Областное государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Смоленская академия профессионального образования»

(ОГБПОУ СмолАПО)

Математическое моделирование прогноза заболеваемости гриппом среди студентов СмолАПО

Работу выполнили:

студенты группы 411 мд

Азизов Андрей Ильич

Ершов Егор Александрович
Кутахин Алексей Сергеевич

Руководитель:

Преподаватель  Пещаницкая Зоя Иосифовна  

Смоленск

2025

Оглавление

Введение.        3

Основная часть        5

Применение математических методов для изучения эпидемий в историческом контексте        5

Модель прогнозирования  заболеваемости гриппом среди студентов СмолАПО        6

Рекомендации по снижению риска заболеваемости гриппом среди студентов        12

Заключение.        14

Список использованной литературы        15

Введение

Несмотря на значительные достижения в области здравоохранения, большинство людей всё равно регулярно сталкиваются с простудой и гриппом. Математическая эпидемиология играет важнейшую роль в борьбе с масштабными инфекционными заболеваниями. С помощью математических методов удаётся прогнозировать риски, связанные с отказом от вакцинации, и разрабатывать стратегии для противодействия глобальным пандемиям.

   Грипп представляет собой вирусную инфекцию дыхательных путей с возможными острыми формами проявления, вызываемую специфическими вирусами гриппа. Это заболевание отличается от прочих ОРВИ более тяжелым протеканием и повышенной возможностью осложнений. Вирус нацелен преимущественно на поражение верхних дыхательных путей, но в тяжелых случаях может затрагивать бронхи и легочную ткань.

Грипп поражает людей любого возраста, но некоторые группы населения подвергаются большему риску. Инфекция распространяется очень быстро и легко, особенно в местах, где много людей, таких как школы, колледжи  и университеты

   Цель работы: смоделировать заболеваемость гриппом среди студентов СмолАПО и выявить зависимости прогнозируемого числа переболевших  от количества вакцинированных.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить ряд задач:

- исследовать применение математических методов для изучения эпидемий в историческом контексте;

 - построить математическую модель заболеваемости гриппом среди студентов СмолАПО;

- обобщить и систематизировать итоги исследования,

- выработать рекомендации по снижению риска заболеваемости гриппом.

Объект исследования: студенты, как группа населения, подверженная повышенному риску заболеваемости гриппом.

Предмет исследования: процесс математического моделирования динамики распространения гриппа среди студентов с учётом различных факторов, таких  уровень вакцинации, плотность контактов, социальные взаимодействия.

Гипотезы: 

- имеется взаимосвязь между уровнем вакцинации и уровнем заболеваемости;

- вакцинация студентов позволяет снизить уровень заболеваемости гриппом.

Способ верификации гипотезы: математическое моделирование социально-биологического процесса.

Методы работы:

• эмпирические: наблюдение;
• теоретические: работа с документами, анализ, синтез, аналогия;
• статистические: регистрация, математическая обработка данных;

Этапы работы:

Подготовка: постановка проблемы, выбор темы и обоснование её важности.

Поиск: анализ проблемы, уточнение целей и задач, определение объектов и предметов исследования, подбор необходимых методов.

Анализ: сбор и изучение информации по теме, составление плана действий.

Практика: проведение опроса, обработка собранных данных, создание презентации проекта и формулирование выводов.

Представление: оформление и демонстрация работы, защита проекта.

Контроль: анализ проделанной работы, оценка достигнутых результатов.

Основная часть

Применение математических методов для изучения эпидемий в историческом контексте

Моделирование инфекционных заболеваний — это инструмент, который используется для изучения механизмов распространения болезней, прогнозирования дальнейшего развития вспышки и оценки стратегий борьбы с эпидемией.

     Первым учёным, который систематически пытался количественно оценить причины смерти, был Джон Граунт в своей книге «Естественные и политические наблюдения, сделанные на основе отчётов о смертности», опубликованной в 1662 году. Отчёты, которые он изучал, представляли собой еженедельные списки умерших с указанием причин смерти. Джон Граунт стал известен благодаря созданию первой "таблицы жизни", которая показывала шансы человека дожить до определённого возраста. Он также признан одним из первопроходцев в области эпидемиологии.

Самое раннее описание математического моделирования распространения болезней было сделано в 1760 году Даниэлем Бернулли. Получив медицинское образование, Бернулли создал математическую модель для защиты практики вакцинации от оспы. Расчёты по этой модели показали, что всеобщая вакцинация от оспы увеличит продолжительность жизни с 26 лет 7 месяцев до 29 лет 9 месяцев. Работа Даниэля Бернулли предшествовала современному пониманию микробной теории.

Модель Кермака — МакКендрика, также известная как SIR-модель, описывает, как инфекция распространяется в закрытой группе населения. Она была разработана в 1927 году шотландскими учеными Уильямом Кермаком и Андерсоном МакКендриком.

Вся популяция делится на три группы:

Люди, подверженные заболеванию (S).

Зараженные, которые могут передать болезнь другим (I).

Выздоровевшие, обладающие длительным иммунитетом (R).

