"Хитрые" задачи на проценты

ФЕДЕРАЛЬНАЯ НАУЧНО – ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ТВОРЧЕСКОГО И НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ДЕТЕЙ

 И  МОЛОДЁЖИ  «ЮНОСТЬ, НАУКА, КУЛЬТУРА»

IX ВСЕРОССИЙСКИЙ ДЕТСКИЙ КОНКУРС НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ И ТВОРЧЕСКИХ РАБОТ

 «ПЕРВЫЕ ШАГИ В НАУКЕ» 

Секция: информационные технологии, математика

Тема: ««Хитрые» задачи на проценты»

Автор: Вандяк Анастасия Ивановна

Научный руководитель: Столбова Фаина Витальевна

Место выполнения работы: МАОУ СОШ «Земля родная»  г. Новый Уренгой

2012

Содержание

Введение……………………………………………………………………….………...……..3

Раздел  1.   Методика  проведения  исследования………………………………….……..…4              

Раздел  2.   Результаты   исследования…………………..……………………….………….13

Раздел  3.   Выводы  и  рекомендации  …………………………………...............................14

Литература………………………………………………………………………….……...… 14

Приложение 1…………………………………………………………………………………15

Приложение 2…………………………………………………………………………………16

Введение

       Одно из самых замечательных изобретений человечества – проценты. Тема «Проценты» весьма актуальна. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни.

            Слово «процент» происходит от латинских слов pro centum,  что буквально означает «со ста». Проценты дают возможность легко сравнить между собой части целого, упрощают расчеты и поэтому очень распространены и не только в математике.

           Очень широко начали использовать проценты ещё в Древнем Риме, но идея процентов возникла много раньше – уже вавилонские ростовщики умели находить проценты (но они считали не «со ста», а «шестидесяти», так как в Вавилоне пользовались шестидесятеричными дробями).

           Знак % произошел, как предполагают, благодаря опечатке. В рукописях pro centum часто заменяли словом «cento» (сто) и писали его сокращенно – сtо. В 1685 году в Париже была напечатана книга – «Руководство по коммерческой арифметике», где по ошибке наборщик вместо сtо набрал %. Вот после этой ошибки многие математики также стали употреблять знак % для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание. Иногда применяют и более мелкие доли целого – тысячные, то есть десятые части процента. Их называют промилле (от латинского «с тысячи») и обозначают ‰.

           Идея провести исследование  возникла у меня на  индивидуально – групповых занятиях «Развитие математических способностей» при решении задачи, аналогичной задаче 11. Мне показалось  интересным выяснить, а есть ли ещё задачи, в которых так же на первый взгляд ответ кажется очевидным, но неверным? И после некоторых размышлений такие задачи нашлись. Вероятно, при некотором желании, можно найти ещё ряд таких  задач, но я остановилась на выбранных.

           Чтобы убедиться в своей правоте, я  провела небольшой опрос среди учащихся 6-х, 7-х, 8-х классов МАОУ СОШ «Земля родная» г. Новый Уренгой и среди родителей своих одноклассников, предложив  им ряд задач   и получила такую картину.

Ответы учащихся

Ответы родителей одноклассников

Итак:

Тема  работы:  «хитрые» задачи на проценты.

Объект исследования: проценты и итоговое изменение  цены товара в  «хитрых» задачах

 на проценты.

Предмет исследования: зависимость итогового изменения цены от её последовательного  повышения или  понижения на некоторое число процентов.

Гипотеза исследования: итоговое изменение цена товара не находится простым суммированием.

Цель исследования: установить, как именно находится итоговое изменение цены, если её несколько раз повысить или же несколько раз понизить.

Задачи исследования:

- изучить научно-популярную литературу по данной теме;

- рассмотреть решение 28 «хитрых» задач на проценты;

- сравнить и проанализировать полученные  результаты;

- оформить результаты в виде таблицы;

- сделать выводы.

                                      Методика проведения исследования                                          

           При проведении исследования  было рассмотрено решение 28 однотипных задач на проценты, которые я разбила на пять  частей,  в них я привела и разбор конкретных задач и решение в общем виде. Хочу подчеркнуть, что итоговое изменение цены во всех задачах я нахожу в процентах. Кроме того проанализировав  решение и, сравнив полученные ответы, сделала некоторые выводы. Причём в работе  рассмотрела для простоты случаи, когда  цена товара выражалась круглым числом, что для исследования  не существенно,  так как далее  проводились  вычисления в общем виде.

   Итак, рассмотрим часть 1.

Часть1, задача 11.

