и 9, а также 30 и 9 так, чтобы две данных прямые пересекались под прямым углом. Повторим вышеперечисленные действия с числами 13 и 10; 13 и 20.
2. После проведённых построений на чертеже появятся два новых треугольника, которые будут являться прямоугольными с прямыми углами в клетках с числами 9 и 13. Чтобы изначальный треугольник был равнобедренным, нужно доказать, что два прямоугольных треугольника равны между собой, так как их гипотенузы являются сторонами треугольника 10-20-30. Сравним их катеты.

1. Треугольник 10-9-30. Катет 9-10 занимает одну клетку календаря, значит, обозначим его за 1. Катет 9-30 занимает 4 клетки, обозначим за 4.
2. Треугольник 10-13-20. Катет 10-13 также сравним с 4, а катет 13-20 с 1. Получим 1=1; 4=4. Следовательно, данные прямоугольные треугольники являются равными по двум катетам. Как было сказано ранее, их гипотенузы являются боковыми сторонами треугольника 10-20-30. Так как треугольники равны, то гипотенузы будут равными, а, следовательно, треугольник 10-20-30 - равнобедренный по определению.

3. Так как прямоугольные треугольники 10-9-30 и 10-13-20 то их углы равны между собой соответственно. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам. Угол 13-10-9- развернутый, то есть равен 180 градусам. По сказанному выше пояснению, угол 10 образует угол в 180 градусов с углами, дающими в сумме 90 градусов. Значит, угол 10= 180-90= 90. Следовательно, прямоугольник 10-20-30 является прямоугольным.

Вывод: действительно, если в календаре 2019 года соединить числа 10, 20 и 30 января, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник. Исключение составляет тот факт, что числа 10, 20 и 30 будут лежать на одной прямой, а по определению треугольник состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих их.

2.  Задачи с многоугольниками

• Задачи с квадратом 2х2

Заметим, что в любом месяце можно выделить квадраты, состоящие из четырех чисел (2х2), из девяти чисел (3х3) и из шестнадцати чисел (4х4).

Аналогично, рассмотрим календарь за 2019 год, январь месяц.

Задача 1: Доказать, что сумма чисел на одной диагонали выделенного квадрата, равна сумме чисел на другой диагонали.

Квадрат - правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. 

Диагональ - в элементарной геометрии отрезок, соединяющий несмежные вершины многоугольника.

Решение: Выделим квадрат из 4 чисел в сетке календаря. Исходя из положения чисел, обозначим самое меньшее число за m. Тогда остальные числа примут вид: m+1; m+7; m+8 (Приложение 10).

1. Как мы выяснили из определения диагонали, первая диагональ будет равна m+(m+8). Раскроем скобки в данном выражении, опустив скобки и не изменяя знак внутри скобок: m+(m+8)=m+m+8. Приведём подобные слагаемые: m+m+8=2m+8.
2. Повторим данные действия и со второй диагональю: (m+1)+(m+7)=m+1+m+7=2m+8.
3. Исходя из того, что 2m+8=2m+8, могу утверждать, что диагонали равны.

Вывод: Таким образом, выражения равны, а числа на одной диагонали квадрата равны сумме чисел на другой диагонали.

Задача 2: Доказать, что утверждение «Чтобы найти сумму четырех чисел в выделенном квадрате достаточно удвоить сумму чисел одной диагонали» верно.

Решение:

1. Исходя из вывода к предыдущей задаче, диагонали в выделенном квадрате будут равны по сумме чисел в них. Докажем это на квадрате с числами 1,2,8,9 (Приложение 11).
2. Найдём сумму чисел в квадрате: 1+2+8+9= 20.
3. Проверим утверждение, удвоив сумму чисел одной из диагонали: 2*(1+9)=2*10=20 или 2*(2+8)=2*10=20.
4. Так как 20=20, то утверждение верно.

Вывод: Действительно, чтобы найти сумму четырех чисел в выделенном квадрате достаточно удвоить сумму чисел одной диагонали.

• Задачи с квадратом 3х3

Задача 1: Доказать, что утверждение: «Чтобы найти сумму девяти чисел в выделенном квадрате календаря, необходимо к меньшему числу прибавить 8 и сумму умножить на 9» верно.

