Построение графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ, АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ КОТОРЫХ СОДЕРЖИТ ЗНАК АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Мухаматдинова Динара Рамзиевна,

МОУДОД Центр внешкольной работы Агрызского муниципального района РТ, Кучуковская СОШ

ученик 10 класса.

Научный руководитель:

Бурганиева А.Р., учитель математики высшей категории Кучуковской СОШ Агрызского муниципального района РТ

 Оглавление.

I. Введение------------------------------------------------------------------------------3

II. Основная часть.-------------------------------------------------------------------4-15

    1. Историческая справка-------------------------------------------------------   -4

    2.  Геометрическая интерпретация понятия |а|---------------------------- - -5

    3.  График функции у=f |(х)|-----------------------------------------------------5-8

    4. График функции у = | f (х)|  --------------------------------------------------9-11

    5. График функции  у=|f |(х)| | -- ---- ------------------------------------------11-14

III. Заключение.---------------------------------------------------------------------- 14-15

IV. Список литературы ---------------------------------------------------------------15

Цель и задачи работы: изучить соответствующие теоретические материалы, выявить алгоритм построения графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

Объект исследования: функции, содержащие знак абсолютной величины.

Предмет исследования: закономерность  графиков функции у = f |(х)|,

у = | f (х)|, у = | f |(х)| |.

Методы исследования: решение примеров на построения графиков, сравнение, анализ, обобщение.

I. Введение.

Построение графиков функций одна из интереснейших тем в школьной математике. Один из крупнейших математиков нашего времени Израиль Моисеевич Гельфанд писал: «Процесс построения графиков является способом превращения формул и описаний в геометрические образы. Это – построение графиков – является средством увидеть формулы и функции и проследить, каким образом эти функции меняются. Например, если написано y=x2, то Вы сразу видите параболу; если y=x2-4, Вы видите параболу, опущенную на четыре единицы; если же y=4-x2, то Вы видите предыдущую параболу, перевернутую вниз. Такое умение видеть сразу и формулу, и ее геометрическую интерпретацию – является важным не только для изучения математики, но и для других предметов. Это умение, которое остается с Вами на всю жизнь, подобно умению ездить на велосипеде, печатать на машинке или водить машину».

 Хотя уравнения с модулями мы начали изучать  уже с 6-го – 7-го класса, где мы проходили самые азы уравнений с модулями. Я выбрал именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования. Я хочу получить более широкие знания о модуле числа, различных способах построения графиков, содержащих знак абсолютной величины.

   Цель работы: изучить соответствующие теоретические материалы, выявить алгоритм построения графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины. 

Объект исследования: линейные функции, квадратичные и кубические функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

 Методы исследования: решение примеров на построения графиков, сравнение, анализ, обобщение.

II. Основная часть.

1.  Историческая справка.

         В первой половине XVII века начинает складываться представление о функции как о зависимости одной переменной величины  от другой. Так, французские математики Пьер Ферма(1601-1665) и Рене Декарт (1596-1650) представляли себе функцию как зависимость ординаты точки кривой от её абсциссы. А английский ученый Исаак Ньютон(1643-1727) понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки.

         Термин "функция" (от латинского function – исполнение , совершение) впервые ввел немецкий математик Готфрид Лейбниц(1646-1716). У него функция связывалась с геометрическим образом (графиком функции). В дальнейшем швейцарский математик Иоганн Бернулли(1667-1748) и член Петербургской Академии наук знаменитый математик XVIII века Леонард Эйлер(1707-1783) рассматривали функцию как аналитическое выражение. У Эйлера имеется и общее понимание функции как зависимости одной переменной величины от другой.

            Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово(омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании  и других точных науках.

В архитектуре - это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного  архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике - это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п.

Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

      Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна  a, если a    больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля:

   Из определения следует, что для любого действительного числа a,

2. Геометрическая интерпретация понятия модуля |а|

Каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, это точка будет геометрическим изображением данного действительного числа. Каждой точке числовой прямой соответствует её расстояние от начало отсчета, или длина отрезка, начало которого в точке начала отсчета, а конец – в данной точке. Длина отрезка всегда рассматривается как величина неотрицательная.   Геометрической интерпретацией действительного числа служит вектор, выходящий из начала отсчета и имеющий конец в точке, изображающей данное число. Длина этого вектора будет геометрической интерпретацией модуля данного действительного числа.

                                   -а                                    0                                   а

                              3. График функции у=f |(х)|

у=f |(х)| - четная функция, т.к. | х | = | -х |, то f |-х| = f | х |

График этой функции симметричен относительно оси координат.

Следовательно, достаточно построить график функции у=f(х) для х>0,а затем достроить его левую часть, симметрично правой относительно оси координат.

у

Например, пусть графиком функции у=f(х) является кривая, изображенная на рис.1, тогда графиком функции у=f |(х)| будет кривая, изображенная на рис.2.

