ПУТЕШЕСТВИЕ В МИР ФРАКТАЛОВ

Заиграевское Районное Управление Образования

Муниципальное Бюджетное Образовательное Учреждение Онохойская Средняя Общеобразовательная школа №2

ПУТЕШЕСТВИЕ В МИР ФРАКТАЛОВ

           Выполнила:

            Купцова Анна Евгеньевна,

 ученица 11 класса МБОУ  ОСОШ

           Научный руководитель:

           Кунгурова Ирина Анатольевна, учитель химии.

Онохой

2020

1. Введение…………………………………………………………………………………
2. Основная часть

История появления…………………………………………………..............................

Понятие фрактала……………………………………………………………………….

Размерность фрактала……………………………………………………………...…..

Классификация фракталов……………………………………………………….……

Геометрические фракталы…………………………………………………………..…

Построение фракталов в программе Живая Математика.……………………………

Фрактальность химических соединений……………………………………………..  

Применение фракталов………………………………………………………………...

3. Заключение……………………………………………………………………………..
4. Список литературы…………………………………………………………………………

Если на нее правильно посмотреть,

отражает не только истину,

но и несравненную красоту.

                                                                                                   Бертранд Рассел.

Вы, конечно же, слышали о фракталах. Вы, конечно же, видели эти захватывающие картинки более реальные, чем сама реальность. Горы, облака, кора дерева - все это выходит за рамки привычной евклидовой геометрии. Мы не можем описать камень или границы острова с помощью прямых, кружков и треугольников. И здесь нам приходят на помощь фракталы. Что же это за знакомые незнакомцы?

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? Существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Похожим образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы – все это фракталы. 

Актуальность проекта

В нашей жизни фракталы встречаются практически на каждом шагу. Мы наблюдаем их в природе, физике, химии, медицине, экономике, графическом дизайне. И в школе мы можем создавать фракталы на уроках химии, показав красоту занимательность опытов. Фрактальная геометрия, поможет опровергнуть взгляд на математику как на сухую и недоступную дисциплину и станет дополнительным стимулом для учащихся в освоении этой интересной и увлекательной науки.

Тема фракталов относительно молода и ещё не достаточно хорошо изучена.

Гипотеза: Дендриты солей, как продукт кристаллизации из растворов, так же как фактически любые сложные продукты природы должны обладать фрактальными свойствами.

Проблема: Если выращенные дендриты обладают фрактальными свойствами, то можно использую программу «Живая математика» создать соответствующую им модель фрактала.

Цель работы: исследование и изучение основ фрактальной теории, выращивание дендримеров солей различных металлов в школьной лаборатории

Объект исследования: Дендриты солей различных металлов.

Предмет исследования: Условия необходимые для протекания реакции образования дендритов.

Задачи: 

1. Анализ литературы по теме исследования.

2. Познакомиться с фракталами различных видов.

3. Создание фракталов в школьной лаборатории.

4. Создать фрактал «Дерево Пифагора» в программе  «Живая Математика».

5. Рассказать о применении фракталов.

Методы исследования:

1. Частично-поисковый
2. Исследовательский
3. Анализ

Этапы исследования:

1. Разработка плана
2. Разработка инструментария
3. Эксперимент
4. Обработка и анализ данных эксперимента
5. Формулировка вывода
6. Оформление работы

Адресная направленность: Материалы могут быть использованы учащимися среднего и старшего звена во внеурочной деятельности, а так же педагогами школ и родителями.

Основная часть

1. Понятие фрактала. 

