Одинаковые периметры. Одинаковы ли площади?

Аннотация

Котова Анастасия

с.Тасеево, МОУ СОШ №1, 8 класс

«Одинаковые периметры. Одинаковы ли площади?»

руководитель: Котова Елена Павловна, учитель математики и информатики

научный руководитель: Баженова Ксения Анатольевна, институт педагогики, психологии и

социологии СФУ, кафедра педагогики высшей школы, старший преподаватель

Цель работы: установление взаимосвязи между линейными размерами и площадью у геометрических фигур, имеющих одинаковые периметры (на примере прямоугольников, треугольников).

Методы исследования: анализ первоисточников, сравнение результатов вычислений, анализ и обобщение данных. Основные результаты исследования: установлены и теоретически подтверждены 6 взаимосвязей между линейными размерами и площадью у прямоугольников и у треугольников, имеющих одинаковые периметры.

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ        4

ГЛАВА 1. СРАВНЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ФИГУР С ЗАДАННЫМИ ПЕРИМЕТРАМИ        5

1.1 Прямоугольник        5

1.2 Треугольник        6

ГЛАВА 2 ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ РАЗМЕРАМИ И ПЛОЩАДЬЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР        8

2.1 Прямоугольник        8

2.2 Треугольник        9

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        11

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК        12

ПРИЛОЖЕНИЕ. РЕШЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ        13

ВВЕДЕНИЕ

В школьном курсе математики есть задачи на нахождение периметра и площади многоугольника. Но на практике человек чаще использует задачи на «оптимизацию» (от латинского слова optimum – «наилучший»)[4]. К примеру, нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 240 метров. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? Возник вопрос о сравнении периметра и площади, нахождения связи между ними. Подобные задачи я встречала на олимпиадах разного уровня, и они меня заинтересовали. Данная работа актуальна, так как имеет практическую направленность: получение дополнительных знаний для решения таких задач, приобретение навыков исследовательской работы (увидеть самой закономерности, сделать предположения и  доказать их с помощью источников), а также овладение способами, подходами решения практических задач необходимо людям профессий, связанных со строительством (а это моя будущая профессия) и конструированием деталей, изготовлением ёмкостей, у которых аналогом периметра является линейные размеры граней.

Поэтому целью работы является установление взаимосвязи между линейными размерами (периметром) и площадью у прямоугольников и у треугольников соответственно, имеющих одинаковые периметры. Для достижения этой цели, ставлю следующие задачи:

1) Сравнить площади прямоугольников с периметрами: 2; 4; 6; 8; 10; 12;14;16.

2) Сравнить площади треугольников с периметрами 3; 6; 9; 12; 15.

3) Обобщить данные и обосновать утверждения о взаимосвязи между линейными размерами и площадью у прямоугольников и у треугольников соответственно, используя литературные источники.

4) Применить полученные знания при решении практических задач.

ГЛАВА 1. СРАВНЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ФИГУР С ЗАДАННЫМИ ПЕРИМЕТРАМИ

1.1 Прямоугольник

Проведём сравнение площадей прямоугольников с периметрами: 2; 4; 6; 8; 10; 12; 16.

Вычисления будем проводить по следующим формулам: Р = (a + b) ; .

1.1) Пусть Р = 2, а = 0,5  и   b = 0,5,                        то S = 0,25

1.2) Пусть Р = 2, а = 0,3 и b = 0,7,                        то S=0,21

1.3) Пусть Р = 2, а = 0,1 и  b = 0,9,                        то S=0,09

1.4) Пусть Р = 2 , а = 0,2 и b = 0,8,                        то S=0,16

Замечаем, что прямоугольники, имеющие Р = 2, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет прямоугольник, у которого длина равна ширине, т.е. квадрат.

2.1) Пусть Р = 4, а = 1,5 и  b = 0,5,                        то S = 0,75

2.2) Пусть Р = 4, а = 0,3 и b = 1,7,                        то S = 0,51

2.3) Пусть Р = 4, а = 0,2 и  b = 1,8,                        то S = 0,36

2.4) Пусть Р = 4, а = 0,1 и b = 1,9,                        то S = 0,19

Замечаем, что прямоугольники, имеющие Р = 4, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет прямоугольник, у которого длина равна = ширине, т.е. квадрат.

