Векторы вокруг нас

НАЦИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА
«ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНО-ТВОРЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ РОССИИ»

Конкурс исследовательских работ «ЮНОСТЬ, НАУКА, КУЛЬТУРА-СЕВЕР»

Секция: математика

Векторы вокруг нас

Неклюдова Юлия

СОШ №8, 11 класс, г. Елизово, Камчатский край  

Научный руководитель:

Голованева Любовь Викторовна

учитель математики, высшая квалификационная категория,

 почётный работник общего образования РФ,

 победитель конкурса лучших учителей РФ

г. Санкт-Петербург

2008-2009 учебный год

Содержание:

1. Введение        3
2. Векторы в предметах естественнонаучного цикла        5
3. Векторы вокруг нас        8
4. Векторы в знаках дорожного движения        9
5. Заключение        10
6. Список литературы        11
7. Приложение        12

Введение

        ХХI ВЕК – век новых технологий и я, уже нынешняя одиннадцатиклассница, продолжаю усердно «грызть» гранит науки.

        С темой «Вектор» я познакомилась на уроке математики в 8-ом классе. Особого интереса она у меня не вызвала, но без неё я не могла изучать раздел физики «Механика» в 9-ом классе. После предпрофиля в 9-ом классе я решила продолжить обучение в 10-ом классе естественнонаучного профиля, где встретилась с векторами не только на физике уже в теме «Электричество», но и на химии, биологии и опять на математике, но уже в пространстве. Тогда я решила посмотреть, в каких ещё областях знаний можно встретить это понятие и насколько оно актуально в жизни.

          Проект назвала «Векторы вокруг нас». Я работала по следующим направлениям:

1. «Векторы в предметах естественнонаучного цикла»
2. «Векторы вокруг нас»
3. «Векторы в знаках дорожного движения».

Я поставила перед собой цели:

1. Проследить важность понятия «Вектор» в предметах естественно-научного цикла
2. Рассмотреть при получении, каких специальностей будет происходить развитие понятия «вектор» в высшей школе.
3. Обратить внимание одноклассников и окружающих на векторы вокруг нас.

Внимательно изучив различные материалы из книг, поработав в Интернете, я узнала, что понятие «Вектор» - относительно новое математическое понятие и его изучает раздел математики «Векторное исчисление».

Векторное исчисление, математическая дисциплина, в которой изучают свойства операций над векторами евклидова пространства. При этом понятие вектора представляет собой математическую абстракцию величин, характеризующихся не только численным значением, но и направленностью (например, сила, ускорение, скорость).

        Я проделала эксперименты по химии, посетила строящийся мост через реку Авача, прошла с фотоаппаратом по магазинам и улицам г. Елизова, проехала по дорогам Елизовского района и, используя собственные наблюдения, я пришла к выводу, что понятия вектора очень распространены, и мы буквально сталкиваемся с ними на каждом шагу. Кроме того, мне предстоит продолжить их изучение в высших учебных заведениях (например, в векторной алгебре). В жизни векторы помогают найти нужный объект, сэкономить время, они даже выполняют предписывающую функцию (в знаках дорожного движения), тем самым, предотвращая аварии на дорогах и сохраняя жизни участников движения.  

        Меня заинтересовала книга «Правила дорожного движения», а если конкретно, то:

1. дорожные знаки и их значение;
2. пешеходные переходы и места остановок маршрутных транспортных средств;
3. обязанности пешеходов;
4. обязанности пассажиров;
5. дополнительные требования к движению велосипедистов, мопедов;
6. таблица штрафов;
7. оформление квитанции оплаты штрафов ГИБДД.

Векторы в предметах естественнонаучного цикла.

        Возникновение векторного исчисления тесно связано с потребностями механики и физики. До XIX в.  для задания векторов использовался лишь координатный способ, и операции над векторами сводились к операциям над их координатами. Лишь в середине XIX в. усилиями ряда учёных было создано векторное  исчисление,  в котором операции проводились непосредственно над векторами, без обращения к координатному способу задания.

         Сам термин «вектор» впервые появился в 1845 году у английского математика и астронома Уильяма Гамильтона. Основы векторного исчисления были заложены исследованиями английского математика У. Гамильтона и немецкого математика Г. Грассмана. Их идеи были использованы английским физиком Дж. К. Максвеллом в его работах по электричеству и магнетизму. Современный вид векторам  придал американский физик Дж. Гиббс (рис.1).