Фракталы - вы можете обнаружить их в лесах, столкнуться с ними на передовых рубежах медицинской науки, увидеть их в кино. Вы найдете их везде, где есть беспроводная связь. Раскрыт, наконец, один из удивительных секретов нашего главного дизайнера природы. Возможно, вы этого не слышали раньше об этих столь странных формах, они окружают вас повсюду, ветвящиеся и повторяющиеся и называются они фракталами. В биологии они встречаются на каждом шагу, эти формы оказываются оптимальными, что подтверждаются естественным отбором. Фракталы есть  в наших легких, почках и кровеносных сосудах. Цветы и другие растения все то, что формирует погоду, ритмы нашего сердца, это сама сущность жизни, но чтобы понять, как они устроены, должен был появиться математик с новым взглядом на мир. Я не играю с формулами, я играю с картинками и занимаюсь ими  всю мою жизнь. Это был вызов  устоявшимся вековым мнениям, какие формы есть в природе. Глаза внезапно открылись и люди увидели эти формы, которые были всегда вокруг, но раньше никто не замечал. Сделать невидимое видимым, найти порядок в хаосе, какие еще тайны мы сможем теперь раскрыть.  

     Каждый день мы видим всевозможные узоры и понимаем, что кто-то приложил немало усилий, чтобы их придумать. А что можно сказать об узорах, которые мы встречаем в природе? Что открывают они? Возьмем, к примеру, снежинки. Эти кристаллики образуются, когда водяной пар превращается в лед. По мере роста кристалликов возникают изящные ажурные узоры. Рассмотрим отдельную снежинку. Ее лучи разветвляются все снова, и снова, образуя лучики меньших размеров. Это свойство само подобия в математике называют фракталом, это фигура в которой один и тот же мотив повторяется в последовательном уменьшающемся масштабе. Где еще в природе встречаются примеры фрактальной структуры? Свойство само подобия демонстрируют и деревья. От ствола отходят ветви, от них ветки поменьше и так далее. Листья папоротника тоже представляют собой фрактал. Еще один вид фрактальной конфигурации это разделенная на камеры раковина наутилуса. Подрастая, наутилус строит новые все большие камеры, отделяя их от тех которые ему уже не нужны. В результате образуется фрактальная спираль, которая увеличиваясь, сохраняет ту же форму. Подобного рода  спирали образуют и облака во время урагана, и завитки на маленькой раковине, и звезды в галактике, и семена в корзине подсолнечника.

2. Размеренность фракталов

Что лежит в основе этих спиральных структур? Если говорить о подсолнечнике, важную роль играет один особый угол. Этот угол приблизительно равен 137,5 градусам. Иногда его называют золотым углом. Благодаря ему создается максимально компактная структура с четким спиральным рисунком. Если бы развитие корзинки подсолнечника проходило под другим углом, скажем под углом 140 градусов, то мы увидели бы радиальную структуру, и расположение семян не было бы таким рациональным. При детальном рассмотрение можно заметить удивительную зависимость между золотым углом и рядом чисел называемой последовательностью Фибоначчи. В этом ряду каждое последующее число равняется сумме двух предыдущих. Интересно, что числа Фибоначчи можно разглядеть во многих растениях. У подсолнечника 34 спирали закручены в одну сторону и 55 в другую. Оба эти числа, входя в последовательность Фибоначчи. У ананас обычно 8 или 13 спиралей. У цветков со спиральным строением обычно совпадает с количеством чисел Фибоначчи. Это любопытная математическая связь между золотым углом и числом спиралей у растений напоминает нам о том, что узоры, которые мы встречаем в природе, возникли не случайно, все они продуманы и подчинены единым законам.

3. История происхождения фрактальности.

      Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой-либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт - отец современной фрактальной геометрии и слова фрактал. Работая в IBM математическим аналитиком, он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике - фрактальной геометрии.

Фрактальная графика является на сегодняшний день одним из самых быстро развивающихся перспективных видов компьютерной графики.   Математической основой фрактальной графики является фрактальная геометрия. Основное свойство фракталов:  самоподобие, в самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале Фрактальная графика, также как векторная и трёхмерная, является вычисляемой. Её главное отличие в том, что изображение строится по уравнению или системе уравнений. Поэтому в памяти компьютера для выполнения всех вычислений, ничего кроме формулы хранить не требуется. Только изменив коэффициенты уравнения, можно получить совершенно другое изображение. Итак, базовым понятием для фрактальной компьютерной графики являются «Фрактальный треугольник». Затем идет «Фрактальная фигура», «Фрактальный объект»; «Фрактальная прямая»; «Фрактальная композиция»; «Объект-родитель» и «Объект наследник».

