Данная работа - исследовательский реферат, была представлена на научной практической конференции "Шаг в будущее" в г. Красноярске. Рекомендуется учителя для уроков геометрии по данной теме как пособие, а также для молодых педагогов, которые решили выполнять научные работы с учащимися. Здесь описаны все этапы этой деятельности: какие вопросы задавать, как ставить проблему, как искать ответы на вопросы, что значит исследование?
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 36.87 КБ |
Дистанционный тур краевого форума «Молодёжь и наука» | |
Полное название темы работы | Одинаковые периметры. Одинаковы ли площади? |
Название направлений | Математика |
Тип работы | Исследовательский реферат |
Возрастная номинация | 6-8 класс |
Фамилия имя автора | Котова Анастасия |
Территория | Село Тасеево |
Место учёбы | МОУ «Тасеевская средняя общеобразовательная школа №1» |
Класс | 8 |
Место выполнения | Дистанционная школа «Юный исследователь» |
Руководитель | Котова Елена Павловна, МОУ «Тасеевская средняя общеобразовательная школа № 1», учитель математики и информатики 83916422652 или 89607623454 |
Научный руководитель | Баженова Ксения Анатольевна, Институт педагогики, психологии и социологии СФУ, кафедра педагогики высшей школы, старший преподаватель, кандидат педагогических наук, 83912440750 |
Ответственный за корректуру текста работы | Котова Елена Павловна, МОУ «Тасеевская средняя общеобразовательная школа №1», учитель математики и информатики |
Контактный телефон | 83916422652 или 89658966514 |
Аннотация
Котова Анастасия
с.Тасеево, МОУ СОШ №1, 8 класс
«Одинаковые периметры. Одинаковы ли площади?»
руководитель: Котова Елена Павловна, учитель математики и информатики
научный руководитель: Баженова Ксения Анатольевна, институт педагогики, психологии и
социологии СФУ, кафедра педагогики высшей школы, старший преподаватель
Цель работы: установление взаимосвязи между линейными размерами и площадью у геометрических фигур, имеющих одинаковые периметры (на примере прямоугольников, треугольников).
Методы исследования: анализ первоисточников, сравнение результатов вычислений, анализ и обобщение данных. Основные результаты исследования: установлены и теоретически подтверждены 6 взаимосвязей между линейными размерами и площадью у прямоугольников и у треугольников, имеющих одинаковые периметры.
Оглавление
ГЛАВА 1. СРАВНЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ФИГУР С ЗАДАННЫМИ ПЕРИМЕТРАМИ 5
ГЛАВА 2 ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ РАЗМЕРАМИ И ПЛОЩАДЬЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР 8
ПРИЛОЖЕНИЕ. РЕШЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 13
ВВЕДЕНИЕ
В школьном курсе математики есть задачи на нахождение периметра и площади многоугольника. Но на практике человек чаще использует задачи на «оптимизацию» (от латинского слова optimum – «наилучший»)[4]. К примеру, нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 240 метров. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? Возник вопрос о сравнении периметра и площади, нахождения связи между ними. Подобные задачи я встречала на олимпиадах разного уровня, и они меня заинтересовали. Данная работа актуальна, так как имеет практическую направленность: получение дополнительных знаний для решения таких задач, приобретение навыков исследовательской работы (увидеть самой закономерности, сделать предположения и доказать их с помощью источников), а также овладение способами, подходами решения практических задач необходимо людям профессий, связанных со строительством (а это моя будущая профессия) и конструированием деталей, изготовлением ёмкостей, у которых аналогом периметра является линейные размеры граней.
Поэтому целью работы является установление взаимосвязи между линейными размерами (периметром) и площадью у прямоугольников и у треугольников соответственно, имеющих одинаковые периметры. Для достижения этой цели, ставлю следующие задачи:
1) Сравнить площади прямоугольников с периметрами: 2; 4; 6; 8; 10; 12;14;16.
2) Сравнить площади треугольников с периметрами 3; 6; 9; 12; 15.
3) Обобщить данные и обосновать утверждения о взаимосвязи между линейными размерами и площадью у прямоугольников и у треугольников соответственно, используя литературные источники.
4) Применить полученные знания при решении практических задач.
ГЛАВА 1. СРАВНЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ФИГУР С ЗАДАННЫМИ ПЕРИМЕТРАМИ
1.1 Прямоугольник
Проведём сравнение площадей прямоугольников с периметрами: 2; 4; 6; 8; 10; 12; 16.