        Я учусь в классе естественнонаучного профиля, а значит, буду связывать свои профессии с химией, физикой, биологией. Поэтому, мне предстоит изучать математику и в высших учебных заведениях. Я побеседовала с выпускниками 2003 г. нашей школы, которые учатся в КамГТУ и КамГУ на физико-математическом факультете и факультете «управление и информатика в технических системах». И выяснила, что одним из многих предметов будет «Векторная алгебра», элементы которой я уже изучила в школьном курсе математики и использую в физике в разделе «Механика», «Электричество», химии при составлении реакций, биологии и др.

Направленным отрезком или вектором называется отрезок, для которого указано какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом. Направление вектора (от начала к концу) на рисунках отмечается стрелкой (рис.2). Длиной ненулевого вектора  называется длина отрезка .         В векторной алгебре важную роль играют линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на действительное число. Суммой  векторов  и  называют вектор, идущий из начала вектора  в конец вектора  при условии, что начало вектора  приложено к концу вектора  (рис. 2). Это правило используется нами при сложении сил в физике (векторных величин, рис.3).

        Применение векторной алгебры тесно связано с различными типами векторных произведений: скалярного, векторного и смешанного. Понятие скалярного произведения векторов применяется, например, в физике, при рассмотрении работы силы F на заданном пути S: работа равна |F||S|cosj, где j — угол между векторами F и S.  В механике, физике  широко используются понятия векторного поля. Примерами векторных полей могут служить также поле силы тяжести, магнитное и электрическое напряжение электромагнитного поля (рис.5).

        Векторы, изучаемые в математике, помогают мне в физике. Физические формулы, законы, чаще всего изображаются математическими знаками, в частности векторами. Любая сила, например F тяжести, раскладывается по векторам. Это необходимо при расчётах в строительстве различных сооружений, например в построении моста, через реку Авача в г. Елизово (рис.4,6). Так неправильные расчёты могут привести к трагедиям и многочисленным жертвам (рис.7). Разложение векторов применяют при расчётах летательных аппаратов, например вектор скорости для круговых орбит (рис.8), в навигации морского и воздушного флота (рис.9). Планирую вместе с классом в этом учебном году совершить экскурсию в аэропорт в аэронавигационную службу и посмотреть практическое применение векторов при расчётах полётов истребительных самолётов.

        Своё широкое применение векторы получили в химии. Например, рассмотрим электронное строение атома азота (рис.10,11). Каждый электрон имеет свою собственную характеристику – спин. Спин – собственный момент импульса электрона, не связанный с движением в пространстве. Спины электронов складываются как вектора. Сумма спинов данного числа электронов на подуровне должна быть максимальной. Если в квантовой ячейке находятся два спаренных электрона, то их изображают противоположно направленными векторами.

Векторная модель атома. Модель основана на рассмотрении векторного сложения   угловых моментов электронов в атоме. Силовой угловой момент имеет (2I+1)  различных компонентов (рис.23).

Обратимость реакции. Обратимыми называются  реакции, протекающие в двух взаимно противоположных направлениях. Такие реакции не доходят до конца и заканчиваются установлением химического равновесия, при котором скорости прямой и обратной реакций равны между собой.

Обратимые реакции не доходят до конца. Концентрации реагентов уменьшаются, что приводит к уменьшению скорости прямой реакции     . Скорость же обратной реакции     постоянно возрастает, поскольку увеличиваются концентрации продуктов. Когда скорости прямой и обратной реакции станут одинаковыми (          ), наступает состояние химического равновесия. Человек научился направлять обратимые химические реакции в нужную для себя сторону, используя действие таких факторов, как температура, давление, концентрация.

Диссоциация. Диссоциация – распад молекул на ионы. Ассоциация – соединение ионов в молекулу. 

HF         H+ + F-

Уравнения химических реакций в органической химии. В органической химии уравнения химических реакций записывают, использую вектор между левой частью уравнения и правой. Объяснение этому факту состоит в том, что большинство химических реакций между органическими веществами имеют несколько направлений течения. Могут образовываться различные продукты реакции при взаимодействии одних и тех же веществ, только количественное соотношение продуктов реакций различно, поэтому записывают то уравнение химической реакции, в котором продуктами реакции являются вещества, выход которых больше. Это и будет являться основным уравнением. Чтобы указать на существование побочных процессов, используют знак вектора.  