3.1) Пусть Р = 6, а = 1,5 и b = 1,5,                        то S = 2,25

3.2) Пусть Р = 6, а = 1  и  b = 2,                        то S = 2

3.3) Пусть Р = 6, а = 1,2 и  b = 1,8,                        то S = 2,16

3.4) Пусть Р = 6, а = 2,5 и  b = 0,5,                        то S = 1,25

Замечаем, что прямоугольники, имеющие Р = 6, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет прямоугольник, у которого длина равна  ширине, т.е. квадрат.

4.1) Пусть Р = 8, а = 2,5 и   b = 2,                        то S = 4

4.2) Пусть Р = 8, а = 2,6 и b = 1,4,                        то S = 3,64

4.3) Пусть Р = 8, а = 2,5 и b =  1,5,                        то S = 3,75

4.4) Пусть Р = 8, а = 2,7 и  b = 1,3,                        то S = 3,51

Замечаем, что прямоугольники, имеющие Р = 8, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет прямоугольник, у которого длина равна ширине, т.е. квадрат.

5.1) Пусть Р = 10, а = 2,5 и  b = 2,5,                        то S = 6,25

5.2) Пусть Р = 10, а = 2 и    b = 3,                        то S = 6

5.3) Пусть Р = 10, а = 2,3 и  b = 2,7,                        то S = 6,21

5.4) Пусть Р = 10, а = 2,6 и  b = 2,4,                        то S = 6,24

Замечаем, что прямоугольники, имеющие Р = 10, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет прямоугольник, у которого длина равна ширине, т.е. квадрат.

6.1) Пусть Р = 12, а = 3 и     b = 3,                        то S = 9

6.2) Пусть Р = 12, а = 1 и    b = 5 ,                        то S = 5

6.3) Пусть Р = 12, а = 2 и     b = 4,                        то S = 8

6.4) Пусть Р = 12, а = 2,5 и b = 3,5,                        то S = 8,75

Замечаем, что прямоугольники, имеющие Р = 12, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет прямоугольник, у которого длина равна ширине, т.е. квадрат.

7.1) Пусть Р = 14, а = 3,5 и   b = 3,5,                        то S = 12,25

7.2) Пусть Р = 14, а = 3 и      b =  4,                        то S = 1

7.3) Пусть Р = 14, а = 2 и      b =  5,                        то S = 10

7.4) Пусть Р = 14, а = 1 и      b = 6,                        то S = 6

Замечаем, что прямоугольники, имеющие Р = 14, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет прямоугольник, у которого длина равна ширине, т.е. квадрат.

8.1) Пусть Р = 16, а = 4 и     b =  4,                        то S = 16

8.2) Пусть Р = 16, а = 2 и     b = 6,                        то S = 12

8.3) Пусть Р = 16, а = 3 и    b = 5,                        то S = 15

8.4) Пусть Р = 16, а = 1 и    b = 7,                        то S = 7

Замечаем, что прямоугольники, имеющие Р = 16, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет прямоугольник, у которого длина равна ширине, т.е. квадрат.

Выводы:

1) Прямоугольники, у которых одинаковые периметры, имеют разные площади.

2) Если дано множество прямоугольников с одинаковым периметром, то наибольшую площадь из них будет иметь квадрат

3) В ходе исследования «родилась» задача, обратная той, что заявлена в теме: если дано множество прямоугольников с одинаковой площадью, то какой из них будет иметь наибольший периметр?

4) Кроме этого заметила, что есть прямоугольник, у которого периметр  равен площади, этот прямоугольник — квадрат со стороной 4 см. Возник вопрос: единственный ли это прямоугольник?