Болезнь передается от зараженных к здоровым людям. Переболевшие приобретают иммунитет и больше не могут заразиться. Модель предполагает, что численность населения постоянна, нет рождения и смерти, инкубационный период отсутствует, а время заразности совпадает с продолжительностью болезни.

Эта модель используется для прогнозирования и анализа распространения инфекционных заболеваний во время эпидемий.

Модель прогнозирования  заболеваемости гриппом среди студентов СмолАПО

Для прогнозирования распространения инфекционных заболеваний, таких как грипп, с учётом эффективности вакцин и популяционного иммунитета, можно использовать модификацию классической модели SIR (Susceptible-Infected-Recovered). В данном случае добавляется дополнительный параметр, характеризующий долю вакцинированных студентов, а также учитываются эффекты популяционного иммунитета.

Основные предположения:

1. Студенты  делятся на четыре категории: восприимчивые (S), инфицированные (I), вакцинированные (V) и выздоровевшие (R).
2. Эффективность вакцины оценивается коэффициентом ε, который показывает степень защиты, обеспечиваемую вакциной.
3. Популяционный иммунитет возникает после выздоровления и влияет на уменьшение скорости заражения.

Уравнения модели:

где:

N=S+I+V+R — общая численность студентов СмолАПО,

β — скорость заражения,

γ — коэффициент выздоровления,

v — скорость вакцинации,

ε — эффективность вакцины.

Описание уравнений:

• Первое уравнение описывает изменение числа восприимчивых (S) в результате заражения и вакцинации.
• Второе уравнение отражает динамику инфицированных (I), которые либо заражаются, либо выздоравливают.
• Третье уравнение моделирует изменение числа вакцинированных (V), которые получают защиту от вакцины, но могут всё же заразиться с меньшей вероятностью.
• Четвёртое уравнение показывает рост числа выздоровевших (R), которые приобретают иммунитет.

Численное решение:

Для численного решения системы дифференциальных уравнений будем использовать метод Рунге-Кутты четвёртого порядка.

В методе Рунге-Кутты четвертого порядка (RK4) промежуточные величины k, l и m вычисляются четырежды, потому что этот метод основан на использовании четырех промежуточных точек для более точной аппроксимации решения дифференциального уравнения на каждом временном шаге. Эти точки позволяют учесть более высокие порядки производных функции, что повышает точность решения.

Процесс выглядит следующим образом:

1. Сначала вычисляется первая промежуточная величина k1, l1 и m1​ на основе текущего значения функции и начальных условий.
2. Затем эта величина используется для вычисления второй промежуточной величины ​ k2, l2 и m2, смещённой на половину временного шага вперед.
3. Третья промежуточная величина k3, l3 и m3​ рассчитывается с использованием второй промежуточной величины.
4. Наконец, четвёртая промежуточная величина ​ k4, l4 и m4 определяется на конце временного шага.

Эти четыре промежуточных значения затем комбинируются для получения более точного приближённого значения функции на следующем временном шаге. Такая схема обеспечивает высокую точность решения.

Количество студентов в СмолАПО составляет приблизительно 2000 человек.

Смоделируем,  сколько человек заболеет гриппом, если привито 0. Предположим, что эпидемия длится 90 дней.

Параметры модели.

Для нашего случая возьмем следующие параметры:

Общее количество студентов:  N=2000

Скорость заражения:  β=0,5  (средний человек заражает 0.5 человека в день)

 Коэффициент выздоровления: γ=0.14 (среднее время выздоровления –7 дней, следовательно, γ=1/7)

Шаг времени h выберем 1 день.

День 0. Начальные условия.

Так как изначально никто не привит, все люди находятся в категории восприимчивых (S).

Восприимчивые: S(0)=2000

Инфицированные: I(0)=1 (один человек уже инфицирован)

Выздоровевшие: R(0)=0

День 1.

Восприимчивые:

Инфицированные:

Выздоровевшие:

Рассчитаем аналогично как меняются значения  через 45 дней (в середине эпидемии) и через 90 дней  (в конце эпидемии).

День 45.

S(45)≈400

I(45)≈800

R(45)≈800

День 90.

S(90)≈100

I(90)≈100

R(90)≈1800

Итог. Через 90 дней после начала эпидемии гриппом переболеет примерно 1800 человек из 2000.

Рассчитаем аналогично, как изменится количество переболевших, если привито от гриппа 5% студентов, то есть 100 человек;  10% студентов, то есть 200 человек, 25% студентов, то есть 500 человек, 50% студентов, то есть 1000 человек.

Будем считать, что эффективность вакцины . То есть прививка защищает на 95%.

Результат.

Динамика взаимосвязи числа вакцинированных и прогнозируемого числа переболевших

Динамика взаимосвязи числа вакцинированных и прогнозируемого числа переболевших (графическое представление)

Интерпретация результата:

• Вакцинация — наиважнейший инструмент борьбы с гриппом, но её влияние на заболеваемость не всегда линейно. Зависимость между процентом вакцинированных и прогнозируемым количеством переболевших не является линейной.
• Увеличение доли вакцинированных приводит к снижению пика заболеваемости и общему уменьшению числа инфицированных.

