Исследовательская работа "Прогрессии вокруг нас"

МБОУ «Полх-Майданская средняя школа»

Исследовательская работа

«Прогрессии вокруг нас»

Выполнила: ученица 9 класса Кожевникова Карина.                                

Руководитель учитель физики и математики :Козина Татьяна Ивановна.

Нижегородская область, Вознесенский район,

С.Полховский Майдан,ул.Молодёжная,д.116

s_pm_vzn@mail.52gov.ru

тел.89506280920

2025 год.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Иоганн Гёте говорил: «Недостаточно только получить знание, надо найти ему приложение».

В школе мы ежедневно получаем огромное количество информации, о которой затем составляем свое мнение. На уроках алгебры в 9 классе мы познакомились с интересной, на мой взгляд, темой «Арифметическая и геометрическая прогрессия». Вывели основные формулы, а затем применяли их, решая разнообразные примеры. Выполняя упражнения по данной теме, я задалась  вопросом: «А зачем мы изучаем эту тему? Имеет ли практическое применение знание прогрессий? Где в жизни мы встречаемся с прогрессиями?». И я решила  выяснить имеют ли прогрессии практическое значение и как давно люди знают последовательности.

Объектом моего исследования стали арифметическая и геометрическая прогрессии.

Предмет исследования: практическое применение прогрессий в нашей жизни.

Гипотеза исследования:  прогрессии должны иметь практическое применение в жизни: существует множество сфер жизни человека, где встречаются прогрессии.

Цель проекта: найти сведения из истории, касающиеся прогрессий и установить, что многие явления в природе подчиняются законам арифметической или геометрической прогрессии.

Задачи:

1. Найти сведения о прогрессиях, когда и в связи с какими потребностями возникло понятие последовательности, понятие прогрессии, какие ученые занимались данной темой;
2. Проанализировать действующие учебники алгебры 9 класса на наличие задач прикладного характера на арифметическую и геометрическую прогрессию.
3. Найти примеры существования и применения прогрессий в нашей жизни.
4. Выполнить подборку задач для учащихся по теме: «Прогрессии».

Методы исследования:

1. Анализ источников информации.

2. Сравнение различных сведений, касающихся темы проекта.

3. Систематизация и обобщение информации

Практическая значимость заключается в расширении знаний о прогрессиях. Данный материал можно будет использовать на уроках, на факультативных занятиях, внеклассных мероприятиях, при подготовке к ГИА по математике.

Проектным продуктом станет презентация «Прогрессии вокруг нас»

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1.История прогрессий

Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях появились у древних народов. Ещё в Древнем Риме диаметры колес в водопроводах были выбраны в соответствии с геометрической прогрессией. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать. Одной из самых старинных задач является задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ахмеса. Папирус этот часто называется папирусом Ринда (Райнда) по имени его первого владельца, он был обнаружен в конце 19 века, составлен около 2000 лет до н.э. и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения.

Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии также встречается в сочинении «Книга абака» итальянского математика Леонардо Пизанского, наиболее известного под именем Фибоначчи. В XII главе приводятся задачи на применение арифметической и геометрической прогрессий.

Существует много старинных задач, дошедших до нас, связанных с прогрессией.

1. Задача Фибоначчи.  («Книга об абаке", написана в 1202г). 

«Задача о семи старухах".

Старухи направляются в Рим, каждая имеет 7 мулов, каждый мул тащит 7 мешков, в каждом мешке находится 7 хлебов, у каждого хлеба лежит 7 ножей, каждый нож нарежет 7 кусков хлеба. Чему равно общее число всего перечисленного?  

В историческом отношении эта задача интересна тем, что она тождественна с задачей, которая встречалась в папирусе Ринда (Египет), то есть через три тысячи лет после египетских школьников задачу предлагалось разрешить итальянским школьникам.

 Решение: 7, 49, 343, 2401, 16807, 117649–это геометрическая прогрессия, первый член b1= 7 и знаменатель прогрессии q=7.

 bn= b1 qn-1.  b6= 7·76-1= 7 ·75= 76= 117649 ;  Sn=(b1qn-1)/(q-1);  

S6 = (7*76-1)/(7-1) = (7*(117649 -1))/6=(7 ·117648):6=137256

Ответ: общая сумма 137256.        

Вывод: прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл. Ведь уже натуральный ряд 1, 2, 3, …, n,… есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 1, и разностью тоже равной 1.Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределением продуктов, делением наследства и другими. В древнерусском юридическом сборнике «Русская правда» содержатся выкладки о приплоде от скота и пчел за известный промежуток времени, о количестве зерна, собранного с определенного участка земли и т.д. В развитие теории о прогрессиях внесли вклад такие ученые, как Пифагор Самосский, Ариабхата, Боэций, Леонардо Пизанский (Фибоначчи), Карл Гаусс, Пьер Ферма, Никола Шюке.

2. Прогрессии в окружающей нас жизни

Примеров на применение прогрессий  в разных областях жизни много. Они встречаются повсюду. Но мы даже этого не замечаем. Рассмотрим эти примеры.

2.1.  Прогрессии в биологии.

Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии. Примеры этих организмов:

ИНФУЗОРИИ…    Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам.    Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения? Ответ: b15 = 2·214 = 32 768 (геометрическая прогрессия)

2.2. Прогрессии в медицине.