1.2 Треугольник

Теперь проведём сравнение площадей треугольников, имеющих одинаковые периметры:3; 6; 9; 12; 15. Вычисления будем проводить по следующим формулам:

Р = a + b + c ; ,где р – полупериметр ( формула Герона)[3]

1. Пусть Р = 3, а = 1, b = 1, c = 1,                то S = 0,43;
2. Пусть Р = 3, а = 0,4,  b = 1,3, c = 1,3,        то S ≈ 0,26;
3. Пусть Р = 3,  а = 0,9,  b = 1,1, c = 1,        то S ≈ 0,42;
4. Пусть Р = 3, а = 0,7,  b = 1,4, c = 0,9,        то S = 0,27;

Замечаем, что треугольники, имеющие Р = 3, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

2.1) Пусть Р = 6, а = 2,  b = 2, c = 2,                        то S ≈ 1,73;

2.2) Пусть Р = 6, а = 2,  b = 1,5, c = 2,5,                то S = 1,50;

2.3) Пусть Р = 6, а = 1,8,  b = 1,9, c = 2,3,                то S ≈ 1,66;

2.4) Пусть Р = 6, а = 1,7,  b = 2,1, c = 2,2,                то S ≈ 1,68;

Замечаем, что треугольники, имеющие Р = 6, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

3.1) Пусть Р = 9, а = 3,  b = 3, c = 3,                        то S ≈ 3,89;

3.2) Пусть Р = 9, а = 3,  b = 2, c = 4,                        то S ≈ 2,91;

3.3) Пусть Р = 9, а = 3,5,  b = 3,5, c = 2,                то S ≈ 3,35;

3.4) Пусть Р = 9, а = 2,3,  b = 4,1, c = 2,6,                то S ≈ 2,74;

Замечаем, что треугольники, имеющие Р = 9, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

4.1) Пусть Р = 12,  а = 4,  b = 4, c = 4,                 то S ≈ 6.92;

4.2) Пусть Р = 12, а = 3,  b = 4, c = 5 ,                то S = 6,00;

4.3) Пусть Р = 12, а = 5,  b = 5, c = 2,                        то S ≈ 4,90;

4.4) Пусть Р = 12, а = 3,5,  b = 3,5, c = 5,                то S ≈ 6,12;

Замечаем, что треугольники, имеющие Р = 12, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

5.1) Пусть Р = 15, а = 5,  b = 5, c = 5,                        то S ≈ 10,81;

5.2) Пусть Р = 15, а = 4,  b = 6, c = 5,                        то S ≈ 9, 92;

5.3) Пусть Р = 15, а = 4,  b = 4, c = 7,                т        то S ≈ 6,78;

5.4) Пусть Р = 15, а = 4,5,  b = 5,5, c = 5,                то S ≈ 10.61;

Замечаем, что треугольники, имеющие Р = 15, имеют разные площади. Наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

Выводы:

1)Треугольники, у которых одинаковые периметры, имеют разные площади.

2)Если дано множество треугольников с одинаковым периметром, то наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

3)Возник вопрос: есть ли треугольник, у которого периметр и площадь равны? Наблюдая за прямоугольниками, заметила, что есть прямоугольный треугольник с размерами а = 6,  b = 8, с = 10, у которого Р=24, S=24. Единственный ли это треугольник?

ГЛАВА 2 ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ РАЗМЕРАМИ И ПЛОЩАДЬЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

2.1 Прямоугольник

Утверждение 1 Наибольшую площадь среди множества  прямоугольников с равным периметром, имеет квадрат.

Доказательство:

Обозначим периметр прямоугольной фигуры через Р. Если взять квадрат с таким периметром, то каждая его сторона должна равняться Р/4. Докажем, что, укорачивая одну его сторону на какую-нибудь величину b при таком же удлинении смежной стороны, мы получим прямоугольник одинакового с ним периметра, но меньшей площади. Другими словами, докажем, что площадь (Р/4)2 квадрата больше площади (Р/4 - b)(Р/4+b):

(Р/4)2 >(Р/4 - b)(Р/4+b).к. правая сторона этого неравенства равна ((Р/4)2-b2), то всё выражение принимает вид

0 >- b2, или b2 > 0.

Из последнего неравенства следует, что квадрат всякого числа положительного или отрицательного, больше 0. Следовательно, справедливо и первоначальное неравенство, которое привело нас к этому.

Итак, квадрат имеет наибольшую площадь из всех прямоугольников с таким же периметром.[1]

Утверждение 2 Из всех прямоугольных фигур с одинаковыми площадями квадрат имеет наименьший периметр.

