Оригами помогает изучать математику

МКУ Управление образования Джидинского района

МБОУ Оёрская средняя общеобразовательная школа

Секция: Математика

Тема: Оригами помогает изучать математику

  Автор работы: Буянтуев Арсалан

- ученик 9 класса

Научный руководитель: Абашеева Татьяна

Батожаповна - учитель математики

2015г.

Оглавление:

1. Введение……………………………………………………………….…………….……..…3
2. Теоретическая часть……………………………………………………………….………….4

1. Оригами и математика.
2. Аксиомы геометрии и оригами.
3. Теоремы геометрии и оригами.

3. Экспериментальная часть……………………………………………..………….……….…7

1. Как построить «Восьмиугольную звезду»?
2. Решение задач методом оригами.

4. Заключение………………………………………………………….…………………..…  .9
5. Список литературы. ……………………………………………………….…………..   . .10
6. Приложения. …………………………………………………………………………..… . 11

Введение.

Оригами – древнее искусство складывания фигурок из бумаги, японское изобретение и одно из самых распространенных в настоящее время по всему миру детских (и не только детских) занятий и увлечений, при котором «голова работает руками», и очень успешно.

Преобразовывая складыванием квадратный листок бумаги, можно получить какую-то определенную фигурку. Из обыкновенной бумаги японцы  воистину могут творить чудеса. Сделанные ими фигурки украшают храмы и жилища. В Японии считают, что бумажные шары - кусудамы, журавлики и другие изделия являются талисманами и приносят счастье. Занятие оригами оказывает положительное влияние на развитие. Ведь чтобы получилась красивая фигурка, нужна аккуратность, внимание, сосредоточенность. Оригами так же  развивает память, мышление, пространственное воображение, сообразительность. Оригами облегчает освоение систематического курса геометрии и позволяет создать наглядную модель Евклидовой геометрии.

Решение задач и доказательство теорем с помощью оригами-способ необычный и интересный. Многие понятия геометрии объясняются с помощью оригами просто и наглядно.

На родине оригами в Японии существуют различные периодические издания, обучающие творческой технике складывания из бумаги.

Оригами  для наших соотечественников относительно новая область творчества.

Целью   данного исследования является изучение происхождения оригами и связи этого искусства  с математикой (геометрией).

Гипотеза: искусство оригами тесно связанно с математикой (геометрией) и может стать хорошей основой для её изучения.

Задачи:

• Проанализировать связь оригами и математики(геометрии) на примере основных  элементов азбуки оригами.
• Изучить превращения квадратного листа бумаги и накопление практического опыта с ними.

Объект исследования: Геометрические фигуры и их свойства.

Предмет исследования: Лист бумаги.

Метод исследования: Практическая работа, наблюдение, сравнение, анализ.

Теоретическая часть.

                                                Оригами и математика

Очень многое в оригами связанно с математикой.

В оригами используется квадратный лист бумаги, для выполнения какой-либо фигуры. Так же используется  множество математических понятий как точка, запятая, линия, квадрат, прямоугольник, треугольник.

Оригами-это красота геометрии на бумаги. Искусство оригами можно применять для доказательства теорем и для решения задач по геометрии. Доказывать теоремы и решать задачи с помощью оригами достаточно просто  и интересно, т.к многие понятия геометрии наглядно объясняются демонстрацией  оригами.

Аксиомы геометрии и оригами.

Оригами - математическая теория, так как в ней работает аксиоматический метод. Основные понятия оригами: точка, линия сгиба, квадратный лист бумаги.

Основные отношения: линия сгиба, проходит через точку; точка принадлежит линии сгиба.

Для построения теории используется система аксиом. Таких аксиом, с точки зрения японского математика Хумиани Хузиты, живущего в Италии, шесть.

Аксиома 1. Существует единственный сгиб, проходящий через две данные точки.

Аксиома 2. Существует единственный сгиб, совмещающий две данные точки.

Аксиома 3. Существует  единственный сгиб, совмещающий две данные прямые.

Аксиома 4. Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и перпендикулярный данной прямой.

Аксиома 5. Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и помещающий другую данную точку на данную прямую.

Аксиома 6. Существует  единственный сгиб, помещающий каждую из двух данных точек  на одну  из двух данных пересекающихся прямых.

Данная система аксиом удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым системам аксиом, а именно она является независимой, непротиворечивой  и полной.

В 2002 году, японский оригамист Коширо Хатори обнаружил сгиб, который не описан в аксиомах Хумиани Хузиты.