Ограничения модели

• Простота модели предполагает отсутствие учёта многих факторов, таких как вакцинация в процессе эпидемии, социальная дистанция, различия в поведении студентов и прочее.
• Отсутствие учёта погодных условий и естественного иммунитета может повлиять на точность прогноза.

Возможные улучшения

• Учёт более сложного взаимодействия между группами студентов (например, разделение на общежития, факультеты).
• Включение в модель внешних воздействий, таких как погода или мероприятия.
• Более точное моделирование процесса вакцинации.

Таким образом, представленная модель даёт общее представление о возможной динамике заболеваемости гриппом среди студентов СмолАПО.

Рекомендации по снижению риска заболеваемости гриппом среди студентов

Для снижения риска заболеваемости гриппом среди студентов можно рекомендовать следующие меры:

1. Вакцинация:

• Ежегодная вакцинация против гриппа до начала эпидемического сезона.
• Информирование студентов о важности и безопасности прививок.

2. Личная гигиена:

• Частое мытье рук с мылом, особенно после посещения общественных мест.
• Использование антисептиков для рук.
• Прикрывание рта и носа при кашле и чихании салфеткой или сгибом локтя.

3. Укрепление иммунитета:

• Здоровое питание, богатое витаминами и минералами.
• Регулярные физические упражнения.
• Достаточный сон и отдых.
• Прием витаминов и иммуномодуляторов по назначению врача.

4. Избегание контактов с больными:

• Минимизация посещений мест с большим скоплением людей во время эпидемий.
• Ношение защитных масок в многолюдных местах.

5. Своевременное лечение:

• Обращение к врачу при первых симптомах заболевания.
• Соблюдение постельного режима и приём назначенных лекарств.

6. Образовательные программы:

• Проведение лекций и семинаров о профилактике гриппа.
• Размещение информационных материалов в учебных заведениях и общежитиях.

7. Организационные меры:

• Установка санитайзеров и диспенсеров с масками в учебных корпусах.
• Обеспечение доступа к медикаментам и средствам первой помощи.

Эти рекомендации помогут студентам защитить своё здоровье и уменьшить риск распространения гриппа в учебной среде.

Заключение

Гипотезы были верифицированы с помощью математической модели, нашли свое подтверждение. Математическое моделирование позволяет предсказать динамику заболеваемости гриппом среди студентов и выявить непосредственную связь между количеством вакцинированных и предполагаемым количеством переболевших.

На основе проведённых расчётов и анализа данных было установлено, что вакцинация играет ключевую роль в снижении заболеваемости и предотвращении эпидемии.

Моделирование показало, что при отсутствии вакцинации заболевание может затронуть значительное количество студентов, создавая дополнительную нагрузку на медицинские учреждения и образовательный процесс. Однако при высоком уровне вакцинации (более 50%) возможно существенное снижение заболеваемости, что подтверждает необходимость проведения регулярных кампаний по иммунизации.

Результаты исследования могут быть использованы для разработки стратегий профилактики гриппа среди студенческой молодёжи, а также для оптимизации мероприятий по контролю за распространением инфекционных заболеваний в учебных заведениях. Полученные данные подчеркивают важность комплексного подхода к борьбе с гриппом, включающего как массовую вакцинацию, так и меры индивидуальной профилактики.

Дальнейшие исследования могут быть направлены на более глубокое изучение влияния различных факторов, таких как климатические условия, плотность контактов и социальные взаимодействия, на динамику распространения гриппа среди студентов. Это позволит совершенствовать существующие модели и повышать их прогностическую ценность.

Список использованной литературы

1. Башабшех М. М. Эпидемическое моделирование с использованием клеточных автоматов // SCI-ARTICLE. 2024.  № 127.  С. 28-31.
2. Грипп  и другие ОРВИ в период продолжающейся пандемии COVID-19: профилактика и лечение: метод. рекомендации [авторы-составители: Никифоров В.В. и др.]. М.: Спецкнига, 2022.48 стр.
3. Долгих А. Как моделируют эпидемии. Разбираемся на примере вируса гриппа [Электронный ресурс] // URL: https://habr.com/ru/companies/dataart/articles/581068/ (дата обращения: 25.03.2025).
4. Жигарловский Б.А. Эпидемиологическая характеристика и оптимизация эпидемиологического надзора за гриппом и ОРВИ : автореферат дис. ... кандидата медицинских наук : 14.02.02 / Жигарловский Бронислав Андреевич ; [Место защиты: Центр. науч.-исслед. ин-т эпидемиологии МЗ РФ]. - Москва, 2019. -24 с.
5. Моделирование эпидемиологического процесса. Классы моделирования эпидемиологического процесса [Электронный ресурс] // URL: https://mz-don.com/stati/modelirovanie-epidemiologicheskogo-processa-klassy-modelirovaniya-epidemiologicheskogo-processa.html (дата обращения: 25.03.2025).