4. Классификация

Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это: геометрические фракталы, алгебраические фракталы, системы итерируемых функций, стохастические фракталы.

Геометрические фракталы. Именно с них началась история фракталов. Это и есть те функции-монстры, которых так называли за не дифференцируемость в каждой точке. Геометрические фракталы являются также самыми наглядными, т. к. сразу видна самоподобность. Вообще все геометрические фракталы обладают самоподобностью, не изменяющейся при изменении масштаба. Для построения геометрических фракталов характерно задание "основы" и "фрагмента", повторяющегося при каждом уменьшении масштаба. Поэтому эти фракталы иногда называют конструктивными или автомодельными.  

Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили, за то, что их строят, используя простые алгебраические формулы. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. Состояние, в котором окажется динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от начальных условий. Поэтому каждое устойчивое состояние (атрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, при которых система обязательно перейдет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство разбивается на области притяжения аттракторов.

Самыми известными из них являются множества Мандельброта и Жюлиа, Бассейны Ньютона и т.д.

5. Применение.

В наши дни теория фракталов находит широкое применение в различных областях человеческой деятельности. Помимо фрактальной живописи фракталы используются в теории информации для сжатия графических данных (здесь в основном применяется свойство самоподобия фракталов — ведь чтобы запомнить небольшой фрагмент рисунка и преобразования, с помощью которых можно получить остальные части, требуется гораздо меньше памяти, чем для хранения всего файла). Добавляя в формулы, задающие фрактал, случайные возмущения, можно получить стохастические фракталы, которые весьма правдоподобно передают некоторые реальные объекты — элементы рельефа, поверхность водоемов, некоторые растения, что с успехом применяется в физике, географии и компьютерной графике для достижения большего сходства моделируемых предметов с настоящими. В радиоэлектронике в последнее десятилетие начали выпускать антенны, имеющие фрактальную форму. Занимая мало места, они обеспечивают вполне качественный прием сигнала. А экономисты используют фракталы для описания кривых колебания курсов валют (это свойство было открыто Мандельбротом более 30 лет назад).

Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Вот несколько примеров:

1.Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. При фрактальном сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

2. Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Здесь помогает переход к фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных потоков.

3.При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.

4. Пористые материалы хорошо представляются во фрактальной форме. Это используется в нефтяной науке.

5. Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.      

6.Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.      

7. Биения сердца.

8. Моделирование хаотических процессов, в частности при описании моделей популяций.

9. Онтогенез – то есть, жизнь человека и существование человечества вообще – это тоже фрактал.

6. Построение фракталов в программе Живая Математика.

       Сейчас придумано большое число алгоритмов рисования фракталов. В интернете можно найти и скачать готовые программы, я работаю в программе Живая Математика.

Живая Математика - это уникальная программа позволяющая строить современный компьютерный чертеж, который выглядит как традиционный, однако, представляет собой качественно совершенно новое явление. Чертёж, построенный на бумаге с помощью карандаша и линейки, имеет важнейшее значение, но обладает двумя недостатками: требует затрат времени и конечный продукт оказывается статичным. Программа «Живая Математика» позволяет значительно экономить время, но самое главное: чертёж, построенный с помощью программы, можно тиражировать, деформировать, перемещать и видоизменять. Элементы чертежа легко измерить компьютерными средствами, а результаты этих измерений допускают дальнейшую компьютерную обработку. Я работаю с программой не первый год, но уже не представляю, как раньше обходилась без нее. Возможности программы поистине уникальны. Живая Математика - весьма гибкий инструмент, позволяющий реализовать  многие фантазии. Удивительные геометрические объекты - фракталы я строю применяя изготовление простой конструкции, которая формирует все меньшие и меньшие детали фигуры. Применение команд Отражение и Итерация позволяет построить их, впрочем, как и другие фигуры с повторяющимся алгоритмом построения элементов, изображение трехмерных тел и других геометрических рисунков.

