Аликвотные дроби

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей №4»

Научно-практическая конференция «Интеллект XXI века»

Аликвотные дроби

(секция: математика, физика, информатика)

                                                                                          Работу выполнила:

 Курохтина Александра,

ученица 7б класса

Руководитель: Давыдова Н.А.

САРАТОВ 2010

Введение

 Моя работа называется аликвотные дроби. Почему я выбрала эту тему?

В 7 классе наша любимая математика разделилась на два разных предмета: алгебра и геометрия. Сначала мы всем классом думали, что это два НОВЫХ предмета, но оказалось, что алгебра очень похожа на математику 1-6 класса, а геометрия нам иногда также встречалась в учебниках. Практически на одном из первых уроков алгебры  учитель предложил нам сделать пример из учебника, который, как нам показалось, был достаточно прост, нужно было только старательно выполнить все действия.

Наш учебник: «Алгебра с углубленным изучением математики 7 класс»

Авторы: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г, Нешков К.И.

№       Вычислить:

Мы начали приводить дроби к одному знаменателю и быстро поняли, что это достаточно трудно. Оказывается, есть очень простой способ!

Если представить дроби:  

И так далее!!!

Получаем:

Учитель сказал нам, что такие дроби с числителем 1 – называют аликвотными! Меня очень заинтересовало – когда появились эти дроби, какие еще примеры можно решать с их помощью и т.д. И я решила узнать об аликвотных дробях побольше!

Основная часть

Аликвотные дроби начали использоваться ещё в древности.   Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась у наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три – «треть», четыре – «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два». Следующей дробью была треть.

В Древнем Египте «натоящими» математики считали только аликвотные дроби. Поэтому каждую дробь стремились представить в виде суммы аликвотных дробей, причём с разными знаменателями.

Таким образом, первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида –  – так называемые единичные дроби или аликвотные.

Египетская дробь — в математике сумма нескольких  аликвотных дробей вида (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Пример: .

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби. Сумма такого типа использовалась математиками, как определение, для дробей начиная со времён древнего Египта до средневековья.

 Единичные дроби встречаются в древнейших, дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках.

Итак, Египтяне все дроби записывали как суммы долей, то есть дробей вида 1/n. Например: 8/15=1/3+1/5. Дроби 1/n  ( где n - натуральные число ), которым египтяне отдавали предпочтение, в современной математике именуются аликвотными (от латинского aliguot- " несколько'').  То есть аликвотными дробями называются дроби с числителем 1. И даже сами аликвотные дроби они часто стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей. Например,

                                         1/2=1/3+1/6, 1/4=1/5+1/20

Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить «хекат», основную меру объёма в Древнем Египте, т.е. аликвотные дроби нужны были египтянам в практических целях.

Рассмотрим такую задачу: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми»   Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов. А по-египетски эта задача решалась так: 7/8= 1/2 +1/4 +1/8. Значит, каждому человеку нужно дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Придется сделать почти в три раза меньше разрезов.

Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков. К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой (позиционная система исчисления).

Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci» -  это вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

Я познакомилась с различными задачами древности, которые решаются через аликвоты. Ещё меня заинтересовал вопрос разбиения дробей на аликвоты. Исследуя разложение дробей вида 2/n и 2/(2n +1) я получила математические формулы разбиения вида 2/n=1/n + 1/n; 2/(2n+1)=1/(2n+1) + 1/(2n+1) и я посчитала очевидным путём исследования получить ещё одну формулу 2/(2n+1)=1/(n+1) + 1/(2n+1)(n+1), например,

при n=2         2/5=1/3 + 1/15

при n=5        2/11=1/6 + 1/66   и  т.п.

Чтобы представить какое-либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять незаурядную изобретательность. Скажем, число 2/43 выражается так: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно. Поэтому в процессе решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей возникла идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.