             CH3      CH2     CH2Cl    

CH3      CH     CH2 + HCl      

                                                  CH3     CHCl    CH3

Электролиз. Электролиз - это окислительно-восстановительный процесс, протекающий на электропроводах при прохождении электрического тока через расплав или раствор электролита.

NaCl

Катод        Na+        

Na+ + е = Na

Анод          Cl-

2Cl-- 2е = Cl2

Знаком вектора обозначается осадок, т.е. нерастворимое вещество, которое выпадает на дно сосуда, или газ, который уходит вверх, в атмосферный воздух (рис.12). Для проведения  опыта я взяла мелко измельченный мрамор и прилила соляную кислоту, происходит бурная реакция c выделением углекислого газа, описываемая уравнением

CaCO3+2HCl=CaCl2+CO2     +H2O

Второй опыт я провела, используя раствор сульфата меди и гидроксида натрия, в котором наблюдала выпадение голубого осадка гидроксида меди:

CuSO4+2NaOH=Cu(OH)2     +Na2SO4   (рис.13)

        Интересно, но понятие «вектор» встречается даже в биологии. И вы будете ещё больше удивлены, когда узнаете, что эти векторы изображены на рисунках (рис.14). Это вошь, клещ, крыса…

Вектором (в биологии) называется организм, переносящий паразита от одного организма-хозяина к другому. Например, вши переносят возбудителей сыпного тифа, крысы – чумы, а клещи являются переносчиками вируса, вызывающего энцефалит. Так эти заболевания являются очень опасными для человека, поэтому необходимо досконально изучить механизм их передачи во избежание заражения. Существует ещё одно значение слова «вектор» в биологии. На этот раз немножко коснёмся генной инженерии.

Вектор – это автономная молекула ДНК, используемая в генной инженерии, для переноса генов от организма-донора в организм-реципиент, а также для клонирования нуклеиновых последовательностей (клонирующий вектор).

        Вектором, например, является бактериальная плазмида. Плазмиды дают бактериям большие преимущества, например способность синтезировать вещества опасные для других бактерий – антибиотики, а так же быть устойчивыми к антибиотикам своих собратьев (рис.15). Эти свойства научился использовать в своей деятельности человек, но они так же могут и вредить ей. Например, был получен антибиотик против бактерии, вызывающей туберкулёз, но эта бактерия эволюционировала и приобрела к нему невосприимчивость. Поэтому необходимо снова искать средство, что бы справиться с этой болезнью. Человек создаёт также искусственные векторы.

С помощью векторов синтезируются различные лекарства и антибиотики. Синтезируются ферменты или даже целые каскады ферментов, необходимые человеку (например, инсулин). В генной инженерии существует такое молодое развивающееся направление, как генотерапия, где векторы позволяют исправлять генетические дефекты. Эти молекулы ДНК (векторы) используются также при создании трансгенных растений и животных (например, генетически модифицированные овцы продуцируют человеческий ген альфа 1-антитрипсина в молоке). Люди, наследующие два нефункционирующих гена этого белка, страдают болезнью, называемой альфа 1-антитрипсиновой недостаточностью. Она поражает легкие и иногда печень. Векторы применяются также при клонировании.

В обычном понимании клоном считается идентичная копия высшего организма. Молекулярные биологи, однако, клоном считают популяцию генетически идентичных организмов, клеток, вирусов или молекул ДНК. В генетической инженерии цель клонирования, как правило, - получение значительного количества копий специфического гена. Первый шаг на этом пути – создание библиотеки, для которого понадобятся векторы. Идеальный вектор для генетической инженерии должен иметь три характеристики:

1. Хороший потенциал клонирования. То есть должен давать большое количество реплик в хозяйской клетке.
2. Его геном должен иметь один сайт узнавания для каждого из многих ферментов рестрикции. Таким образом, чужой ген сможет встраиваться только в одну точку вектора.
3. он должен иметь полезную информацию в клетке, например нести ген устойчивости к антибиотику, чтобы можно было легко отличить клетки, несущие вектор, и выделить встроенный в него ген.

Векторы вокруг нас.

