Методы решения неравенств, содержащих параметры и абсолютную величину

Министерство образования Российской Федерации

МОУ Гимназия №87

Методы решения неравенств, содержащих параметры и абсолютную величину.

                                                                       Выполнила: ученица 9«д»

                                                                       класса Гришкина Таисия

Руководитель:

Учитель математики

Золкина Светлана Владимировна

Саратов, 2006

Содержание.

1. Введение…………………………………………..2
2. Традиционный способ решения неравенств с абсолютной величиной и параметрами………………………………………4
3. Метод трех точек………………………………  .10
4. Решение задач……………………………………12
5. Заключение……………………………………….16

6.   Приложение………………………………………17

Введение.

   Хорошее знание математики обуславливает умение решать задачи высокого уровня сложности. К ним, в частности, относятся задачи с абсолютной величиной и параметрами, которые всегда были популярны и любимы авторами заданий для вступительных экзаменов. Для составления подобных заданий обычно используются достаточно простые выражения (в частности квадратные трёхчлены), действия с которыми не выходят за рамки школьной программы, например курса алгебры 8–9 классов. Такие задачи можно усложнить с помощью параметров и различных условий до уровня вступительных экзаменов по математике в технические в вузы.

  В своей работе я изучила теоретический материал, в котором рассматриваются неравенства, содержащие параметры и абсолютную величину, выполнила самостоятельно доказательство отдельных утверждений и на основе этих сведений решила следующие задачи.

   Задача 1.

  Известно, что наименьшее значение выражения  на отрезке  равно 1. Найдите параметры a и b.

   Задача 2.

  Какое наибольшее значение может принимать параметр a, если известно, что  при ?

   Задача 3.

 Функция  такова, что . Найдите значения c и d, при которых множество значений функции  на отрезке [-1;1] будет наименьшим; укажите это множество.

   В работе я использовала статью В. Голубева «Метод трёх точек» изданную газетой «Математика», ПС, №1, 2004г.

Традиционный  способ решения неравенств

с абсолютной величиной и параметрами.

Рассмотрим следующую задачу.

Задача.

Найдите все пары чисел p и q, при которых неравенство  выполняется для всех значений x на отрезке .

Для решения этой задачи необходимо понимание следующих фактов.

Утверждение 1.

Все графики квадратичной функций вида y=t2+pt+q как геометрические фигуры равны между собой и получаются друг из друга параллельным переносом (то есть вид графика от параметров p и q не зависит).

Доказательство этого утверждения становится понятным после  выделения полного квадрата.

t2+pt+q=t2+pt+–+q=–+q= (t–tв) 2–+q

Утверждение 2.

Множество значений квадратичной функции y=t2+pt+q на отрезке [m;n] есть отрезок, длина которого не зависит от q (так как вычисляется как разность значений функции в некоторых двух точках).

Пусть длина отрезка множества значений квадратичной функции y=t2+pt+q на отрезке [m;n] обозначена как Ly(m;n). Учитывая, что Ly(m;n) - разница максимального и минимального значений этой функции, получим следующее.

1. Если вершина параболы находится за пределами отрезка  [m;n]  (причём левее него), то есть –m, то

Ly(m;n)=y(n)–y(m)=n2+pn+q–m2–pm–q=(n–m)(n+m)+p(n–m)=

=(n–m)(n+m+p), где n–m=l–длина отрезка [m;n].

Ly(m;n)=l(n+m+p).

2.Если вершина параболы лежит между левой границей отрезка [m;n] и серединой этого отрезка, то есть m–, то

Ly(m;n)=y(n)–y=n2+pn+q–++q=

=n+pn+q–+–q = n+pn+=+p=

==

3. Если вершина параболы лежит между серединой отрезка [m;n] и правой границей этого отрезка, то есть  – n.

 Ly(m;n)=y(m)–y=m2+pm+q–++q=

=m+pm+q–+–q=m–+pm+=

=+p==

4.Если вершина параболы находится за пределами отрезка  [m;n]  (причём правее него), то есть n– , то

Ly(m;n)=y(m)–y(n)=m+pm+q–n–pn–q=

=(m+n)(m–n)+p(m–n)=(m–n)(m+n+p)=–l(m+n+p).