Вычисления будем проводить по следующим формулам: Р = (a + b) ;
.
1.1) Пусть Р = 2, а = 0,5 и b = 0,5, то S = 0,25
1.2) Пусть Р = 2, а = 0,3 и b = 0,7, то S=0,21
1.3) Пусть Р = 2, а = 0,1 и b = 0,9, то S=0,09
1.4) Пусть Р = 2 , а = 0,2 и b = 0,8, то S=0,16
Замечаем, что прямоугольники, имеющие Р = 2, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет прямоугольник, у которого длина равна ширине, т.е. квадрат.
2.1) Пусть Р = 4, а = 1,5 и b = 0,5, то S = 0,75
2.2) Пусть Р = 4, а = 0,3 и b = 1,7, то S = 0,51
2.3) Пусть Р = 4, а = 0,2 и b = 1,8, то S = 0,36
2.4) Пусть Р = 4, а = 0,1 и b = 1,9, то S = 0,19
Замечаем, что прямоугольники, имеющие Р = 4, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет прямоугольник, у которого длина равна = ширине, т.е. квадрат.
3.1) Пусть Р = 6, а = 1,5 и b = 1,5, то S = 2,25
3.2) Пусть Р = 6, а = 1 и b = 2, то S = 2
3.3) Пусть Р = 6, а = 1,2 и b = 1,8, то S = 2,16
3.4) Пусть Р = 6, а = 2,5 и b = 0,5, то S = 1,25
Замечаем, что прямоугольники, имеющие Р = 6, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет прямоугольник, у которого длина равна ширине, т.е. квадрат.
4.1) Пусть Р = 8, а = 2,5 и b = 2, то S = 4
4.2) Пусть Р = 8, а = 2,6 и b = 1,4, то S = 3,64
4.3) Пусть Р = 8, а = 2,5 и b = 1,5, то S = 3,75
4.4) Пусть Р = 8, а = 2,7 и b = 1,3, то S = 3,51
Замечаем, что прямоугольники, имеющие Р = 8, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет прямоугольник, у которого длина равна ширине, т.е. квадрат.
5.1) Пусть Р = 10, а = 2,5 и b = 2,5, то S = 6,25
5.2) Пусть Р = 10, а = 2 и b = 3, то S = 6
5.3) Пусть Р = 10, а = 2,3 и b = 2,7, то S = 6,21
5.4) Пусть Р = 10, а = 2,6 и b = 2,4, то S = 6,24
Замечаем, что прямоугольники, имеющие Р = 10, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет прямоугольник, у которого длина равна ширине, т.е. квадрат.
6.1) Пусть Р = 12, а = 3 и b = 3, то S = 9
6.2) Пусть Р = 12, а = 1 и b = 5 , то S = 5
6.3) Пусть Р = 12, а = 2 и b = 4, то S = 8
6.4) Пусть Р = 12, а = 2,5 и b = 3,5, то S = 8,75
Замечаем, что прямоугольники, имеющие Р = 12, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет прямоугольник, у которого длина равна ширине, т.е. квадрат.
7.1) Пусть Р = 14, а = 3,5 и b = 3,5, то S = 12,25
7.2) Пусть Р = 14, а = 3 и b = 4, то S = 1
7.3) Пусть Р = 14, а = 2 и b = 5, то S = 10
7.4) Пусть Р = 14, а = 1 и b = 6, то S = 6
Замечаем, что прямоугольники, имеющие Р = 14, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет прямоугольник, у которого длина равна ширине, т.е. квадрат.
8.1) Пусть Р = 16, а = 4 и b = 4, то S = 16
8.2) Пусть Р = 16, а = 2 и b = 6, то S = 12
8.3) Пусть Р = 16, а = 3 и b = 5, то S = 15
8.4) Пусть Р = 16, а = 1 и b = 7, то S = 7
Замечаем, что прямоугольники, имеющие Р = 16, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет прямоугольник, у которого длина равна ширине, т.е. квадрат.
Выводы:
1) Прямоугольники, у которых одинаковые периметры, имеют разные площади.
2) Если дано множество прямоугольников с одинаковым периметром, то наибольшую площадь из них будет иметь квадрат
3) В ходе исследования «родилась» задача, обратная той, что заявлена в теме: если дано множество прямоугольников с одинаковой площадью, то какой из них будет иметь наибольший периметр?
