Министерство образования и науки Республики Бурятия

Комитет по образованию Администрации г. Улан-Удэ

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №37»

Научно-практическая конференция «Шаг в будущее»:

«Решение экономических задач методами математического моделирования и их применение в жизни »  

                                                               Выполнила:

                                                                                 Юзаю Ксения,

                                                                                 ученица 9 «а» класса

                                                                                Руководитель:

                                                                                Конева Галина Михайловна,

                                                                                    учитель математики,  

   «Отличник  просвещения РФ»,                      

                                                                                        Победитель Конкурса лучших учителей России(2009 г)

                                                          Улан-Удэ

2012

Рецензия.

Экономическое образование становиться особенно актуальным в наше время. Актуальность экономического образования и воспитания в наши дни обусловлена необходимостью адаптации выпускников школы к динамично изменяющимся социально-экономическим условиям жизни, повышенными требованиями к личностным качествам будущих кадров рыночной экономики - их активности, самостоятельности, компетентности, деловитости.

В школьном курсе математики рассматриваются задачи на нахождение максимума и минимума функции, но ни в одном учебнике нет и упоминания о том, что для этого могут быть применены методы линейного и динамического программирования. Таким образом, ученицей Юзаю Ксенией сделана попытка изучить и раскрыть один из разделов прикладной математики. Думаю, что учащимся средней школы полезно ознакомиться с методами математического программирования, создание которого связано с насущными потребностями планирования и организации производства.

Еще учась в школе, ученики должны понимать, что методы линейного и динамического программирования позволяют наиболее рациональным образом распределить ограниченные ресурсы, рассчитать максимальную выгоду или минимальные затраты. В своем докладе Ксения раскрыла некоторые методы математического моделирования при решении задач на нахождение оптимального (наилучшего) решения. Работая над докладом, она изучила и проанализировала  множество различных статей и докладов из Интернета, получила консультацию от ведущего экономиста авиакомпании «Бурятские авиалинии». Я считаю, что ученица проделала большую работу, и этот доклад будет интересен учащимся, увлекающимся математикой, будущим экономистам.

Учитель высшей категории: Конева Г.М.

                                                     План.

1. Раздел 1. Объяснительная записка.
2. Раздел 2. Введение. Историческая справка.
3. Раздел 3. Некоторые  экономические понятия и соотношения между ними.
4. Раздел 4. Метод динамического моделирования.

Задача 1. О наиболее выгодной аренде воздушного судна.

5. Раздел 5. Метод линейного моделирования.

Задача 1. Суть метода.

Задача 2. Получение максимального объема валовой продукции при оптимальном сочетании посевных площадей культур

Задача 3. О наиболее выгодном распределении материальных средств  при покупке определенного набора продуктов.

Задача 4. Определить план выпуска продукции на заводе, при котором будет достигнута максимальная прибыль.

Задача 5. Задача о теле- и радиорекламе.

6. Раздел 6. Заключение.
7. Раздел 7. Список использованной литературы и Интернет - ресурсов.

Раздел 1.

Объяснительная записка.

Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества пользуется разнообразными количественными характеристиками, а поэтому вобрала в себя большое число математических методов.

Актуальность данной темы состоит в том, что в современной экономике используются оптимизационные методы, которые составляют основу математического программирования

Целью данной работы является изучение некоторых оптимизационных методов, применяемых при решении экономических  задач.

Эта работа представляет собой попытку рассказать о некоторых, не изучаемых обычно в школьной программе, методах математического программирования. Многие задачи, с которыми приходится иметь дело в повседневной практике, являются многовариантными. Среди множества возможных вариантов в условиях рыночных отношений приходится отыскивать наилучшие варианты при ограничениях, налагаемых на природные, экономические и технологические возможности. В связи с этим возникла необходимость применять для анализа и синтеза экономических ситуаций и систем математические методы и современную вычислительную технику. Такие методы объединяются под общим названием – математическое моделирование.

Раздел 2.

Введение. Историческая справка.

 «Особенную важность имеют те методы      науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды».

П.Л.Чебышев

Методы математического моделирования связаны с насущными потребностями планирования и организации производства. Они позволяют наиболее рациональным образом распределить ограниченные ресурсы: будь то задача наилучшего использования ограниченных производственных ресурсов для выпуска определенного набора продуктов, так называемая задача планирования производства, или задача наиболее эффективного использования транспортных средств. При этом линейное программирование позволяет получать такое распределение точно, а не на «глазок». С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Технологи  стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции. Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей. Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т.д.  Итак, большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, т.е. оптимального решения поставленной задачи.