0

х

                                                                                      Рис.1          

0

у

х

                                                                                       Рис.2.

1. Построить график функции у= |х|

1. Если х≥0, то |х| =х  и наша функция у=х, т.е. искомый график совпадает с биссектрисой первого координатного угла.
2. Если х<0, то |х|= -х и у= -х. При отрицательных значениях аргумента х график данной функции – прямая у= -х, т.е. биссектриса второго координатного угла.

Таким образом, искомый график есть ломанная, составленная из двух полупрямых. (Рис.3)

Из сопоставления двух графиков: у=х и у= |х|, я сделаю  вывод, что второй получается из первого зеркальным отображением относительно ОХ той части первого графика, которая лежит под осью абсцисс. Это положение вытекает из определения абсолютной величины.

х

у

х

у

Рис 3.

Из сопоставления двух графиков:      у = х и у = -х, я выдвинула гипотезу, что график функции у = f(|х|)  получается из графика у = f (x) при х≥0

 симметричным отображением    относительно оси ОУ.  

Можно ли применять этот метод построения графиков для любой функции, содержащей абсолютную величину?    Для этого я рассмотрела несколько  функций, и сделала для себя выводы.

1. Построить график функции у=0,5 х² - 2|х| - 2,5

1) Поскольку |х| = х при х≥0, требуемый график совпадает с  параболой у=0,5 х² - 2х - 2,5 . Если х<0,  то поскольку х² =  |х| ², |х|=-х и  требуемый  график  совпадает с  параболой у=0,5 х² + 2х - 2,5.

  2) Если рассмотрим  график у=0,5 х² -2х - 2,5  при х≥0 и  отобразить его относительно  

 оси ОУ мы получим тот же  самый график.

Можно ли применять этот метод построения графиков дл квадратичной функции, для графиков обратной пропорциональности, содержащие абсолютную величину?  Для этого я рассмотрела несколько  функций, и сделала для себя вывод.

 2. Например: у=х2 - |х| -3

1) Поскольку |х| = х при х≥0, требуемый график совпадает с  параболой  у=0,25 х² - х - 3.    Если х<0, то поскольку х² =  |х|²,  |х|=-х  и  требуемый  график  совпадает с  параболой у=0,25 х² + х - 3.

  2) Если рассмотрим  график у=0,25 х² - х - 3 при х≥0 и  отобразить его относительно  оси ОУ мы получим тот же  самый график.

 (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ.

1. у =0,  х2 -х -3 = 0

                  х2 -4х -12 = 0  Имеем, х1= - 2; х2 = 6.

(-2; 0) и (6; 0) – координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Если х<0, ордината точки требуемого графика  такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной |х|. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4).

Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0.

б) Поэтому достраиваю для х<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ.

    0

6

-6

-3

х

у

Рис.4

Доказательство гипотезы:

Докажем, что график функции у = f |(х)| совпадает с графиком функции  у = f (х)  на множестве неотрицательных значений аргумента и  симметричен ему относительно оси ОУ на множестве отрицательных  значений аргумента.

       Доказательство: Если х≥0, то  f |(х)|= f (х), т.е. на множестве  неотрицательных значений аргумента графики функции    у = f (х) и  у = f |(х)|  совпадают. Так как у = f |(х)| - чётная функция, то её  график  симметричен относительно ОУ.

     Таким образом, график функции  у = f |(х)| можно получить из графика  функции

у = f (х)  следующим образом:

      1. построить график функции у = f(х) для х>0;

      2. Для х<0, симметрично отразить построенную часть относительно

 оси ОУ.

Вывод:  Для построения графика функции у = f |(х)|  

  1. построить график функции у = f(х) для х>0;

  2. Для х<0, симметрично отразить построенную часть

 относительно оси ОУ.                            

  4. График функции у = | f (х)|          

Построить график функции у = |х² - 2х|

Освободимся от знака модуля по определению

Если х² - 2х≥0, т.е.  если х≤0 и х≥2, то |х² - 2х|= х² - 2х

Если х² - 2х<0, т.е.  если    0<х< 2, то |х² - 2х|=- х² + 2х

   Я вижу, что на множестве х≤0 и х≥2 графики функции

 у = х² - 2х и у = |х² - 2х|совпадают, а на множестве (0;2)

 графики  функции у = -х² + 2х  и у = |х² - 2х|совпадают. Построю их.

Выдвижение гипотезы:

      График функции у = | f (х)| состоит из части графика функции  у = f(х) при у ≥0 и симметрично отражённой части   у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ.

Проверка гипотезы.

1. Построить график функции  у = |х² - х -6|

   1) Если х² - х -6≥0, т.е.  если х≤-2 и х≥3, то |х² - х -6|= х² - х -6.

       Если х² - х -6<0, т.е.  если    -2<х< 3, то |х² - х -6|= -х² + х +6.

       Построим их.

   2) Построим  у = х² - х -6 . Нижнюю часть графика

       симметрично отбражаем относительно ОХ.

   Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые.

Докажем, что график функции у = | f (х)|  совпадает с графиком функции  у = f (х) для f(х) >0  и  симметрично отражённой частью   у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ.

     Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий:

    у = f(х), если f(х) ≥0;           у  = - f(х), если f(х) <0

   Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, то

| f (х)|  = f(х), значит в этой части график  функции

у = | f (х)|  совпадает с графиком самой функции

у = f(х).

     Если же f(х) <0, то | f (х)| = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ «отрицательную» часть графика              у  = f(х).

Вывод: Гипотеза верна, действительно для построения графика функции

 у = |f(х) |  достаточно:

1.Построить график функции у = f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где

f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс.   (Рис.5)

0

6

-6

-2

3

х

у

Рис.5

Вывод: Для построения графика функции у=|f(х) |  

1.Построить график функции у=f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс.

(Рис.6, 7.)

у

х

Рис.6

  у

х

Рис.7

                              5. График функции  у=|f |(х)| |

Проверка истинности гипотез для графика функции у=|f |(х)| |

Применяя, определение абсолютной величины и  ранее рассмотренные примеры  построила графиков функции:

у = |2|х| - 3|

у = |х² – 5|х||

у = | |х³| - 2| и сделал выводы.

      Для того чтобы построить график функции у = | f |(х)| надо:

1. Строить график функции у = f(х) для х>0.

2. Строить вторую часть графика, т. е. построенный график симметрично отражать относительно ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки получившегося графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Построить график функции у = | 2|х | - 3|      (1-й способ по определению модуля)

1. Строю  у = 2|х | - 3 , для    2 |х| - 3 > 0 , |х |>1,5  т.е. х< -1,5 и  х>1,5

    а) у = 2х  - 3 , для х>0

    б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

2. Строю у = -2 |х| + 3 , для  2|х | - 3 < 0. т.е.  -1,5<х<1,5

   а)у = -2х  + 3 , для х>0

   б) для х<0, симметрично отражаем  построенную часть относительно оси ОУ.

у = | 2|х | - 3|

1) Строю  у = 2х-3, для х>0.  

2) Строю прямую, симметричную построенной относительно оси ОУ.

3) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаю симметрично относительно оси ОХ.

 Сравнивая оба графика, видим,  что они одинаковые.

0

у

х

-3/2

3/2

-3

3

Рис.8

2.

у = | х² – 5|х| |

1. Строю  у = х² – 5 |х|, для  х² – 5 |х|  > 0  т.е. х >5 и х<-5

        а) у = х² – 5 х , для х>0

        б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно    оси ОУ.

2. Строю у = - х² + 5 |х|  , для х² – 5 |х|  < 0. т.е.  -5≤х≤5

       а) у = - х² + 5 х , для х>0

 б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

у = | х² – 5|х| |

а) Строю график функции у = х² – 5 х     для  х>0.

б) Строю  часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые.  (Рис.9)

1

-1

-6

-6

0

5

5

Рис.9

3. у =| |х|³ - 2 |

1).   Строю  у = |х|³ - 2 , для |х|³ - 2   > 0, x>        и x< -

        а) у = х³ - 2 , для х>0

        б) для х<0, симметрично отражаю  построенную часть относительно    оси ОУ.

2). Строю у = - |х|³ + 2   , для |х|³ - 2   < 0. т.е. -       < x<

       а) у = -х³ + 2 , для х>0

       б) для х<0, симметрично отражаю  построенную часть относительно оси ОУ.

у = ||х|³ - 2 |

а) Строю у = х³ -2 для х > 0.

б) Строю  часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые.  (Рис.10)

-2

0

1

2

2

-2

у

х

Рис.10

III. Заключение.

При выполнении исследовательской  работы я делала такие выводы:

- сформировала алгоритмы построения графиков  функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

Алгоритм построения графика функции у=f |(х)|  

    1.Построить график функции у=f(х) для х>0;

2.Построить для х<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ.

Алгоритм построения графика функции у=|f(х) |  

1.Построить график функции у=f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, строить кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс.

Алгоритм построения графика функции у=|f |(х)|  |

1. Построить график функции у=f(х) для х>0.

2. Построить кривую графика, симметричную построенной относительно оси ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

   - приобрела опыт построения графиков таких функций, как:

                                у=f |(х)|; у = | f (х)|;  у=|f |(х)| |;

    - научилось работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор

       научных сведений;

   - приобрела опыт выполнения графических работ на компьютере.

Список литературы:

1. И. М.Гельфанд, Е.Г. Глаголева. Функции и графики. Издательство «Наука»
2. Р.А. Калнин. Алгебра и элементарные функции. Издательство «Наука»
3. М.К. Потапов, С.Н. Олехник. Конкурсные задачи по математики, Москва. «Наука»
4. Ю. Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дополнительные главы к школьному учебнику.

Москва, «Просвещение».