4) Кроме этого заметила, что есть прямоугольник, у которого периметр равен площади, этот прямоугольник — квадрат со стороной 4 см. Возник вопрос: единственный ли это прямоугольник?
1.2 Треугольник
Теперь проведём сравнение площадей треугольников, имеющих одинаковые периметры:3; 6; 9; 12; 15. Вычисления будем проводить по следующим формулам:
Р = a + b + c ; ,где р – полупериметр ( формула Герона)[3]
Замечаем, что треугольники, имеющие Р = 3, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.
2.1) Пусть Р = 6, а = 2, b = 2, c = 2, то S ≈ 1,73;
2.2) Пусть Р = 6, а = 2, b = 1,5, c = 2,5, то S = 1,50;
2.3) Пусть Р = 6, а = 1,8, b = 1,9, c = 2,3, то S ≈ 1,66;
2.4) Пусть Р = 6, а = 1,7, b = 2,1, c = 2,2, то S ≈ 1,68;
Замечаем, что треугольники, имеющие Р = 6, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.
3.1) Пусть Р = 9, а = 3, b = 3, c = 3, то S ≈ 3,89;
3.2) Пусть Р = 9, а = 3, b = 2, c = 4, то S ≈ 2,91;
3.3) Пусть Р = 9, а = 3,5, b = 3,5, c = 2, то S ≈ 3,35;
3.4) Пусть Р = 9, а = 2,3, b = 4,1, c = 2,6, то S ≈ 2,74;
Замечаем, что треугольники, имеющие Р = 9, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.
4.1) Пусть Р = 12, а = 4, b = 4, c = 4, то S ≈ 6.92;
4.2) Пусть Р = 12, а = 3, b = 4, c = 5 , то S = 6,00;
4.3) Пусть Р = 12, а = 5, b = 5, c = 2, то S ≈ 4,90;
4.4) Пусть Р = 12, а = 3,5, b = 3,5, c = 5, то S ≈ 6,12;
Замечаем, что треугольники, имеющие Р = 12, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.
5.1) Пусть Р = 15, а = 5, b = 5, c = 5, то S ≈ 10,81;
5.2) Пусть Р = 15, а = 4, b = 6, c = 5, то S ≈ 9, 92;
5.3) Пусть Р = 15, а = 4, b = 4, c = 7, т то S ≈ 6,78;
5.4) Пусть Р = 15, а = 4,5, b = 5,5, c = 5, то S ≈ 10.61;
Замечаем, что треугольники, имеющие Р = 15, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.
Выводы:
1)Треугольники, у которых одинаковые периметры, имеют разные площади.
2)Если дано множество треугольников с одинаковым периметром, то наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.
3)Возник вопрос: есть ли треугольник, у которого периметр и площадь равны? Наблюдая за прямоугольниками, заметила, что есть прямоугольный треугольник с размерами а = 6, b = 8, с = 10, у которого Р=24, S=24. Единственный ли это треугольник?
ГЛАВА 2 ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ РАЗМЕРАМИ И ПЛОЩАДЬЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
2.1 Прямоугольник
Утверждение 1 Наибольшую площадь среди множества прямоугольников с равным периметром, имеет квадрат.
Доказательство:
Обозначим периметр прямоугольной фигуры через Р. Если взять квадрат с таким периметром, то каждая его сторона должна равняться Р/4. Докажем, что, укорачивая одну его сторону на какую-нибудь величину b при таком же удлинении смежной стороны, мы получим прямоугольник одинакового с ним периметра, но меньшей площади. Другими словами, докажем, что площадь (Р/4)2 квадрата больше площади (Р/4 - b)(Р/4+b):
(Р/4)2 >(Р/4 - b)(Р/4+b).к. правая сторона этого неравенства равна ((Р/4)2-b2), то всё выражение принимает вид
0 >- b2, или b2 > 0.
Из последнего неравенства следует, что квадрат всякого числа положительного или отрицательного, больше 0. Следовательно, справедливо и первоначальное неравенство, которое привело нас к этому.
Итак, квадрат имеет наибольшую площадь из всех прямоугольников с таким же периметром.[1]
Утверждение 2 Из всех прямоугольных фигур с одинаковыми площадями квадрат имеет наименьший периметр.