7. Фрактальность химических соединений. 

До появления термина «фракталы» в минералогии, а потом и в химии употребляли термин «дендрит» и «дендритные формы». Дендрит представляет собой ветвящееся и расходящееся в стороны образование, возникающее при ускоренной или стеснённой кристаллизации в неравновесных условиях, когда кристалл расщепляется по определённым законам. Они ветвятся и разрастаются в разные стороны, подобно дереву. Процесс образования дендрита принято называть дендритным ростом. В процессе дендритного развития объекта кристаллографическая закономерность изначального кристалла утрачивается по мере его роста. Дендриты могут быть трёхмерными объёмными (в открытых пустотах) или плоскими двумерными (если растут в тонких трещинах горных пород). В качестве примера дендритов можно привести ледяные узоры на оконном стекле, снежинки и живописные окислы марганца, имеющие вид деревьев в пейзажных халцедонах и в тонких трещинах розового родонита.  В зонах окисления рудных месторождений самородная медь, серебро и золото имеют ветвистые дендридные формы, а самородный висмут и ряд сульфидов образуют решётчатые дендриты. Для барита, малахита и многих других минералов, например, «пещерные цветы» арагонита и кальцита в карстовых пещерах известны почковидные или кораллообразные дендриты. Дендриты как специфический продукт кристаллизации из растворов, несомненно, обладают фрактальными свойствами, хотя этими свойствами обладают фактически любые сложные продукты природы и человеческой деятельности

В химии есть много занимательных опытов получения дендридов металлов, таких как «дерево Сатурна», «дерево Юпитера» и «дерево Дорфмана»

•          «Сатурново дерево» называют иногда деревом Парацельса– врача-алхимика, основателя фармацевтической химии. Готовя одно из своих лекарств растворением в уксусной кислоте металлического свинца, он задумал добавить еще и ртуть, а потому внес в сосуд кусочки цинка (в те времена многие химические элементы, в том числе очень распространенные металлы, еще не были по-настоящему идентифицированы и считалось, что цинк содержит много ртути, от этого он такой легкоплавкий). Не имея времени продолжить опыт, Парацельс оставил сосуд на несколько дней, и как же сильно он был поражен, увидев на кусочках цинка блестящие веточки неизвестной природы! Ученый счел, что ртуть, затвердев, вышла из кусочков цинка. Позже красивое «дерево» получило название «сатурново» по алхимическому названию свинца.Чтобы вырастить «сатурново дерево», нужно налить в высокий стакан или стеклянный цилиндр водный раствор 25 – 30 г ацетата свинца в 100 мл воды и погрузить в него очищенную тонкой наждачной бумагой пластину или стержень из цинка. Можно вместо этого подвесить на нитке несколько кусочков цинка, тоже очищенных наждачной бумагой. С течением времени на цинковой поверхности вырастают ветвистые и блестящие сросшиеся между собой кристаллы свинца. Их появление вызвано реакцией восстановления свинца из соли более активным в химическом отношении металлом.                                                        

Zn + Pb(CH3COO)2  = Pb + Zn(CH3COO)2 .

•        Парацельсу приписывают и получение кристаллов олова на кусочках цинка – «дерева Юпитера». Чтобы вырастить такое «дерево», в высокий стеклянный сосуд наливают водный раствор 30 – 40 г хлорида олова SnCl2 в 100 мл воды и погружаютцинковую пластинку.

Zn + SnCl2 =  Sn+ ZnCl2.