Как, располагая определенными ресурсами, добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени – так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества. А все эти вопросы - это элементы экономической грамотности

Методы линейного программирования были впервые предложены в СССР.

В 1939г. академик Леонид Витальевич Канторович опубликовал работу «Математические методы организации и планирования производства».

Предложенный в ней так называемый метод разрешающих множителей позволял находить решение таких технико-экономических вопросов, как наиболее рациональное распределение работ по механизмам, раскрой материала с минимальными отходами, распределение грузов по нескольким видам транспорта и т.д.

Через 20 лет (1959г.) вышла вторая книга Л.В.Канторовича – «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов». На идеях, изложенных в этой книге, создалось новое экономико-математическое направление в советской экономической науке, куда вошло математическое программирование. Он получил Нобелевскую премию за открытия, ставшие сегодня фундаментом математической экономики.

У истоков этого направления стояли также академик В.С.Немчинов и профессор В.В.Новожилов. Эти советские ученые за свои фундаментальные работы в области экономико-математических исследований были удостоены Ленинской премии.

Следует упомянуть и теорию оптимального управления техническими и производственными процессами. Понятие выпуклости играет важную роль в доказательстве одной из важнейших теорем этой теории – принципа максимума, который был установлен в середине 50-х гг. советскими математиками Л.С.Понтрягиным, В.Г.Болтянским и Р.В.Гамкрелидзе. На его основе рассчитываются оптимальные режимы управления техническими процессами – полетом ракет, разогревом заготовок в термических печах, работой двигателей подводных лодок и т.д.

Математическое программирование – область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т.е задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.

Функцию, экстремальное значение которой надо найти в условиях экономических возможностей, называют целевой, показателем эффективности или критерием оптимальности. Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Все это составляет математическую модель. Математическая модель задачи – это отражение оригинала в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т.д. Модель задачи математического программирования включает:

1. совокупность неизвестных величин, действуя на которые, систему можно совершенствовать. Их называют планом задачи.
2. целевую функцию. Целевая функция позволяет выбирать наилучший вариант из множества возможных вариантов. Наилучший вариант доставляет целевой функции экстремальное значение. Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства.

Один из разделов математического программирования – линейное программирование, т.е.  направление, занимающееся методами решения задачи о минимуме или максимуме линейных функций на выпуклых многогранниках (в многомерных пространствах). Линейным оно называется потому, что основывается на решении линейных уравнений. Неизвестные в них только первой степени; ни одно неизвестное не перемножается на другое неизвестное. Такие уравнения отражают зависимости, которые могут быть изображены на графике прямыми линиями.  Также эти методы состоят в нахождении максимума и минимума линейной функции от нескольких переменных при заданных дополнительно ограничениях для этих переменных. Методы линейного программирования широко применятся во всех отраслях народного хозяйства. Особенно широкое применение они получили при решении задач экономии ресурсов.

Несмотря на широту применения метода линейного программирования, он учитывает лишь три особенности экономических задач - большое количество переменных, ограниченность ресурсов и необходимость целевой функции. Конечно, многие задачи с другими особенностями можно свести к линейной оптимизации, но это не дает нам права упустить из виду другой хорошо разработанный метод математического моделирования - динамическое программирование. По сути, задача динамического программирования является описанием многошаговых процессов принятия решений. Задачу динамического программирования можно сформулировать следующим образом: имеется некоторое количество ресурса х, которое можно использовать N различными способами. Если обозначить через хi количество ресурса, используемое i-m способом, то каждому способу сопоставляется функция полезности (хi), выражающая доход от этого способа. Предполагается, что все доходы измеряются в одинаковых единицах и общий доход равен сумме доходов, полученных от использования каждого способа.

И теперь можно поставить задачу: найти общий доход от использования ресурсов всеми способами.

По сути, в динамическом моделировании используется следующий принцип: оптимальная стратегия обладает тем свойством, что по отношению к любому первоначальному состоянию после некоторого этапа решения совокупность последующих решений должна составлять оптимальную стратегию. Этот принцип оптимальности лежит в основе всей концепции динамического программирования. Именно благодаря ему удается при последующих переходах испытывать не все возможные варианты, а лишь оптимальные выходы. Таким образом, метод динамического программирования позволяет учесть такую важную особенность экономических задач, как детерминированность более поздних решений от более ранних.