        С уверенностью можно сказать, что мало кто из людей задумывается о том, что векторы окружают нас повсюду и помогают нам в повседневной жизни. Я люблю свой город Елизово и часто гуляю по его улицам, хожу в магазины, посещаю театр, выставки, музеи и т. д.  Я обратила внимание, что векторы, помимо точных наук, встречаются мне каждый день. Так, например, во время прогулки в парке, я заметила, что ель, оказывается, можно рассматривать как  пример вектора в пространстве: нижняя её часть – начало вектора, а верхушка дерева является концом вектора (рис.16). А вывески с изображением вектора  при посещении больших магазинов помогают нам быстро найти тот или иной отдел и сэкономить время.   Но большинство векторов я встречаю на вывесках или баннерах на улицах. На баннере, например, можно увидеть преимущество того или иного банка (% кредита или накопительный) (рис.17). Вывески помогают мне найти местонахождение нужного магазина, службы или другого необходимого объекта (рис.18).

Векторы в знаках дорожного движения.

        Каждый день, выходя из дома, мы становимся участниками дорожного движения в роли пешехода либо в роли водителей (рис.19). В наше время практически каждая семья имеет машину, что, разумеется, не может не отразиться на безопасности всех участников дорожного движения. И, чтобы избежать казусов на дороге, стоит соблюдать все правила дорожного движения. Но не стоит забывать того, что в жизни всё взаимосвязано и, даже в простейших предписывающих знаках дорожного движения, мы видим указательные стрелки движения, в математике называемые – векторами. На примере знаков: 4.1.1 «Движение прямо», 4.1.2 «Движение направо», 4.1.3 «Движение налево», 4.1.4 «Движение прямо и налево» и другие (рис.20,21). Эти стрелки (векторы) указывают нам направления движения, стороны движения, стороны объезда, и ещё многое другое. Всю эту информацию можно прочитать на знаках дорожного движения на обочинах дорог. Не соблюдение этих правил и пренебрежение знаками приводит к необратимым последствиям (автокатастрофам), что, конечно же, не обходится без человеческих жертв, в том числе и детей (рис.22).

Заключение.

        Базовое понятие «вектор», рассмотренное на уроках математики, является основой для дальнейшего изучения в разделах общей химии, общей биологии, физики и других наук. Я наблюдаю необходимость векторов в жизни, которые помогают найти нужный объект, сэкономить время, они выполняют предписывающую функцию (в знаках дорожного движения),  и избежать опасных ситуаций на дороге. Призываю всех, серьёзно отнестись к правилам дорожного движения, быть внимательными на дорогах, не проходить мимо детей, нарушающих их, и самим этого не делать.

Список литературы.

1.  Атанасян Л. С., В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия 7-9. Издательство «Просвещение», 2007г., 384с.
2.  Атанасян Л. С., В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия 10-11. Издательство «Просвещение», 2007г., 285с.
3. Малугин В. А., Математика для экономистов: Линейная алгебра. Курс лекций. Глав 3. Векторная алгебра. Москва; Эксмо, 2006г., 224с.
4.  Беклемишев Д. В., Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Москва; Наука, 1988г.
5.  Перышкин А. В., Физика 9 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений; М.: «Дрофа», 2004 г. – 256с.
6.  Мякишев Г. Я., Физика: учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений; М.: «Просвещение», 2005г. – 366с.
7.  Мякишев Г. Я., Физика: учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений; М.: «Просвещение», 2004г. – 382с.
8.  Габриелян О. С., Химия. 11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений; М.: «Дрофа», 2005г. – 362[6]с.
9.  Лидин Р. А., Аликберова Л. Ю., Химия. Справочник для старшеклассников и поступающих в ВУЗы; М.: «АСТ-ПРЕСС ШКОЛА», 2006г. – 512 с.
10.  Кузьменко Н. Е., Ерёмин В. В., Попков В. А., Начала химии. Современный курс для поступающих в ВУЗы. Т.1; М.: «Экзамен», 2002г. – 384 с.
11.  Глинка Н. Л., Общая химия: Учебное пособие для вузов; М.: «Интеграл-Пресс», 2008 г. – 728 с.
12.  Уиллет Э., Генетика без тайн; М.: «Эксмо», 2008г. – 224с.
13. Тейлор Д., Грин Н., Стаут У., Биология. Т.3; М.: «МИР», 2006г. – 451с.
14.  Правила дорожного движения Российской Федерации с иллюстрациями; М.; ООО «АТБЕРГ 98», 2007г.    

Приложение

рис.1

рис.2

рис.4

рис.3

рис.6

рис.13

рис.11

рис.10

рис.8

рис.12

рис.14

рис.15

рис.18

рис.16

рис.20

рис.21

рис.19