•        Серебряное «деревце Дорфмана» получается, если в стеклянный стакан с каплей ртути на дне налить 10%-й водный раствор нитрата серебра AgNO3. Сначала ртуть покрывается серой пленкой амальгамы серебра (сплава ртути с серебром), а через 5 – 10 секунд на ней быстро начинают расти блестящие игольчатые кристаллы серебра. Спустя несколько минут иглы начинают ветвиться, а через час в сосуде вырастает сверкающее серебряное деревце. Здесь очень важно точно соблюсти рекомендованную концентрацию нитрата серебра: при более низком содержании AgNO3 роста кристаллов металлического серебра не наблюдается, а при более высоком- кристаллизация серебра идет без образования ветвистых кристаллов.

Hg + 2AgNO3= 2Ag + Hg(NO3)2

Практическая часть

От ствола исходят ветки,

На ветвях растут листы.

Нано-дерево в пробирке

Можешь получить и ты!

Опыт №1. Коллоидный сад или «химические водоросли».

В химические стаканы налить силикатный клей, разбавить его водой, соотношение 1:1. В каждый стакан добавить по щепотке хлоридов: меди, железа, марганца и алюминия. Со временем в стакане можно наблюдать рост «химических водорослей», которые состоят из нерастворимых силикатов металлов и напоминают настоящие нитчатые водоросли. Цвет водорослей зависит от металла. Соли меди дают голубые водоросли, железа (III) – коричневые, алюминия – белые, марганца – бежевые.

CuCl2 + Na2SiO3       2NaCl + CuSiO3           

2FeCl3 + 3Na2SiO3      Fe2(SiO3)3   + 6NaCl  

MnCl2 + Na2SiO3      MnSiO3  + 2NaCl    

2AlCl3 + 3Na2SiO3          Al(SiO3)3   + 6NaCl                                    

Опыт №2. Цианофератные водоросли Ломоносова.

 Изумительные "растения", похожие на нитевидные водоросли вырастают в сосудах при взаимодействии в водном растворе гексацианоферратов калия с сульфатом меди (II). Для этого в водный раствор 100-150г сульфата меди(II) CuSO4 в 1 литре воды опустить кристаллики красной кровяной соли - гексацианоферрата калия  K3[Fe(CN)6]. Появление водных "растений" связано с реакциями, в которых выпадает в осадок малорастворимая комплексная соль KCu[Fe(CN)6]. Это соединение покрывает внесенные кристаллики полупроницаемой пленкой. Через пленку просачивается вода из раствора. Давление под пленкой возрастает , в некоторых местах она прорывается, и там начинают расти длинные изогнутые трубочки - водоросли. Рост продолжается до тех пор , пока не израсходуется весь кристалл внесенной соли.

K3[Fe(CN)6] + CuSO4       KCu[Fe(CN)6] + K2SO4         

Опыт №3. Пейзажи на стекле

Чтобы запечатлеть причудливые узоры из мелких цветных кристалликов солей, существует следующий способ. Нужно приготовить теплый раствор 2-3г желатина в 100мл воды и 10-15% водные растворы окрашенных солей ( сульфата меди(II) CuSO4, дихромата калия K2Cr2O7, хлорида кобальта CoCl2). Эти растворы содержат 10-15г каждой соли в 100г воды. Затем раствор желатина нужно смешать с десятикратным объемом раствора соли и вылить смесь на обезжиренную стеклянную пластинку, чтобы получился слой толщиной 2-3 мм. Пластинку оставить в горизонтальном положении для испарения воды. Через 1-2 дня тонкий слой раствора желатина с примесями солей высыхает, и на стекле появляются причудливые узоры из цветных кристаллов синего, оранжевого, зеленого и розового цвета.