Доказательство:
Допустим, что это неверно и существует такой прямоугольник А, который при равной с квадратом В площади имеет периметр меньший, чем у него. Тогда, начертив квадрат С того же периметра, как у прямоугольника А, мы получим квадрат, имеющий большую площадь, чем у А, и, следовательно, большую, чем у квадрата В. Что же вышло? Что квадрат С имеет периметр меньший, чем квадрат В, а площадь большую, чем он. Это, очевидно, невозможно: раз сторона квадрата С меньше, чем сторона квадрата В, то и площадь должна быть меньше. Значит, нельзя было допустить существование прямоугольника А, который при одинаковой площади имеет периметр меньший, чем у квадрата. Другими словами, из всех прямоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет квадрат. [1]
Утверждение 3 Если дано множество прямоугольников с одинаковой площадью, то наибольший периметр будет иметь прямоугольник, которого ширина наименьшая, а длина наибольшая (или ширина наибольшая, а длина наименьшая)
Доказательство:
Обоснование данного утверждения следует из VI книги «Начала» Евклида. Предложение 16 из книги гласит: «Если четыре прямые пропорциональны, то прямоугольник, заключённый между крайними, равен прямоугольнику, заключённому между средними; и если прямоугольник, заключённый между крайними, равен прямоугольнику, заключённому между средними, то эти четыре прямые будут пропорциональны.»[2] Иначе можно переформулировать так: Если отношение длины 1-го прямоугольника к длине 2-го равно отношению ширины 2-го к ширине 1-го, то площади таких прямоугольников равны. Составим пропорцию , и по свойству пропорции получаем, что
. Теперь увеличивая длину прямоугольника и одновременно уменьшая ширину, получаем, что периметр прямоугольника увеличивается, что и требовалось доказать.
Задача: Стороны прямоугольника выражаются целыми числами. Какой длины должны они быть, чтобы периметр прямоугольника численно равнялся его площади?
Решение: Обозначив стороны прямоугольника через х и у, составляем уравнение:
2х+2у=ху, откуда х =2у/у-2.
Так как х и у должны быть положительными, то положительным должно быть и число у-2, т.е. у должно быть больше 2. Заметим теперь, что х=2у/(у-2)=(2(у-2)+4)/(у-2)=2+(4/(у-2)).
Так как х должно быть целым числом, то выражение 4/(у-2) должно быть целым числом. Но при у >2 это возможно лишь, если у равно 3, 4 или 6. Соответствующие значения х будут 6, 4, 3.Прямоугольник со сторонами 3 и 6, либо квадрат со стороной 4.
Таким образом, существует всего 2 прямоугольника с целочисленными размерами, у которых периметр равен площади: это прямоугольник со сторонами 3 и 6, либо квадрат со стороной 4.[1]
2.2 Треугольник
Утверждение 4 Среди множества треугольников с равными периметрами наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.
Доказательство:
Площадь S треугольника со сторонами а, b, с и периметром а + b + с = 2р:
( формула Герона)[3],
Так как левая и правая части неотрицательны, то возведём обе части в квадрат:
. Разделим обе части на р:
.
Площадь S треугольника будет наибольшей величиной тогда же, когда наибольшей величиной будет и её квадрат ,или выражение
, где р- полупериметр, есть, согласно условию, величина неизменная. Но так как обе части равенства получают наибольшее значение одновременно, то вопрос сводится к тому, при каком условии произведение
становится наибольшим? Заметив, что сумма этих множителей величина постоянная,
= 3р-(а+b+с) = 3р-2р = р, мы заключаем, что произведение их достигнет наибольшей величины тогда, когда множители станут равны, т.е. когда осуществится равенство
, откуда а = b= с. Итак, треугольник имеет при данном периметре наибольшую площадь тогда, когда стороны его равны между собой. То есть треугольник равносторонний.
Я заметила, что есть треугольник, у которого периметр равен площади – это прямоугольный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 (Р = 24, S = 24). Оказывается он не единственный.
Утверждение 5. Среди равносторонних треугольников существует такой треугольник, у которого периметр и площадь равны.
Доказательство:
Пусть Р=3а, S= (формула для нахождения площади равностороннего треугольника)[3]
Составим и решим уравнение: 3а =
12а - а2√3 = 0,
а(12-а√3) = 0,
а=0, 12-а√3 = 0,
а√3 = 12,
а = 4√3.