Раздел 3.

Введем обозначения некоторых экономических понятий и соотношения между ними:

1. П. – Прибыль
2. R. – Рентабельность
3. З. – Затраты
4. n – количество продукции
5. М. – цена единицы продукции
6. С. – себестоимость единицы
7. П. = Мn – З.
8. С =        
9. R =  =   =    - 1=  – 1.

Из этой формулы делаем вывод:

1. если С. < M, то R. > 0, предприятие рентабельно.
2.  если С. = М, то R. = 0.

предприятие нерентабельно.

3.  если С. > М, то R. < 0, предприятие нерентабельно.

шлжжолдж

                                            Раздел 4.

            Метод динамического моделирования.

Задача 1. О наиболее выгодной аренде воздушного судна.

Авиакомпания планирует взять в аренду воздушное судно для перевозки пассажиров по маршруту «Улан-Удэ- Москва». Можно выбрать два типа самолетов: «ТУ-154» или «Боинг-737». По прогнозам цена на авиационное топливо измениться через полгода с 14000 рублей до 18000 тысяч за 1 тонну. Причем, антимонопольный комитет РФ не разрешает увеличивать стоимость пассажирских билетов. Минимальный срок аренды составляет полгода-24 недели. Интенсивность полетов – 1 раз в неделю. Экономистам авиакомпании необходимо рассчитать, какое воздушное судно взять в аренду и на какой срок, чтобы получить наибольшую прибыль. При расчетах использовать следующие данные:

Расходы авиакомпании включают в себя:

1. диспетчерское обслуживание
2. информационное обслуживание
3. брифинг экипажа
4. лидирование воздушного судна
5. оплата за использование взлетно-посадочной полосы, рулежной дорожки и места стоянки
6. техническое обслуживание самолета
7. обработка пассажиров
8. авиационная безопасность (осмотр самолета)
9. бортовое питание

Выполним расчеты.

1 полугодие

1. З=(500000+34∙14000)∙24=23424000(рублей)

М∙n=11000∙130∙24=34320000(рублей)

П= М∙n- З=34320000 – 23424000 =10896000(рублей)

С =  = = 7507(рублей)

R = = = 0, 47

2)З=(300000+18∙14000)∙24=13248000(рублей)

М∙n=10000 ∙100∙ 24 = 24000000(рублей)

П= М∙n- З= 24000000 – 13248000 =10752000(рублей)

С =  =  = 5520(рублей)

R = =  = 0,81

2 полугодие:

Расчеты для «Ту-154»:

З= (500000+18000∙34) ∙24=26688000(рублей)        

М∙n= 11000∙130∙24=34320000(рублей)

П=34320000 – 26688000=7632000(рублей)

С =  =  = 8553(рублей)

R = ==0, 29

Расчеты для «Боинг-737»:

З=(300000+18000∙18) ∙24=14976000(рублей)

М∙n=10000∙100∙24=24000000(рублей)

П=24000000 – 14976000=9024000(рублей)

С =  = =6240(рублей)

R = ==0, 60

Рассмотрим теперь 4 варианта аренды воздушного судна и произведем расчеты по максимуму прибыли:

Расчеты по максимуму прибыли:

1. (10896000 – 2500000)+(7632000 – 2500000)= 13528000
2. (10752000 – 3000000)+(9024000 – 3000000)= 13776000
3. (10896000 – 2500000)+ (9024000 – 3000000)= 16148000
4. (10752000 – 3000000)+ (7632000 – 2500000)= 12884000

   Вывод: Для получения наибольшей прибыли данной авиакомпании следует выбрать вариант №3 – на 1 полугодие взять в аренду самолет «ТУ- 154», а во 2 полугодии заменить его на «Боинг-737».

Раздел 5.  Метод линейного моделирования.

                                    Задача 1. Суть метода

Рассмотрим математическую суть метода линейного моделирования на примере:

Найти числа х1 и х2, которые удовлетворяют системе ограничений:

  2х1+5х2 ≤ 10

  2х1+х2  ≤ 6

  х1+х2 ≤ 3

  х1  ≥ 0, х2 ≥ 0 при которых функция F(х1;х2)=2х1+3х2 принимает максимальное значение.

Решение: Допустимым решением приведенной задачи называется пара чисел, удовлетворяющая всем ограничениям задачи. Оптимальным решением называется решение, при котором функция F принимает максимальное значение.