Формула выглядит следующим образом:

1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))

Примеры разложения дробей:

1/3=1/(3+1)+1/3*(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5*(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8*(8+1)=1/9+ 1/72.

Но если преобразовать нашу формулу, то получим следующее полезное равенство:

1/(n*(n+1))=1/n -1/(n+1)

1/6=1/(2*3)=1/2 -1/3

½=1/(1*2)=1/1 -1/2

То есть аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей, или разность двух аликвотных, знаменателями которых являются последовательные  числа  равные  их  произведению.

Вернемся к формуле и докажем это равенство:

                            1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))                                                                

                  (1/(n+1)) +(1/n*(n+1)) , приведя дроби к общему знаменателю, получаем:

                   ( n+1 )/((n+1)*n) после сокращения получаем: 1/n.

Итак, получается, что 1/n=1/n. Наша формула верна.

Но мы пойдем дальше, и на основании разности аликвотных дробей решим на первый взгляд, трудноразрешимую для обычного человека задачу:

1/2+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+…….+1/(19*20) =????

Воспользуемся нашей формулой для разложения аликвотной дроби в виде разности:

½=1/(1*2)=1/1 -1/2

1/6=1/(2*3)=1/2-1/3

1/12=1/(3*4)=1/3-1/4

1/20=1/(4*5)=1/4-1/5  и т.д.

 Подставив, уже разложенные выражения в наш пример, получаем:

1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5……..+1/19-1/19-1/20=1/1-1/20=19/20.

Мы представили формулу, как удобство при разложении аликвотной дроби на 2 слагаемых. При разложении 1 на два слагаемых получается: 1=1/2+1/2 (Наша формула действует!). Чтобы разложить 1 на 3 слагаемых, мы возьмем одну аликвотную дробь и по формуле разложим ее еще на две аликвотные дроби:

½=1/3+1/6     ½=1/3+1/6   => 1=1/2+1/3+1/6;

Чтобы разделить на 4 слагаемых, делим еще одну дробь на две аликвотные дроби:

1/3=1/4+1/12 => 1=1/2+1/4+1/12+1/6;

На 5 слагаемых: 1/6=1/7+1/42  => 1=1/2+1/4+1/12+1/7+1/42.

Решение задач из учебника

Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей

А) трех слагаемых

 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

Б) четырех слагаемых

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

B) пяти слагаемых

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

№ 37 Верно ли равенство?

Равенство верно.

Равенство верно.

 Равенство верно.

№ 135 Решить пример.

Решение олимпиадных задач

Найди сумму

1/(10*11)+1/(11*12)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=?

Чтобы найти решение данной задачи необходимо найти сумму

1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=99/100

И вычесть из нее сумму

1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(8*9)+1/(9*10)=9/10

99/100-9/10=(99-90)/100=9/100=0.09

Найти сумму

½+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90=

1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(5*6)+1/(6*7)+1/(7*8)+1/(8*9)+1/(9*10) =9/10

Заключение

Таким образом, при разработке данной темы,  мы узнали, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. Выяснили, что каждое рациональное число вида a/b  может быть разложено на единичные дроби.

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс  нестандартных задач.  Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого. Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решили олимпиадные задачи по математике разных лет.

Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.

 Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно». В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.

  Эту тему я выбрала потому, что мне было интересно узнать про то, как возникли аликвотные дроби, как они использовались в древние времена и как они используются в наше время. Мне очень понравилось работать с этой темой, благодаря этому я узнала очень много нового про аликвоты.

Используемая литература:

1. Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. М.: Педагогика,1989.
2. Гаврилова Т. Д. «Занимательная математика». 5-11класс. Волгоград: Учитель, 2008.
3. Фарков А. В. Математические олимпиады в школе. 5-11класс. – М.: Айрис-пресс, 2005.
4. Петерсон Л. Г. Математика. 5класс. – М.:Ювента, 2009.
5. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И. Е. Феоктистов. Алгебра 7кл.