Таким образом Р=3*4√3=12√3, S=(4√3)2√3/4=12√3. Значит, равносторонний треугольник со стороной 4√3 имеет равные периметр и площадь.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Работа над данной темой была интересной и познавательной. Была в роли «первооткрывателя» утверждений. Я заново «проживала» этот путь, чтобы уметь творчески мыслить, учиться делать предположения и доказывать, анализируя содержание источников.
Самой трудной оказалась VI книга «Начала» Евклида, труден сам текст, его надо переводить на свой язык. Установила следующие взаимосвязи между линейными размерами и площадью у прямоугольников и у треугольников соответственно:
1.Наибольшую площадь среди множества прямоугольников с равным периметром, имеет квадрат.
2. Из всех прямоугольных фигур с одинаковыми площадями квадрат имеет наименьший периметр.
3. Если дано множество прямоугольников с одинаковой площадью, то наибольший периметр будет иметь прямоугольник, которого ширина наименьшая, а длина наибольшая(или ширина наибольшая, а длина наименьшая)
4. Существует всего 2 прямоугольника с целочисленными размерами, у которых периметр равен площади: это прямоугольник со сторонами 3 и 6, либо квадрат со стороной 4.
5. Среди множества треугольников с равными периметрами наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.
6. Среди равносторонних треугольников существует такой треугольник, у которого периметр и площадь равны, со стороной . Среди произвольных треугольников существует треугольник, у которого периметр и площадь равны, со сторонами 6,8 и 10.
В ходе исследования возникло ещё предположение: так как среди прямоугольников, наибольшую площадь имеет квадрат, а среди треугольников – равносторонний треугольник, а они, в свою очередь, являются правильными многоугольниками, то среди многоугольников с равными периметрами, наибольшую площадь имеет правильный многоугольник. И ещё появился вопрос: существует ли взаимосвязь между линейными размерами и такими величинами как объём и площадь в объёмных фигурах? Тогда продолжением работы может быть:
Есть квадратный участок и нужно на нём построить дома определённой формы (по площади и форме одинаковые). Определить максимальное количество домов, которые возможно разместить на этом участке. А это связано с моей будущей профессией.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Перельман Я.И. Занимательная математика. М.: АСТ, 2007 год, с.56,с.224,с.228.
2.Евклид, VI книга « Начала», М.–Л., ГТТИ, 1948 год, 448 с.
3. Никольский С.М. Школьная энциклопедия. Математика. М.: Дрофа, 1997 год, с.345
4. Мордкович А.Г. Учебник. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. М.: Мнемозина, 2000 год, с.189.
5. Мордкович А.Г. Задачник. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. М.: Мнемозина, 2000 год, с.150, с.153
ПРИЛОЖЕНИЕ. РЕШЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Задача 1.Периметр прямоугольника составляет 56см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь? [5]
Решение. Так как среди прямоугольников заданного периметра, наибольшую площадь имеет квадрат, то 56 : 4=14(м)-длина стороны квадрата.
Ответ: 14м., 14м.
Задача 2. Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 240 метров. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?[5]
Решение. Так как среди прямоугольников заданного периметра, наибольшую площадь имеет квадрат, то 240 : 4=80(см)-длина стороны квадрата.
Ответ: 80см., 80см.
Задача 3. Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объём 343м3. При каких размерах на его изготовление пойдёт наименьшее количество материала?[5]
Решение. V=abc.
Так как дно квадратное, то размеры дна будут составлять 7метров и 7метров, потому что квадрат имеет наименьший периметр и наибольшую площадь среди прямоугольников. Тогда высота тоже равна 7 метрам.
Проверка: 7*7*7=343(м)
Ответ: 7м., 7м., 7м.
Задача 4. Огораживают спортивную площадку прямоугольной формы, площадью 2500м2. Каковы должны быть её размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки «рабицы»?[5]
Решение. Так как из прямоугольников, имеющих одинаковые площади, наименьший периметр имеет квадрат, то а=√2500=50(м). Значит размеры должны составлять 50метров, 50метров.
Ответ: 50м., 50м.
В 10-м классе познакомимся с новым методом решения таких задач: с помощью производной и он технически сложнее, чем те подходы, которые я узнала сейчас.
Именинный пирог
Старинная английская баллада “Greensleeves” («Зеленые рукава»)
Весенняя гроза
По морям вокруг Земли
Сила слова