Построим область допустимых решений задачи.

Обозначим M1L график 2х1+5х2 ≤ 10.

Отрезком M2E график 2х1+х2 ≤ 6

       О          1                    Е              L

K

•

М2   

   М3

   М1

      1

х2

х1

Отрезком M3E график х1+х2 ≤ 3

Областью допустимых решений задачи является четырехугольник ОМ1КЕ. Нужно на этой области найти пару чисел х1 и х2, при которых функция F(х1;х2) принимает максимальное значение:

2х1+3х2=0

х2=-2/3х1   

Осуществим параллельный перенос этого графика вдоль оси ОХ2 вверх. Это будет равносильно увеличению значений выражения 2х1+3х2. Последней точкой, которая будет общей у переносимого графика и у четырехугольника ОМ1КЕ будет точка К, которая является точкой пересечения таких прямых, как:  

2х1+5х2 = 10 и х1+х2 = 3. Найдем координаты точки K, решив систему:

2х1+5х2=10                 2х1+5х2=10         3х2=4        х2=4/3          х2=4/3

х1+х2=3          •(-2)    -2х1-2х2=-6          х1+х2=3     х1=3 - 4/3    х1=5/3

Найдем теперь значение искомой функции: F (х1; х2) = 2•5/3 + 3•4/3 = 10/3 + 12/3 = 22/3

В практических задачах функция F называется целевой или производственной, а многоугольник типа ОМ1КЕ – многоугольником ограничений.

Задача 2.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть в колхозе требуется распределить

площадь пашни между двумя культурами с учетом ограничений, указанных в таблице.

Цель: Получить максимальную прибыль и  максимум рентабельности.

Даны ресурсы производства: 1) количество земли – 1800га; 2) тракторо-смен – 300; 3) человеко-дней – 8000; 4) потребность в культуре №1 – 10000ц; 5) в культуре №2 – 7500ц.

Задачу необходимо решить по оптимизации 2-х различных критериев, а именно: а) по максимуму прибыли; б) по максимуму рентабельности

Решение: Ограничение задачи имеет следующий вид:

1. х + у ≤ 1800 (ограничение по S)
2. 0,1х + 0,24у ≤ 300 (ограничение по тракторо-сменам)
3. 2х + 10у ≤ 8000 (ограничение по человеко-дням)
4. 10х ≤ 10000 (ограничение по потребности в 1-ой культуре)
5. 15у ≤ 7500 (ограничение по потребности во 2-ой культуре)

Кроме того, ясно, что х ≥ 0, у ≥ 0.

По формуле П = Мп – З получаем:

П = 6•10х + 8•15у – 50х – 80у.

П = 60х + 120у – 50х – 80у.

П = 10х + 40у.

П = 10(х + 4у).

Для рентабельности имеем формулу: R = П

                                                                З

=

=

R = 10(х + 4у)        10(х + 4у)         х +4у               50х + 80у        10(5х + 8у)        5х + 8у

=

Для прибыли с 1га имеем формулу p      10(х + 4у)                                                                         х +у

Построим многоугольник ограничений:

х + у ≤ 1800                           х + у ≤ 1800                  х + у ≤ 1800

0,1х + 0,24у ≤ 300                10х + 24у ≤ 30000         5х + 12у ≤ 15000

2х + 10у ≤ 8000                     х + 5у ≤ 4000                 х + 5у ≤ 4000            

10х ≥ 10000                           х ≥ 1000                         х ≥ 1000

15у ≥ 7500, х ≥ 0, у≥ 0          у ≥ 500, х ≥ 0, у≥ 0       у ≥ 500, х ≥ 0, у≥ 0

               у

     2400

     2000

     1600

     1200

800                                                                                    

   400                                                      

                     400      800     1200  1600  2000   2400  2800  3200  3600   4000     х

Вариант А:  Решение по максимуму прибыли.

П = 10(х + 4у);  х + 4у = max;   у = -1/4х

Если х = 800, то у = -200; если х = 1600, то у = -400.

Совершаем параллельный перенос прямой у = -1/4 х вдоль оси ОУ вверх до тех пор, пока она не выйдет из многоугольника ограничений. По рисунку видно, что решению соответствует точка Е. Точка Е является точкой пересечения прямых х + у = 1800 и х + 5у =4000.