Опыт №5.  Коралловый риф

Если кристаллы хлорида натрия растут при испарении раствора с поверхности пористой керамики, то они часто приобретают форму волокон. В случае испарения раствора соли с поверхности бумаги удалось получить сростки кристаллов в форме веточек – дендритов. Провести такой эксперимент очень просто. Надо   кусочек фильтровальной бумаги в цилиндр диаметром 2-3 см и высотой 15-25 см и   поставить цилиндр вертикально в чашку Петри и закрепить его сверху. В чашку почти доверху   насыпать хлорид натрия, добавляя немного желтой кровяной соли K4[Fe(CN)6] (четверть чайной ложки), далее перемешать  и долить воды – чтобы она хорошо смочила соль и раствор начал подниматься вверх по фильтровальной бумаге. С поверхности бумаги раствор будет постепенно испаряться, а на его месте   из чашки будут подниматься свежие порции (за счет капиллярного эффекта). По мере испарения раствора нужно добавлять в чашку воду и подсыпать соль. Постепенно на поверхности бумаги начнут расти кристаллы соли, которые через несколько дней примут форму веточек. Сам бумажный цилиндрик станет похож на белый коралл. Добавка желтой кровяной соли благоприятствует формированию волокнистых кристаллов хлорида натрия. Без нее поваренная соль просто образует корку на поверхности бумаги. Данная реакция имеет практическое значение, т.к желтая кровяная соль - гексацианоферрат калия K4[Fe(CN)6] является пищевой добавкой Е563, которую используют в пищевой промышленности в качестве антислеживающих агентов, а также осветителей.

Рассмотрев более детально с помощью увеличительных приборов выросшие дендриты хлорида натрия я пришла к выводу, что оно напоминает дерево Пифагора и поэтому используя программу «Живая Математика» я попыталась построить его модель.

Дерево Пифагора

Называется так потому, что каждая тройка попарно соприкасающихся квадратов ограничивает прямоугольный треугольник и получается картинка, которой часто иллюстрируют теорему Пифагора, «пифагоровы штаны во все стороны равны»    

                                                                                                                         Хорошо видно, что всё дерево ограничено. Если самый большой квадрат единичный, то дерево поместится в прямоугольник 6 × 4. Значит, его площадь не превосходит 24. Но с другой стороны, каждый раз добавляется в два раза больше троек квадратиков, чем в предыдущий, а их линейные размеры в √2 раз меньше. Поэтому на каждом шаге добавляется одна и та же площадь, которая равна площади начальной конфигурации, то есть 2. Казалось бы, тогда площадь дерева должна быть бесконечна! Но на самом деле противоречия здесь нет, потому что довольно быстро квадратики начинают перекрываться, и площадь прирастает не так быстро. Она всё-таки конечна, но, по всей видимости, до сих пор точное значение неизвестно, и это открытая проблема.                    

Заключение

В заключение хочется сказать, фракталы стремительно вторгаются во многие области физики, химии, биологии, медицины, социологии, экономики. В химии есть много занимательных опытов. Выращивание фракталов—очень интересное занятие. Смотришь, вроде нет ничего, и вот спустя несколько минут появляются иглы, затем начинают ветвиться, а через 1 ч в сосуде вырастают деревца. Хочется создавать все новое и новое. Созданные формы привлекательны с эстетической точки зрения. Программа Живая Математика - весьма гибкий инструмент, позволяющий реализовать  многие мои  фантазии. Удивительные геометрические объекты - фракталы я строю применяя изготовление простой конструкции, которая формирует все меньшие и меньшие детали фигуры Фрактальная геометрия предлагает хорошую возможность популяризации математических знаний. Поэтому фрактальная геометрия, фракталы в химии станут дополнительным стимулом для учащихся в освоении этих интересных и увлекательных наук. Ведь математика, химия, биология и физика тесно связаны друг с другом, как и все на Земле, во Вселенной.

Библиографический список

1. Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике.

2. Забарянский С.Ф., Фрактальное сжатие изображений. - Компьютеры + программы.

3. Дмитриев А. Хаос, фракталы и информация.

4. Геворг Симонян Фрактальность химических соединений.

5. Шабат Г.Б. (научный руководитель) Живая Математика: Сборник методических материал