Аксиома 7.

Для двух данных прямых и точки существует линия сгиба, перпендикулярная первой прямой и помещающая данную точку на вторую прямую.

Система аксиом 1-5 эквивалента, системе аксиом конструктивной геометрии, где в качестве основного инструмента используется чертёжный треугольник.

Значит, перегибанием листа бумаги можно решить любые задачи на построение, разрешимые при помощи чертёжного угольника, а значит, разрешимые при помощи классических инструментов - циркуля и линейки.

Аксиома 6 не может быть решена методами конструктивной геометрии, т.к построение, проводимые в этой аксиоме сводятся к решению кубического уравнения, не имеющего рациональных корней.

Таким образом, возможности построения при помощи перегибания квадратного листа бумаги на много больше, чем при использовании классических чертёжных инструментов.

Теоремы геометрии и оригами.

• Теорема 1: Сумма углов треугольника равна 180.

Доказательство: Вырежем из бумаги треугольник  любой формы и перегнём его сначала по линии АВ (рис.1), так, чтобы основание треугольника легло на себя.

Перегнув затем треугольник по линиям DH и CQ так, что бы точки Е и F попали в точку В, получим прямоугольник CQHD и наглядно убедимся что все три угла треугольника (1,2,3), составляют в сумме два прямых.

Необычная наглядность    и простота этого приема позволяют познакомить даже детей, не изучавших геометрии, с одной из её важнейших теорем.

• Теорема 2: Накрест лежащие углы образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

Доказательство: Возьмем лист  бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей  АВ. Сравним накрест лежащие углы-углы 1 и 2.

Согнём лист по секущей АВ. Совместим вершины накрест лежащих углов – точки А и В. Углы 1 и 2 совпали при наложении, следовательно, 1=2. Значит накрест лежащие углы, образованные при пересечении  двух параллельных  прямых секущей, равны.

• Свойство прямоугольного треугольника: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 , равен половине гипотенузы. 

Доказательство:

Наметим середину стороны квадрата.

Точка D должна лечь на намеченную линию.

Согнем по указанной линии, а потом отогнем угол в первоначальное положение.

Точка А должна лечь на намеченную линию.

Согнем по указанной линии, а потом отогнем угол в первоначальное положение

Δ ADN – прямоугольный, острый угол которого 30.

Совместив точки A и D, получим точку Х, а потом отогнём в первоначальное положение.  Δ ADX равнобедренный и углы при основании равны 30.

ےXDN=60.,ےXND=60., значит Δ XDN равносторонний, т.е. DN = NX = AX = 1/2 AN.

Катет DN лежит против угла 30  и равен 1/2 гипотенузы AN.

Экспериментальная часть.

1.Как построить фигуру оригами «Восьмиугольную звезду»?

• Наметить диагонали квадрата. Линия сгиба – долина (Рис.1).
• Две смежные вершины квадрата согнуть к центру. Линия сгиба – долина (Рис.2).
• Вершину прямого угла треугольника согнуть к середине гипотенузы. Линия сгиба – гора (Рис.3).
• Одновременно согнуть по всем намеченным линиям (Рис.4).
• Катеты прямоугольного треугольника согнуть к высоте, опущенной из прямого угла. Линии сгиба – долины (Рис.5).
• Вид готового модуля с обеих сторон (Рис.7).
• Один из возможных способов соединения двух модулей (Рис.7).
• Представлена фигура, собранная из восьми деталей (Рис.8).

При построении схемы этой фигуры чертёжными инструментами оказываются задействованными следующие элементарные задачи на построение:

• Построение квадрата, а значит, и построение перпендикуляра к данной прямой.
• Построение середины данного отрезка.
• Построение биссектрисы данного угла.
• Построение треугольника, равного данного. (Построение треугольника по трём сторонам.)

Построенную фигуру  можно использовать для решения других задач:

Первый тип задач  связан с вычислением зависимости линейных размеров исходного листа бумаги. Эти  вычисления необходимы для дальнейшей работы с изобретенной фигурой.

Построенная звезда может быть художественной моделью правильного восьмиугольника. И поэтому  её можно включать в плоские композиции, связанные с правильными паркетами, и объемные, связанные с полуправильными многогранниками.

Второй тип  задач - вычислить площадь:

• Полученной фигуры;
• Минимально правильного восьмиугольника, который можно описать около построенной фигуры;
• Максимально  правильного восьмиугольника, который можно вписать в эту фигуру;
• Отверстия в форме восьмиугольной звезды.