Решим систему уравнений:   х + у = 1800       х = 1800 – у

                                                  х + 5у = 4000     1800 – у + 5у = 4000

х = 1800 – у        х = 1800 – у      х = 1250

4у = 2200            у = 550              у = 550

Вывод: Значит, чтобы получить максимальную прибыль, необходимо под культуру №1 занять 1250га, а под культуру №2 – 550га.

Вариант Б: решение по максимуму рентабельности.

=

R     х + 4у       R (5х + 8у) = х + 4у;    R•5х + R•8у = х + 4у;               5х + 8у

R•5х – х = 4у – R•8у;     х (5R – 1) = у( 4 – 8R);    у = х (5R – 1)

                                                                                           4 – 8R

или иначе, у = kx, где k = 5R – 1 

                                           4(1 – 2R)

Уравнение представляет собой уравнение пучка прямых, проходящих через начало координат.  

Увеличение k влечет за собой увеличение R. А так как нам нужно, чтобы R достигло наибольшего значения, то для этого достаточно поворачивать луч у = kx, выходящий из начала координат, против часовой стрелки до тех пор, пока он не выйдет за пределы «многоугольника ограничений». Решение (как мы видим по рисунку) в точке F.

Так как точка F является точкой пересечения прямых х = 1000 и х + 5у = 4000, то, решая систему уравнений, находим координаты точки

 х = 1000               х = 1000

х + 5у = 4000        у = 600

Ответ: х = 1000га, у = 600га.

                                                     Задача 3.

Применим метод линейного программирования при решении задачи  о наиболее выгодном распределении материальных средств  при покупке определенного набора продуктов.

Известно, что 1кг лимонов содержит 150мг витамина С, а 1кг яблок  - 75 мг витамина С.  Известно также, что человеку необходимо употреблять 75 мг витамина С  в сутки. Сколько апельсинов и сколько яблок следует включить в дневной рацион, чтобы при минимальных затратах в нем оказалось 75 мг витамина С, не менее 0,25кг апельсинов и не менее 0,25кг яблок, если 1кг апельсинов стоит 60р., а 1кг яблок – 40р.?

Ограничения имеют вид:

х ≥ 0,25                     х ≥ 0,25          х ≥ 0,25    

у ≥ 0,25                     у ≥ 0,25          у ≥ 0,25

150х + 75у = 75        2х + у = 1      у = -2х +1

Целевая функция: F (х, у) = 60х + 40у

Необходимо найти такие х и у, при которых целевая функция принимает минимальное значение. Построим область допустимых решений задачи:

Пусть 60х + 40у = 0; отсюда у = -6/4х

Построим график функции у = -6/4х и будем осуществлять параллельный перенос его вдоль оси ОУ вверх, т.е. это равносильно увеличению значений выражения 60х + 40у.

Чтобы целевая функция принимала минимальное значение, ее график должен пересечь отрезок М1М2  в точке М2. Она является точкой пересечения прямых у = 0,25 и у = -2х +1.

Решение системы уравнений:

у = 0,25           у = 0,25                  у = 0,25                  

у = -2х +1        -2х +1 = 0,25         х = 0,375

Далее находим:

F (х, у) = 60· 0,375 + 40·25 = 16,25р.

Итак, чтобы дневной рацион содержал 75мг витамина С и чтобы затраты при этом были минимальные, человеку необходимо ежедневно съедать 0,375кг апельсинов и 0,25кг яблок.

                                                      Задача 4

Для изготовления двух видов изделий Аи В завод расходует в качестве сырья сталь и цветные металлы, запас которых ограничен. На изготовление указанных изделий заняты токарные и фрезерные станки в количестве, указанном в таблице.

Необходимо определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль, если время работы фрезерных станков используется полностью.

Решение: Посмотрим математическую модель задачи. Обозначим через  х- число изделий вида А, а через у – число изделий вида В. На изготовление всей продукции уйдет (10 х +70у)кг стали и (20 х +50у) кг цветных металлов. Так как запасы стали не превышают 320 кг, а цветных металлов – 420 кг, то

10х +70у  320
20х + 50у ≤ 420

(300х +400у) ч – время обработки всех изделий на токарных станках:

300х + 400 ≤ 6200

Учитывая, что фрезерные станки используются максимально, имеем:

200х +100у = 3400

Итак, система ограничений этой задачи есть:

10х+70у≤320

20х+50у≤420

300х+400у≤6200

200х+100у=3400

х≥0,у≥0

Общая прибыль фабрики может быть выражена целевой функцией

F = 3х + 8у       (2)

Выразим у через x из уравнения 200х + 100у = 3400 и подставим полученное выражение вместо у в неравенства и целевую функцию:

Преобразуем систему ограничений (3):

Очевидно, что F =272 –3х принимает наибольшее значение, если х=16.

