"Магические числа"

XIII  ГОРОДСКАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ

5-7 классов «ОБЫКНОВЕННОЕ ЧУДО»

Муниципальное автономное образовательное учреждение

«Физико-математическая школа № 56 г. Улан-Удэ»

Секция «Математика»

Тема:

«Принцип Дирихле»

                                                                                                        Исполнитель:

Башкатова Ника                                                                                                ученица  «7 М» класса                                                                                                      МАОУ «ФМШ № 56  г. Улан-Удэ»

Руководитель:                                                                                                    Пестерова Елена Игнатьевна

учитель математики

МАОУ «ФМШ № 56 г. Улан-Удэ»,

высшая категория

г. Улан-Удэ

2025 г

Содержание

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………....................................................................3

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ…………………………..................................................................4

1. Основы принципа Дирихле.

2. Учёный Дирихле.
3. Задачи по алгебре с принципом Дирихле.
4. Современное применение принципу Дирихле.
5. Принцип Дирихле и геометрия.
6. Заключение.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность: Эта тема является актуальной, потому что с каждым годом принцип Дирихле используется всё чаще в современном мире. Также принцип Дирихле развивает мышление, делает некоторые задачи намного легче.

Цель проекта: рассказать и доказать, почему так важно знать тему «Принцип Дирихле».

Задачи работы:

1.Изучить литературу по данному вопросу.

2. Научиться решать задачи по принципу Дирихле.

3. Сделать вывод.

Теоретическая часть

1.  «Основы принципа Дирихле»

Что же такое принцип Дирихле? Принцип Дирихле – фундаментальный принцип в математике, который гласит, что если конечное множество объектов распределяется по конечному множеству ячеек, то по крайней мере одна ячейка будет содержать более одного объекта.

 Принцип Дирихле утверждает, что если множество из M элементов разбито на N непересекающихся частей, не имеющих общих элементов, где M > N, то по крайней мере в одной части будет более одного элемента.

        В комбинаторике принцип Дирихле́ («принцип ящиков») - утверждение, устанавливающее связь между объектами («зайцами») и контейнерами («клетками») при выполнении определённых условий. В английском и некоторых других языках утверждение известно как «принцип голубей и ящиков», когда объектами являются голуби, а контейнерами - ящики.

       Формулировки принципа Дирихле

1.  «Если в n клетках сидят n + 1 "кроликов", то есть клетка, в которой не менее 2-х «кроликов»

Например. Если в 4(или n) клетках сидит 5 (или n+1) зайцев, то хотя бы в одной клетке находится более одного зайца (2 зайца).

2.   «Если в n клетках сидят не более n-1 "кроликов", то есть пустая клетка»

        Заметим,  что  в  роли  кроликов могут  выступать  различные  предметы  и математические  объекты - числа,  отрезки,  места  в  таблице  и  т.  д.  Если  мы хотим  применить  принцип  Дирихле  при  решении  конкретной  задачи,  то  нам предстоит разобраться, что в ней — "клетки", а что — "кролики". Это обычно является самым трудным этапом в доказательстве.

2. Петер Густав Лежён Дирихле.

Петер Густав Лежен Дирихле (1805–1859) был выдающимся немецким математиком, известным своими работами в области теории чисел, математического анализа и дифференциальных уравнений. Родился в Туксдоре, он учился в Геттингенском университете, где познакомился с работами таких ученых, как Карл Фридрих Гаусс. Дирихле сделал значительный вклад в теорию чисел, введя понятие "дирихлева предельная функция" и разработав теорию дифракционных уравнений. Он также известен своими работами по анализу, в частности, по рядам Фурье. Дирихле был профессором в различных университетах, включая Геттинген и Берлин. Его наследие продолжает оказывать влияние на математику и смежные дисциплины. Умер в 1859 году.
Некоторые открытия Петера Густава Дирихле:

• В теории чисел. Доказал бесконечность множества простых чисел во всякой арифметической прогрессии целых чисел, первый член и разность которой — числа взаимно простые. Также установил формулы для числа классов бинарных квадратичных форм с заданным определителем. 
• В области математического анализа. Впервые точно сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда, дал строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье кусочно-непрерывной и монотонной функций. 
• В механике и математической физике. Ряд работ Дирихле посвящён механике и математической физике, где используется так называемый принцип Дирихле в теории гармонических функций. 

3. Задачи по алгебре с принципом Дирихле.

Задача 1: В коробке лежат 13 шариков: 5 красных, 4 синих и 4 зеленых. Какое наименьшее количество шариков нужно вынуть, чтобы среди них гарантированно было хотя бы 2 шариков одного цвета?

Решение: В худшем случае мы вытащим по одному шарику каждого цвета (3 шарика). Следующий, четвертый шарик, обязательно будет совпадать по цвету с одним из уже вытащенных.  Таким образом, нужно вынуть минимум 4 шарика.