Доказательство:

Допустим, что это неверно и существует такой прямоугольник А, который при равной с квадратом В площади имеет периметр меньший, чем у него. Тогда, начертив квадрат С того же периметра, как у прямоугольника А, мы получим квадрат, имеющий большую площадь, чем у А, и, следовательно, большую, чем у квадрата В. Что же вышло? Что квадрат С имеет периметр меньший, чем квадрат В, а площадь большую, чем он. Это, очевидно, невозможно: раз сторона квадрата С меньше, чем сторона квадрата В, то и площадь должна быть меньше. Значит, нельзя было допустить существование прямоугольника А, который при одинаковой площади имеет периметр меньший, чем у квадрата. Другими словами, из всех прямоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет квадрат. [1]

Утверждение 3 Если дано множество прямоугольников с одинаковой площадью, то наибольший периметр будет иметь прямоугольник, которого ширина наименьшая, а длина наибольшая (или ширина наибольшая, а длина наименьшая)

Доказательство:

Обоснование данного утверждения следует из VI книги «Начала» Евклида. Предложение 16 из книги гласит: «Если четыре прямые пропорциональны, то прямоугольник, заключённый между крайними, равен прямоугольнику, заключённому между средними; и если прямоугольник, заключённый между крайними, равен прямоугольнику, заключённому между средними, то эти четыре прямые будут пропорциональны.»[2] Иначе можно переформулировать так: Если отношение длины 1-го прямоугольника к длине 2-го равно отношению ширины 2-го к ширине 1-го, то площади таких прямоугольников равны. Составим пропорцию , и по свойству пропорции получаем, что . Теперь увеличивая длину прямоугольника и одновременно уменьшая ширину, получаем, что периметр прямоугольника увеличивается, что и требовалось доказать.

 Задача: Стороны прямоугольника выражаются целыми числами. Какой длины должны они быть, чтобы периметр прямоугольника численно равнялся его площади?

Решение: Обозначив стороны прямоугольника через х и у, составляем уравнение:

2х+2у=ху, откуда х =2у/у-2.

Так как х и у должны быть положительными, то положительным должно быть и число у-2, т.е. у должно быть больше 2. Заметим теперь, что х=2у/(у-2)=(2(у-2)+4)/(у-2)=2+(4/(у-2)).

Так как х должно быть целым числом, то выражение 4/(у-2) должно быть целым числом. Но при у >2 это возможно лишь, если у равно 3, 4 или 6. Соответствующие значения х будут 6, 4, 3.Прямоугольник со сторонами 3 и 6, либо квадрат со стороной 4.

Таким образом, существует всего 2 прямоугольника с целочисленными размерами, у которых периметр равен площади:  это прямоугольник со сторонами 3 и 6, либо квадрат со стороной 4.[1]

2.2 Треугольник

Утверждение 4 Среди множества треугольников с равными периметрами наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

Доказательство:

Площадь S треугольника со сторонами а, b, с и периметром а + b + с = 2р:

 ( формула Герона)[3],        

Так как левая и правая части неотрицательны, то возведём обе части в квадрат:

. Разделим обе части на р: .

Площадь S треугольника будет наибольшей величиной тогда же, когда наибольшей величиной будет и её квадрат ,или выражение, где р- полупериметр, есть, согласно условию, величина неизменная. Но так как обе части равенства получают наибольшее значение одновременно, то вопрос сводится к тому, при каком условии произведение становится наибольшим? Заметив, что сумма этих множителей величина постоянная,  = 3р-(а+b+с) = 3р-2р = р, мы заключаем, что произведение их достигнет наибольшей величины тогда, когда множители станут равны, т.е. когда осуществится равенство  , откуда а =  b= с. Итак, треугольник имеет при данном периметре наибольшую площадь тогда, когда стороны его равны между собой. То есть треугольник равносторонний.

Я заметила, что есть треугольник, у которого периметр равен площади – это прямоугольный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 (Р = 24, S = 24). Оказывается он не единственный.

Утверждение 5. Среди равносторонних треугольников существует такой треугольник, у которого периметр и площадь равны.

Доказательство:

Пусть Р=3а, S= (формула для нахождения площади равностороннего треугольника)[3]

Составим и решим  уравнение: 3а =

12а - а2√3 = 0,

а(12-а√3) = 0,

а=0,        12-а√3 = 0,

а√3 = 12,

а = 4√3.