Сумма - это результат применения операции сложения величин.

Решение:

1. Выделим квадрат из 9 чисел в любом месте сетки календаря. Обозначим наименьшее число в данной фигуре за m. Тогда, исходя из положения чисел в календаре, остальные значения примут вид: m+1, m+2, m+7, m+8, m+9, m+14, m+15, m+16 (Приложение 12).
2. Сложим все значения, выведенные нами:

m+(m+1)+(m+2)+(m+7)+(m+8)+(m+9)+(m+14)+(m+15)+(m+16)= =m+m+1+m+2+m+7+m+8+m+9+m+14+m+15+m+16= 9m+72.

Вынесем общий множитель за скобки: 9m+72= 9*(m+8). Полученное нами выражение можно прочитать так: сумму меньшего числа и восьми умножить на 9. Таким образом, утверждение верно.

Вывод: Действительно, чтобы найти сумму девяти чисел в выделенном квадрате календаря, нужно к меньшему числу прибавить 8 и сумму умножить на 9.

Задача 2. Доказать, что утверждение «Чтобы найти сумму девяти чисел, в выделенном квадрате календаря, необходимо из большего числа вычесть 8 и разность умножить на 9» верно.

Разность - число, составляющее остаток в вычитании.

Решение:

1. Выделим квадрат в сетке календаря в любом месте и обозначим наибольшее число за а. Тогда, исходя из расположения чисел в сетке календаря, остальные числа примут вид: а-1, а-2, а-7, а-8, а-9, а-14, а-15, а-16 (Приложение 13).
2. Сложим все значения, выделенные нами:

а+(а-1)+(а-2)+(а-7)+(а-8)+(а-9)+(а-14)+(а-15)+(а-16)=

=а+а-1+а-2+а-7+а-8+а-9+а-14+а-15+а-16= 9а-72.

Вынесем общий множитель за скобки: 9а-72=9(а-8). Данное выражение можем прочитать так: разность меньшего числа и 8, умноженная на 9.

Вывод: Действительно, чтобы найти сумму девяти чисел, в выделенном квадрате календаря, необходимо из большего числа вычесть 8 и разность умножить на 9.

• Квадрат 4х4.

Задача 1: Доказать, что утверждение «Чтобы найти сумму шестнадцати чисел, в выделенном квадрате календаря, необходимо из большего числа вычесть 12 и полученную разность умножить на 16» верно.

Решение:  

1. В выделенном нами квадрате обозначим наибольшее число за а. Исходя из положения чисел в сетке календаря, остальные числа примут вид: а-1, а-2, а-3, а-7, а-8, а-9, а-10, а-14, а-15, а-16, а-17, а-21, а-22, а23, а-24 (Приложение 14).
2. Сложим все значения:

а+(а-1)+(а-2)+(а-3)+(а-7)+(а-8)+(а-9)+(а-10)+(а-14)+(а-15)+(а-16)+(а-17)+(а-21)+(а-22)+(а-23)+(а-24)=а+а-1+ а-2+а-3+а-7+ а-8+а-9+ а-10+ а-14+а-15+а-16+а-17+а-21+а-22+а-23+а-24= 16а-192.

Вынесем общий множитель за скобки: 16а-192=16(а-19). Полученное выражение можно прочитать так: разность меньшего числа и 19, умноженная на 16.

Вывод: Действительно, чтобы найти сумму шестнадцати чисел, в выделенном квадрате календаря, необходимо из большего числа вычесть 12 и полученную разность умножить на 16.

3.  Исследование «Пятницы 13»

В народе существует много примет, связанных с календарными датами. Одна из них- пятница, выпавшая на 13 число. Этот день у многих людей считается особенным.

Задача: Выяснить, какое максимальное (минимальное) число пятниц в одном году может попадать на число 13.

Решение: Для решения задачи составим сравнительную таблицу, куда включим несколько дат, взятых выборочно.