Задача 2: У Пети есть 7 пар носков разных цветов. Сколько носков ему нужно вытащить из ящика, не глядя, чтобы среди них обязательно нашлась хотя бы одна пара?

Решение: В худшем случае Петя вытащит по одному носку каждого из 7 цветов.  Следующий, восьмой носок, обязательно составит пару с одним из уже вытащенных.  Таким образом, нужно вынуть минимум 8 носков.

Задача 3 В школе 100 учеников. Докажите, что есть хотя бы два ученика, дни рождения которых приходятся на один и тот же день недели

Решение:  Всего 7 дней недели.  Если предположить, что на каждый день недели приходится не более одного ученика, то всего будет 7 учеников. Так как в школе 100 учеников (100 > 7), то по принципу Дирихле, хотя бы на один день недели приходится более одного ученика.  

Задача 4: В мешке лежит 25 конфет: 8 шоколадных, 7 карамельных и 10 ирисок. Какое минимальное количество конфет нужно вытащить из мешка, не глядя, чтобы среди них гарантированно было хотя бы:

  а) 5 шоколадных конфет?

    Решение:  В худшем случае вытащим все карамельные и ириски (7 + 10 = 17 конфет).  Следующие 5 конфет обязательно будут шоколадными, поэтому минимум нужно вытащить 17 + 5 = 22 конфеты.

    б) 4 карамельные конфеты и 5 ирисок?

    Решение: В худшем случае вытащим все шоколадные конфеты (8 конфет) и 3 карамельные конфеты.  Затем вытащим 5 ирисок.  Всего 8 + 3 + 5 = 16 конфет.  Поэтому нужно вытащить минимум 16 конфет.

Задача 5: На доске написаны 10 различных целых чисел. Докажите, что найдутся два числа, разность которых делится на 9.

Решение:  Остаток от деления целого числа на 9 может принимать значения от 0 до 8.  Если у нас 10 чисел, то по принципу Дирихле найдутся хотя бы два числа с одинаковым остатком при делении на 9.  Разность этих чисел будет кратна 9 (потому что остатки вычитаются, и результат будет 0).

4. Современное применение принципу Дирихле.

Принцип Дирихле находит применение не только в теоретической математике, но и в различных практических сферах. Например:

1.Социология и демография.

 В социологии принцип показывает, что если количество людей превышает количество доступных комнат, то хотя бы одна комната будет населена несколькими людьми. Это помогает в анализе плотности населения и распределении ресурсов.


2. Экономика.

В экономике принцип используется для оценки распределения ресурсов в условиях ограничений. Если, например, несколько компаний стремятся занять одинаковые рыночные ниши, то по принципу Дирихле можно ожидать, что некоторые компании будут конкурировать за одну и ту же группу клиентов.

3.Безопасность .

В области информационной безопасности принцип применяется при анализе уязвимостей систем. Если количество уязвимостей превышает количество защитных механизмов, то некоторые из них обязательно останутся незакрытыми.

5. Принцип Дирихле и геометрия.

Очень часто в геометрии его используют в следующих формулировках: если на отрезке, длина которого равна 1, расположено несколько отрезков, для которых общая длина больше либо равна 1, то, по крайней мере, два из них имеют общую точку. Если площадь некоторой фигуры составляет 1 и внутри её размещено несколько фигур, сумма площадей которых больше либо равна 1, то, по крайней мере, две из внутренних фигур имеют общую точку. Аналогично можно сформулировать принцип Дирихле и для пространственных фигур.
Пример:
В ковре, размеры которого 5 · 5 м моль проела 24 дырки. Докажите, что из него всегда можно вырезать коврик квадратной формы, сторона которого равна 1м и в нем не будет дыр. (Здесь под словами «дыра в ковре» будем понимать то же, что «точка на плоскости»)

Решение:
Разделим ковер на квадраты со стороной 1м. Таких квадратов 25. По условию дыр 24. 25 >24. Следовательно, существует квадрат, внутри которого дыр нет. Принцип Дирихле сработал. Интересен случай, когда дыра окажется на границе двух квадратов. Тогда, по логике вещей, она принадлежит двум квадратам сразу. Одна дыра «выступает за двоих» и получается дыр 25. Формально, принцип Дирихле не срабатывает. Но такие дыры мы можем вообще игнорировать. Ведь при разрезании они исчезнут. Теперь задача решена для любого расположения точек.

6. Заключение.

Стих: Круг от чашки на столе. Половина первого. Странный принцип Дирихле. Рассердила верного. Всё сидит листает фото... Не свои, старинные. Трогает листы блокнота, Записи недлинные. Искажает смысл фраз. Истыны былинные Не пройдут не в первый раз. Облака перинные. Примут на ночь, в сны ведут, Сны неповторимые. Только на душе редут. Чувства ей любимые.
Этот принцип служит основой для доказательства множества теорем в комбинаторике, теории графов и других областях математики. Он упрощает анализ задач, связанных с распределением элементов, и позволяет делать выводы без глубокого математического анализа.