Задача. Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?(Данная задача содержится в учебнике Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов, -М.: Мнемозина, 2014)

Решение. Составим математическую модель задачи:

  5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5

  ап=а1+d(n-1),    40=5+5(п-1),        п=8,      Sп=((a1+aп)n)/2,  S8 =(5+40)·8:2=180,

180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства. Ответ: 2 пузырька

2.3. Прогрессии в спорте.1. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков? (Данная задача содержится в учебнике Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2014)

Решение. Система штрафных очков составляет арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1, а разность – 0,5. Сумма первых n членов (количество промахов) равна 7. Найдем число промахов n.

Sn=;  7=

n2+3n-28=0, n=-7,n=4, n≥0. Число промахов – 4. Значит, в цель попал 21 раз. Ответ 21.

2.4. Прогрессии в банковских расчетах. Рассмотрим задачу: Сбербанк в конце года начисляет 8 % к сумме, находящейся на счету в начале года. Какова будет прибыль по вкладу в 12000 рублей на срок в 4 года, если снимать проценты в конце каждого года; по истечении срока хранения вклада? Решение:

1. S= 12000(1+8∙0,01∙4) = 15840 (руб.)
2. S= 12000(1+8∙0,01)4= 16325, 87(руб)

Ответ: 15840 руб, 16325,87 руб.

2.5. Прогрессии в литературе и музыке .Даже в литературе мы встречаемся с прогрессиями! Вспомним строки из"Евгения Онегина".

...Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить...   

 Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...

Дактиль – это трехсложный стихотворный размер с ударением  на первый слог, а два других – безударные.        Примеры:

Ямб:«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...» А.С. Пушкин

Арифметическая прогрессия: 2; 4; 6; 8;..., где а1 = 2, d = 2

Хорей:«Я пропАл, как звЕрь в загОне» Б. Л. Пастернак

Арифметическая прогрессия: 1; 3;5; 7;... , где а1 = 1, d = 2

Дактиль:«ТУчки небЕсные, вЕчные стрАнники…»М.Ю. Лермонтов

Арифметическая прогрессия:1; 4; 7;…, где а1 = 1, d = 3

Вывод: Прогрессии - это мощный инструмент для решения реальных задач в различных сферах человеческой жизни: в банковских расчетах, в микробиологии и медицине, в строительстве, спорте и даже в музыке и в литературе.

3. Задачи на прогрессии в различных  источниках по математике        

3. 1. Задачи на прогрессии в старинных учебниках.

Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого :В школьном обиходе задачи на прогрессии появились сравнительно недавно. В учебнике Л.Ф. Магницкого, изданном 300 лет назад и служившим целых полвека основным  руководством для школьного обучения, имелись задачи на прогрессии.

1. Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.

Задача на арифметическую прогрессию. Решение: а14=а1+13d, a1=59-13·4=7,
S14=(7+59)/2·14=462.
Ответ: все чарки весят 462 лата.

2. Задачи на прогрессии в современных учебниках.

Проанализировав современные учебники по алгебре разных авторов, я убедился, что в них содержатся задачи на прогрессии с практическим содержанием. Вот например :Алгебра, 9.  Учебник для общеобразовательных учреждений. Под редакцией Г.В. Дорофеева. М.: «Просвещение», 2010.

№ 264. При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен? Задача на геометрическую прогрессию

Вывод: в разных учебниках содержатся задачи на прогрессии с практическим содержанием.

3.3.Задачи из открытого банка заданий для подготовки к ГИА по математике

Задачи на прогрессии являются одним из обязательных заданий в работе ОГЭ по математике. Это задачи на применение основных формул прогрессий. В заданиях ЕГЭ по математике также есть задачи на применение арифметической и геометрической прогрессий, но уже с практическим содержанием.  Рассмотрим некоторые из них.

Задача № 1.  Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение:  ;Sn = 240, a1 + an = 60; 60•; 30n = 240; n = 8;

Ответ: 8 дней.

                                           ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Начиная работать над своим проектом, я поставила перед собой цель, для достижения которой выдвинула задачи. В заключении могу сказать, что задачи решены, цель достигнута. Я рассмотрела исторические сведения о практическом применении арифметической и геометрической прогрессии; основные определения и формулы; рассмотрела примеры применения арифметической и геометрической прогрессии в различных отраслях, решила задачи из разных источников на применение арифметической и геометрической прогрессии с практическим содержанием по отраслям. Исследуя различные отрасли человеческой деятельности, а также окружающий нас мир, я пришла к выводу, что мы живём среди прогрессий.

Практическая значимость работы – расширение знаний о прогрессиях. Данный материал можно будет использовать на уроках, на факультативных занятиях, во время проведения предметной неделе, на консультациях при подготовке к ГИА по математике.

Я считаю, что материал моей работы будет полезен многим обучающимся, и не только нашей школы. Планирую выступить с этой информацией в своей школе.

Используемая литература:

1. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. – Москва, Просвещение, 2012. 
2. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. под ред. С.А. Теляковского. –Москва,  Просвещение, 2012.
3. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. - Москва, Просвещение, 2010. 
4. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. Ю.М. Колягин, М.В. Ткачев, И.Е. Федорова, М.И. Шабунин. - Москва, Просвещение, 2014.
5. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – Москва, Вентана-Граф, 2014.
6. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы. –Москва, Просвещение, 1990.

Интернет ресурсы

http://ru.wikipedia.org/

http://mirurokov.ru/

http://nsportal.ru/

http://festival.1september.ru/