Рассмотрим примеры задач, решаемых методом оригами.

Эти методы  наглядны и относительно просты. Сколько любопытных тайн кроется в обычном листочке бумаги, который всегда под рукой!

Например, при изучении темы «Замечательные точки треугольника», мы убеждаемся  в том, что каждая тройка биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров треугольника, пересекаются в одной точке, а потом свои  убеждения попробуем подтвердить математически. Возможности перегибания листа бумаги велики, что обеспечивает решить большое разнообразие задач.

При решении задач с помощью методов оригами роль прямых играют края листа и линии сгибов, образующиеся  при его перегибании, а роль точек - вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов друг с другом или краями листов.

Любая оригамская задача состоит:

1. Из постановки задачи.
2. Из оригамского решения, проверки или способа  построения.
3. Из математического обоснования, т.е. доказательства того, что в результате действительно получается фигура с требуемыми свойствами.

Для примера решим несложные задачи.

Задача 1:  методом оригами разделить один из углов квадрата на 3 равных угла.

1. Наметить сгиб, делящий верхнюю сторону квадрата пополам.
2. Совместим вершину правого нижнего угла квадрата с некоторой точкой, намеченной линии сгиба.
3. Перегнём левую верхнюю часть фигурки и вернемся в исходное положение  квадрата.
4. Проверим результат. Вершина левого нижнего угла квадрата линиями  сгиба разделяет на 3 равных угла.

Математическое обоснование.

Используя рис 5, можно  записать: Δ АВС - равносторонний, значит ے АВС = 60

ےОВА =90-60=30, ے ABN=З0

Итак, методом оригами мы разделили угол квадрата на три равные части.

Задача 2: В Δ АВС проведена биссектриса ВК. Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВM = МК. Докажите, что КМ //АВ.

Решение: 1) Оригамское решение:

Совместим лучи ВА и ВС, построим биссектрису ВК

Совместим точки В и К, построим точку М

Согнем по линии МК.

                2) Математическое обоснование:

BK биссектриса ΔАВС => ے1 = ے2, BM = MK (по условию) => ΔBMK равнобедренный =>

ے 2 = ے 3.

Следовательно, ے 1 = ے 3, но ے 1 и ے 3 накрест лежащие при прямых AB и KM и секущей BK => AB // KM

Заключение.

Представьте себе жаркий летний день. Солнце палит нещадно, а вы забыли дома соломенную шляпу, легкую кепку. Хоть мама  и предупреждала, что с непокрытой головой под  солнцем ходить,  не просто малоприятно, но и вредно!

Что же делать? Не возвращаться же домой?

Выход есть. Можно смастерить  отличный головной убор из……газеты! Может быть,  вы уже умеете это делать? (рис  9)

Вы не просто сделали себе шляпу из бумаги, на самом деле вы чуть – чуть приобщились  к старинному японскому искусству складывания из бумаги фигурок и предметов – искусство «Оригами»

 В переводе  с японского языка «ори», означает «сгибать», «гами»- бумага. Получается перевод: «оригами»- «сгибать бумагу», или по – другому «оригами» - «сложенная бумага».

 Тот, кто владеет этим искусством, может превратить бумажный лист в яркий фонарик или хрупкий цветок,  в легкокрылую стрекозу или в грустного журавлика, в тропическую рыбку или в смешного пса.

Оказывается, перегибая лист бумаги,  получают не только фигурки животных и птиц, но и … знакомые нам геометрические фигуры.

Итак, оригами прежде всего – искусство, призванное дарить людям радость.

Тема оригами актуальна во все времена (им увлекались как в древности, так увлекаются и до сих пор), она интересна и увлекательна.

Оказывается, что оригами может помочь при выполнении геометрических построений, решении задач и доказательстве теорем геометрии.

Список литературы.

1. Афонькин С.Ю. «Уроки оригами в школе и дома». М. Аким, 1996 г.

2. Весковская О.В «Оригами: орнаменты, кусудамы, многогранники» Чеб. «Руссика», 2003, 52стр.

3. Гусев В.А. «Методика обучения геометрии», М., «Академия», 2004 г, 376 стр.

4. Белим, С.Н.  «Задачи по геометрии, решаемые методами оригами», М.. «Аким», 1998 г, 66 стр.

5. Шеремет Г. «Оригами помогает изучать математику». Математика 2007г,
   №19, стр.