Величину Ly(m;n) принято называть колебанием функции на отрезке.

                –l(m+n+p), если p–2n,

                , если –2np–m–n,

Ly(m;n)=    

                 , если –m–np–2m,

                l(m+n+p), если –2mp.

 Таким образом, наименьшее колебание достигается, если абсцисса вершины параболы совпадает с серединой отрезка[m;n].

Утверждение 3.

Минимальная длина отрезка множества значений квадратичной функции достигается тогда и только тогда, когда ось графика этой функции (то есть ось параболы) проходит через середину отрезка [m;n].

Выведем формулу минимального колебания функции.

Если =

=, то получим следующее:

 Если , значит . Выполним замену.

Здесь l = m – n.

Тогда  .

Свойство квадратного трёхчлена.

Когда аргумент квадратного трехчлена t2+pt+q «пробегает» отрезок длины l, значение квадратного трёхчлена «пробегает» отрезок длины не меньшей .

Рассмотрим функцию .

Пусть , где M–наибольшее значение функции  на отрезке [m;n]. Тогда

.  (1)

Свойство модуля квадратного трёхчлена.

Когда аргумент квадратного трёхчлена  «пробегает» отрезок длины l, значение модуля квадратного трёхчлена  «пробегает» отрезок длины, не меньшей ,

То есть

.

При этом равенство выполняется, если абсцисса вершины параболы совпадает с серединой отрезка, а значения квадратного трёхчлена на концах отрезка равны M.

Таким образом, мы получили решение задачи 1. Остаётся только подставить значение m и n.

Ответ:  

Для произвольного квадратного трехчлена полученные выше формулы несколько изменятся.

Свойство 1.

Рассмотрим функцию  

Так как колебание – величина неотрицательная, то можно утверждать, что

.

Свойство 2.

Рассмотрим функцию

Метод трёх точек.

Рассмотрим его на примере этой же задачи.

Поскольку исходное неравенство  выполняется на отрезке , то оно должно выполняться на концах отрезка и в его середине. Поэтому

Решим полученную систему относительно одной переменной.

Найдём значение q.

Ответ:  

  Этот метод называют методом трёх точек, так как в его основе лежит нахождение значений функции в трёх точках: левой и правой границе отрезка и его середине.

Решение задач.

Задача 1.

  Известно, что наименьшее значение выражения  на отрезке  равно 1. Найдите параметры a и b.Решите задачу обратную данной.

    Решим эту задачу традиционным способом.

    Учитывая, что наименьшее колебание достигается, если абсцисса вершины параболы совпадает с серединой отрезка, а значение квадратного трёхчлена на границах отрезка равно  произведению модуля старшего коэффициента на одну восьмую квадрата длины отрезка (свойство 2), составим и решим систему уравнений.

Подсчитаем параметры a и b для конкретных значений m и n.  

Ответ:  

Сформулируем обратную задачу.

Найдите наименьшее значение выражения  на отрезке

По второму свойству .

Найдём наименьшее значение выражения для конкретных значений a, n и m.

Ответ: наименьшее значение выражения равно 1.

Задача 2.

    Какое наибольшее значение может принимать параметр a, если известно, что  при ?

   Решим эту задачу методом трёх точек.

Так как первое и третье неравенства выполнятся при любых значениях a, решение системы сводится к решению второго неравенства.

;

Наибольшее значение параметра a равно 8.

Ответ: наибольшее значение a равно 8.

Задача 3.

   Функция  такова, что . Найдите значения c и d, при которых множество значений функции  на отрезке [-1;1] будет наименьшим; укажите это множество.

   Решим задачу три традиционным способом.

   Найдём абсциссу вершины параболы.

Поскольку наименьшее колебание достигается при наибольшем приближении абсциссы вершины параболы к  середине отрезка, справедливы  следующие равенства.

1)                                                            2)

f(m)=f(n)

;

1);                                                2);

Найдём колебание функции.                          

 – наибольшее значение на отрезке.

Наименьшее значение функции равно 0.  

Значит, множество значений заданной функции есть отрезок [0;2].