Решеие уравнений. Проект

Муниципальное образовательное учреждение «Красносельская средняя общеобразовательная школа Быковского муниципального района Волгоградской области

Проект:

«Решение уравнений»

Основополагающий вопрос: Зачем нужно изучать уравнения?

Проблемные вопросы: как решить уравнения: 4х – 8 = 6 - 3х ,  (х - 3) : 4 = 6 и дробными коэффициентами?

Цель проекта:

развитие исследовательской компетентности учащихся посредством освоения ими новых знаний по теме «Уравнения.

Задачи проекта:

1. формирование способности творчески, логически мыслить, последовательно рассуждать и представлять конечный результат;
2. формирование социальной  и предметной компетентности;
3. формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом;
4. формирование умения работать в команде и навыков общения;
5. эффективно использовать знания в реальной жизни.

План работы над проектом:

1. Формулирование темы проекта.
2. Подбор и изучение основных источников потеме.
3. Составление библиографии (литературы).
4. Обработка и систематизация информации.
5. Разработка плана проекта.
6. Оформление  проекта.
7. Публичное выступлению учащихся с результатом исследования (защита проекта).

Введение.

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Актуальность: чтобы перейти к исследованию данной темы, нам необходимо было ответить на вопрос «Зачем нужно изучать уравнения?» и познакомить учащихся 6 класса с новой темой - перенос слагаемых из одной части уравнения в другую и свойства уравнений. Этот материал в курсе математики -6 рассматривается позже (апрель).

Проблема: углубить представления об уравнениях. Ответиь на вопрос: «Как решить уравнения: 4х – 8 = 6 - 3х ,  (х - 3) : 4 = 6 и дробными коэффициентами?» Показать  где, когда и какие уравнения приходится решать современному человеку.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал и изучить новый. В проект включены уравнения с переносом слагаемых из одной части уравнения в другую и с применением свойства уравнений, так же задачи, решаемые уравнением и дополнительный материал.

Математика... выявляет порядок,

симметрию и определенность,

а это – важнейшие виды прекрасного.

Аристотель.

Историческая справка

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

            Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Итак, что такое уравнение?

Существуют уравнение в правах, уравнение времени (перевод истинного солнечного времени в среднее солнечное время, принятое в общежитии и в науке; астр.) и т.д..

В математике – это математическое равенство, содержащее одну или несколько неизвестных величин и сохраняющее свою силу только при определенных значениях этих неизвестных величин.

В уравнениях с одной переменной  неизвестное обычно обозначают буквой «х».

Уравнения бывают разных видов:

ax + b = 0. - Линейное уравнение.
ax2 + bx + c = 0. - Квадратное уравнение.
ax3 + bx2 + cx + d = 0. - Кубическое уравнение.
ax4 + bx2 + c = 0. - Биквадратное уравнение. 
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0. - Возвратное (алгебраическое) уравнение.
ax4 + bx3 + cx2 - bx + a = 0. - Модифицированное возвратное уравнение.
ab2x4 + bx3 + cx2 + dx + ad2 = 0. - Обобщенное возвратное уравнение.
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0. - Уравнение четвертой степени общего вида.
xn - a = 0. - Двучленное алгебраическое уравнение n-й степени.
ax2n + bxn + c = 0. - Особый случай уравнения 
aox2n + a1x2n?1 + a2x2n?2 + ... + a2x2 + a1x + a0 = 0. - Возвратное (алгебраическое) уравнение.
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0. - Алгебраическое уравнение n-й степени общего вида.

Существуют такие способы решения уравнений как: алгебраический, арифметический и геометрический. Рассмотрим алгебраический способ.

Решить уравнение - это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное равенство или доказать, что решений нет. Решение уравнений, пусть это и сложно, захватывает нас. Ведь это, действительно, удивительно, когда от одного неизвестного числа зависит целый поток чисел.

В уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходное выражение. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть выражения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными. Сейчас мы с вами рассмотрим решение уравнения

(х - 3) : 4 = 6

х-3=6*4

х-3=24

х=24+3

х=27

Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство называется корнем уравнения.

Выполнив проверку получим:

(27-3):4=6

24 : 4 = 6

6 = 6

Значит 27 – корень уравнения.

Таким способом решают уравнения учащиеся до 6-ого класса. А в 6-ом классе они знакомятся с новым способом решения уравнений -  перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, при этом знак слагаемых меняется на противоположный и применют свойства уравнений – обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение.