Таким образом Р=3*4√3=12√3, S=(4√3)2√3/4=12√3. Значит, равносторонний треугольник со стороной 4√3 имеет равные периметр и площадь.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа над данной темой была интересной и познавательной. Была в роли «первооткрывателя» утверждений. Я заново «проживала» этот путь, чтобы уметь творчески мыслить, учиться делать предположения и доказывать, анализируя содержание источников.

Самой трудной оказалась  VI книга «Начала» Евклида, труден сам текст, его надо переводить на свой язык. Установила следующие взаимосвязи между линейными размерами и площадью у прямоугольников и у треугольников соответственно:

1.Наибольшую площадь среди множества  прямоугольников с равным периметром, имеет квадрат.

2. Из всех прямоугольных фигур с одинаковыми площадями квадрат имеет наименьший периметр.

3. Если дано множество прямоугольников с одинаковой площадью, то наибольший периметр будет иметь прямоугольник, которого ширина наименьшая, а длина наибольшая(или ширина наибольшая, а длина наименьшая)

4. Существует всего 2 прямоугольника с целочисленными размерами, у которых периметр равен площади:  это прямоугольник со сторонами 3 и 6, либо квадрат со стороной 4.

5. Среди множества треугольников с равными периметрами наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

6. Среди равносторонних треугольников существует такой треугольник, у которого периметр и площадь равны, со стороной . Среди произвольных треугольников существует треугольник, у которого периметр и площадь равны, со сторонами 6,8 и 10.

В ходе исследования возникло ещё предположение: так как среди прямоугольников, наибольшую площадь имеет квадрат, а среди треугольников – равносторонний треугольник, а они, в свою очередь, являются правильными многоугольниками, то среди многоугольников с равными периметрами, наибольшую площадь имеет правильный многоугольник. И ещё появился вопрос: существует ли взаимосвязь между линейными размерами и такими величинами как объём и площадь в объёмных фигурах? Тогда продолжением работы может быть:

1. установление соответствия площади и периметра в других плоских фигурах;
2. установление соответствия между линейными размерами, объёмом и площадью в объёмных фигурах;
3. применение полученных знаний в решении таких задач (об оптимальном раскрое):

Есть квадратный участок и нужно на нём построить дома определённой формы (по площади и форме одинаковые). Определить максимальное количество домов, которые возможно разместить на этом участке. А это связано с моей будущей профессией.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Перельман Я.И. Занимательная математика. М.: АСТ, 2007 год, с.56,с.224,с.228.

2.Евклид, VI книга « Начала», М.–Л., ГТТИ, 1948 год, 448 с.

3. Никольский С.М. Школьная энциклопедия. Математика. М.: Дрофа, 1997 год, с.345

4. Мордкович А.Г. Учебник. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. М.: Мнемозина, 2000 год, с.189.

5. Мордкович А.Г. Задачник. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. М.: Мнемозина, 2000 год, с.150, с.153

ПРИЛОЖЕНИЕ. РЕШЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Задача 1.Периметр прямоугольника составляет 56см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь? [5]

Решение. Так как среди прямоугольников заданного периметра, наибольшую площадь имеет квадрат, то 56 : 4=14(м)-длина стороны квадрата.

Ответ: 14м., 14м.

Задача 2. Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 240 метров. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?[5]

Решение. Так как среди прямоугольников заданного периметра, наибольшую площадь имеет квадрат, то 240 : 4=80(см)-длина стороны квадрата.

Ответ: 80см., 80см.

Задача 3. Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объём 343м3. При каких размерах на его изготовление пойдёт наименьшее количество материала?[5]

Решение. V=abc.

Так как дно квадратное, то размеры дна будут составлять 7метров и 7метров, потому что квадрат имеет наименьший периметр и наибольшую площадь среди прямоугольников. Тогда высота тоже равна 7 метрам.

Проверка: 7*7*7=343(м)

Ответ: 7м., 7м., 7м.

Задача 4. Огораживают спортивную площадку прямоугольной формы, площадью 2500м2. Каковы должны быть её размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки «рабицы»?[5]

Решение. Так как из прямоугольников, имеющих одинаковые площади, наименьший периметр имеет квадрат, то а=√2500=50(м). Значит размеры должны составлять 50метров, 50метров.

Ответ: 50м., 50м.

В 10-м классе познакомимся с новым методом решения таких задач: с помощью производной и он технически сложнее, чем те подходы, которые я узнала сейчас.