Выводы:

1. Какой бы ни был год (високосный или не високосный) не может быть года, в котором 13 – е число хотя бы один раз не пришлось на пятницу.
2. Минимальное число пятниц, приходящихся на 13 число – одна. В не високосный год пятница 13-е может быть только: в мае, или в июне, или в августе. В високосном году пятница 13-е может быть только: в мае, или июне, или октябре.
3. Максимальное число пятниц приходящихся на 13 число три. В не високосный год (год начинается с четверга) пятница 13-е выпадает: на февраль, март и ноябрь. В високосном году (год начинается с воскресенья) пятница 13-е выпадает на: январь, апрель и июль.

4.  Результаты проведённого опроса

Я провела опрос среди сверстников и получила их ответы на вопросы о закономерностях в календарях, по результатам которых составлены три диаграммы. Всего было опрошено 36 учеников.

Вопрос №1. Знаете ли вы, что календарь имеет закономерности?

Ответ «Да»- 21 человек

Ответ «Нет»- 15 человек

Вопрос №2. Сколько закономерностей в календаре вы знаете?

Ответ «Достаточно много»- 3 человека

Ответ «Немного»- 18 человек

Ответ «Вообще не знаю»- 15 человек

Вопрос №3. Хотели бы вы узнать больше о закономерностях в календаре?

Ответ «Да»- 24 человека

Ответ «Нет»- 12 человек

Вывод: Большее число респондентов знают о закономерностях в календарях немного информации, а также две третьих респондентов заинтересованы в том, чтобы узнать больше о закономерностях в календарях, что подтверждает актуальность моего проекта.

        IV . ЗАКЛЮЧЕНИЕ  

В ходе проектной работы была достигнута цель проекта- я изготовила буклет «Закономерности календаря», подготовила небольшую выставку календарей, а также смогла подтвердить поставленную в начале работы гипотезу о существовании закономерностей в календаре.

Задачи,  поставленные мной в начале проектной работы выполнены, за исключением выявления новых закономерностей, так как все закономерности уже были выявлены ранее. Я изучила историю календарей и их виды, исследовала задачу про календарь и треугольник, рассмотрела и проанализировала уже существующие закономерности, а также узнала мнение опрашиваемой группы относительно темы проекта. Актуальность моего проекта подтверждена результатами опроса.

В целом, могу назвать свой проект успешным, так как по окончанию работы цель и задачи, поставленные в начале, в большей степени выполнились.

          V.   СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. «Календарь» [Электронный ресурc]: интернет- энциклопедия Википедия. Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%80%D1%8C
2. «Какие бывают календари» [Электронный ресурс]: интернет- сайт Topgifts. Режим доступа: https://www.topgifts.ru/articles/kakie-byvayut-kalendari.html
3. «Солнечный календарь» [Электронный ресурс]: интернет-энциклопедия Википедия. Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%80%D1%8C
4. «Кто создал первый календарь» [Электронный ресурс]: интернет-журнал 1SECONDS. Режим доступа: http://1seconds.ru/istoriya-sozdaniya-chasov/pervye-kalendari.html
5. «История возникновения календаря» [Электронный ресурс]: интернет-сайт KALENDAR.RU. Режим доступа: https://www.kalendar.ru/statii/istoriya-vozniknoveniya-kalendarya
6. «Время и календарь у шумеров» [Электронный ресурс]: интернет- сайт Полит.ру. Режим доступа: https://m.polit.ru/article/2013/12/12/ps_kurtik/
7. «Египетский календарь» [Электронный ресурс]: интернет- сайт RIN.ru. Режим доступа: https://space.rin.ru/articles/html/453.html
8. «О григорианском календаре» [Электронный ресурс]: статья, автор: Александр Кислицкий. Режим доступа: http://www.armkirik.ee/kalender.htm
9. «Закономерности» [Электронный ресурс]: интернет- сайт PlayCoolMath. Режим доступа: https://playcoolmath.com/ru/math-lessons/math-for-kids/basic-math-concepts/patterns

        VI  . ПРИЛОЖЕНИЕ

Приложение 1.

Приложение 2.

Приложение 3.

Приложение 4.

Приложение 5.

Приложение 6.

Приложение 7.

Приложение 8.

Приложение 9.         Приложение 10.        

        
Приложение 11.                                                    Приложение 12.

Приложение 13.                                                              

Приложение 14.