(х - 3) : 4 = 6 – умножив на 4, получим

х – 3 = 24

х = 24 + 3

х = 27

Ответ: х = 27

- 40 *  (- 7х +5) = - 1600

(- 40 *  (- 7х +5)) : (- 40) = - 1600 : (- 40)

 - 7х + 5 = 40

 - 7х = 40 – 5

 - 7х = 35

 х = 35 : (- 7)

 х = - 5

Ответ: х = -5

Мир уравнений очень богат. При помощи них можно решить самые сложные задачи. Рассмотрим некоторые из них, которые можно применить на уроках математики или на занятиях математического кружка.

В данной задаче применяется свойство вычитания одного и того же выражения из двух частей уравнения. Получим, что масса арбуза равна 2 кг.

Во второй задаче применяем перенос слагаемых. Ответ: 60 л и 20 л молока.

Дополнительный материал.

С помощью уравнений в задачах мы находим связь между величинами, получаем опыт применения математики к решению практических задач.

Решении задач на проценты – в медицине, криминалистике, биохимии и т.д.

Бухгалтерские расчеты.

Решение уравнений применяется в строительстве (дороги, мосты и т.д.), архитектуре. При составлении прогноза погоды, геологии и т.д. В построении графика годового цикла состояния человека.

Математика в профессиях

Наука в школе есть одна.

Во всех профессиях нужна

Учителям, врачам и поварам.

Бухгалтерам, певцам и продавцам.

Всем математика важна.

Царица всех наук она.

Куда б не захотел пойти,

Профессию хорошую найти,

Сначала выучи таблицу,

Чтоб с губ слетала словно птица.

Нам всем зарплату получать,

А значит надо посчитать.

И, чтобы в жизни не страдать,

Задачи сложные решать.

Делить все беды пополам,

И всем прибавить счастья вам.

И приумножить капитал.

Чтоб мир везде спокойным стал.

И пусть пора сейчас настала,

Компьютер знает наш немало.

Но, если сам всё будешь знать,

Успешным в жизни можешь стать.         (Бешенова Даша)

Уравнение – это не только сухой математический термин, это язык алгебры!

«Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», - писал великий И. Ньютон в своем учебнике алгебры, который называется «Всеобщая арифметика». Под алгебраическим языком понимают язык уравнений и неравенств. Большинство текстовых задач решается именно этим способом. Посмотрим на примере, как выполняется такой перевод с родного языка на алгебраический.  

Жизнь Диофанта.  

В III—IV веках нашей эры жил в городе Александрии знаменитый греческий матема¬тик Диофант. До нас дошли шесть из трина¬дцати книг «Арифметики», написанных Дио¬фантом. История сохранила нам мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице - надписи, составленной в форме математической задачи. Эта надпись дает возмож¬ность определить продолжительность жиз¬ни математика, которого позднее назвали «отцом греческой алгебры». Надпись эта в переводе, подражающем древним стихам, такова:  

Решив уравнение и найдя, что х=84, узнаем следующие черты биографии Диофанта; он женился в возрасте 21года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 году и умер достигнув возраста 84 лет. Но все-таки попробуйте проверить сами.

Решение уравнений – зачастую дело нетрудное; составление уравнений по данным задачи затрудняет больше. Искусство составлять уравнения действительно сводится к умению переводить «с родного языка» на «алгебраический».

При работе над проектом нами был составлен кроссворд на тему «Уравнение».

Выводы:

1. по окончании проекта мы систематизировали и обобщили изученные ранее способы решения уравнений,
2. познакомились с новым способом решения уравнений и свойствами уравнений,
3. узнали, что существуют не только линейные уравнения,
4. создали презентацию для урока математики по теме «Решение линейных уравнений» в 6 классе,
5. закрепили умение работать в команде и навыки общения.

Заключение

1. При работе над проектом мы узнали много нового и полезного из области математики.
2. Познакомились с биографией великих математиков.
3. Узнали о том, где применяется решение уравнений в жизни современного человека.

Список используемых ресурсов:

1. Б.В. Гнеденко «Математика в современном мире». Москва «Просвещение»  1980 г.

2. Я.И. Перельман «Занимательная алгебра». Москва «Наука» 1978 г.

3. Wikipedia.

4. www.proshkolu.ru.

5. www.1september.ru