               F наиб = 272 – 13 ∙16 = 64 (тыс. руб.)

Вывод: х=16, y=2, прибыль – 64 тыс. руб.

Задача 5.

Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя местные радио- и телевизионную сети. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены величиной 1000$ в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в 5$, а каждая минута телерекламы - в 100$. Фирма хотела бы использовать радиосеть, по крайней мере, в два раза чаще, чем сеть телевидения, но при этом фирма решила, что время радиорекламы не должно превышать двух часов. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы. Определите оптимальное распределение финансовых средств, ежемесячно отпускаемых на рекламу, между радио- и телерекламой. 
Решение: Обозначим за Хт - количество финансовых средств, отпускаемых на телерекламу, а за Хр - количество финансовых средств, отпускаемых на радиорекламу. Сразу же можем записать одно ограничение на общее количество средств, отпускаемых на рекламу: 
 
Количество минут, используемых для рекламы на радио, будет вычисляться следующим образом: , а количество минут, используемых для рекламы на телевидении:  
Для простоты будем считать, что время на рекламу можно покупать посекундно. Условие использования радиосети по крайней мере в два раза чаще, чем сеть телевидения, запишется следующим ограничением: 
 
Решение о том, что время радиорекламы не должно превышать двух часов, запишется в виде: 
 
А теперь запишем целевую функцию. По условию задачи мы должны найти оптимальное значение распределения финансовых средств, чтобы эффективность от рекламы была максимальной. Если эффективность одной минуты радиорекламы обозначить за единицу, то эффективность одной минуты телерекламы будет равна двадцати пяти. Получим следующую функцию: 
 
Из условия задачи естественно вытекают ещё два ограничения: 
 
Сведем все ограничения и целевую функцию в одну систему: 
 

Решим систему графически:

Точка А соответствует максимальному значению целевой функции.  
Таким образом, получили, что на радиорекламу надо тратить 90,90$, а на телерекламу - 909,09$, что в минутах составляет на радио - 18,18 минуты, а на телевидении - 9,9 минуты.

Раздел 7.

Заключение.

В настоящее время получило всеобщее признание то, что успех развития многих областей науки и техники существенно зависит от развития многих направлений математики. Математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений и, в конечном счете, содействует повышению производительности труда и устойчивому поступательному развитию народного хозяйства. Использование экстремальных задач при изучении математики оправдано тем, что они с достаточной полнотой закладывают понимание того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучше. Решая задачи указанного типа, наблюдаем, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, а с другой – большую эффективную их применимость к решению жизненных практических задач. Экстремальные задачи помогают ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами школьного курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности.  Решение экстремальных задач способствует приобретению учащимися экономических знаний. По моему мнению, экономическое образование «своего рода средство социальной защиты», своеобразный компенсаторный механизм, увеличивающий шансы на выживание в условиях рыночной конкуренции. Экономическая подготовка - важный фактор повышения жизнеспособности, жизнестойкости в современном социуме (умение быть собранными, рассудительными, самостоятельными, уверенными в своих силах, терпимыми к иному мнению; привычка рассчитывать на себя, обдумывать любую хозяйственную проблему с позиции затрат и выгод). Работа над докладом помогла мне развить экономическое мышление, освоить некоторый понятийный аппарат, столь необходимый для ориентации в современном рыночном мире.

Список использованной литературы

1. Энциклопедия для детей. Т.11 Математика. Глав. ред. Э68 М.Д. Аксенова. - М.: Аванта+, 1999г. – 698с.
2. И.М.Шапиро. «Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики». – М.: Просвещение 1990г.
3. В.М.Петров, А.М.Яблонский П29 «Математика и социальные процессы». – М.: Знание, 1980г.
4. И.М.Яглом «конечная алгебра, конечная геометрия и коды». – М.: Знание, 1980г.
5. В.А.Добровольский «Основные задачи аналитической теории дифференциальных уравнений».
6. «Математика в школе», №3, 1989г.
7. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. «Высшая математика для экономистов»: Учеб. для ВУЗов/ - 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Юнити, 2000г.
8. Н.А.Терешин «Прикладная направленность школьного курса математики». – М.: Просвещение, 1990г.