Цена товара сначала повысилась на 10 %, а потом понизилась на 10 %. Как изменилась цена по сравнению с  первоначальной,  если она была 100 рублей?

Если цена товара повысилась сначала на 10%, то товар стал стоить 100+100:100*10=110(р.)

А так как  затем цена понизилась на 10%, то цена стала 110-110:100*10=99(р.)

Итак, мы видим, что первоначальная цена уменьшилась на 1 рубль, то есть на 1 % по сравнению с первоначальной.

Задача 12. 

Цена товара сначала повысилась на 10 %, а потом понизилась на 10 %. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной, если она была 200 рублей?

Если цена товара повысилась сначала на 10%, то товар стал стоить 200+200:100*10=220(р.)

А так как  затем цена понизилась на 10 %, то цена стала  220-220:100*10=198(р.)

А значит, мы видим, что первоначальная цена уменьшилась на 2 рубля, но 2 рубля это 1 % от первоначальной цены товара.

Задача 13.

Цена товара сначала повысилась на 10 %, а потом понизилась на 10 %. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной, если она была 300 рублей?

Если цена товара увеличилась сначала на 10%, то товар стал стоить 300+300:100*10=330(р.)

А так как затем цена понизилась на 10%, то цена стала 330-330:100*10=297(р.)

И в этой задаче, мы видим, что первоначальная цена уменьшилась, но на 3 рубля, а это составляет 1 %  от первоначальной.

Задача 14.

Цена товара сначала повысилась на 10 %, а потом понизилась на 10 %. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной, если она была 400 рублей?

Если цена товара повысилась сначала на 10%, то товар стал стоить 400+400:100*10=440(р.)

А так как  затем цена понизилась на 10%, то цена стала 440-440:100*10=396(р.)

И опять, первоначальная цена уменьшилась, теперь на 4 рубля, то есть на 1 %  от первоначальной.

            Таким образом, анализируя  решение и ответы к этим пяти задачам мы видим, что цена товара, если её вначале повысить на 10%, а потом понизить на 10%, уменьшается в итоге на 1% по сравнению с первоначальной.

           Теперь проведем  вычисления в общем виде, пусть Х р. - первоначальная цена  товара.  Тогда Х+Х:100*10= Х+0,1Х=1,1Х (р.)- цена товара после повышения на 10 %.

А 1,1Х -1,1Х:100*10=1,1Х - 0,11Х =0,99Х (р.)- цена товара после понижения на 10 %.

Но Х> 0,99Х, значит, цена товара понизилась, причем Х-0,99Х=0,01Х, то есть на 1 %.

 Посмотрим, что получится, если цена товара будет меняться на 20%.

Задача 15. 

Цена товара  сначала повысилась на 20%, а потом понизилась на 20%. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной, если она была 100 руб.?

Если цена товара повысилась сначала на 20%, то товар стал стоить 100+100:100*20=120(р.)

А так как  затем цена понизилась на 20%, то цена стала 120-120:100*20=96(р.)

Итак, мы видим, что первоначальная цена уменьшилась на 4 рубля, то есть на 4%.

Задача 16.

Цена товара  сначала повысилась на 20 %, а потом понизилась на 20 %. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной, если она была 200 руб.?

Если цена товара повысилась сначала на 20 %, то товар стал стоить 200+200:100*20=240(р.)

А так как затем цена опустилась на 20 %, то цена стала 240-240:100*20=192(р.)

А это значит,  что первоначальная цена уменьшилась на 8 рублей, то есть на 4 %.

Задача 17. 

Цена товара  сначала повысилась на 20%, а потом понизилась на 20%. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной, если она была 300 руб.?

Если цена товара повысилась сначала на 20%, то товар стал стоить 300+300:100*20=360(р.)

А так как  затем цена опустилась на 20%, то цена стала 360-360:100*20=288(р.)

И в этой задаче, мы видим, что первоначальная цена уменьшилась на 12 рублей, т. е. на 4%.

            Таким образом, сравнивая решения и ответы уже к этим трём задачам, мы видим, что цена товара, если её вначале повысить, а потом понизить на 20 % уменьшается в итоге на 4 %.

А теперь проведём вычисления в общем виде. Пусть Х р. - первоначальная цена на товар.  

Получим Х+Х:100*20= Х+0,2Х=1,2Х (р.)- цена товара после повышения на 20 %.

И  1,2Х -1,2Х:100*20=1,2Х - 0,24Х =0,96Х (р.)- цена товара после понижения на 20 %.

Но Х> 0,96Х, значит, цена товара понизилась, причем Х-0,96Х=0,04Х, то есть на 4 %.

Рассмотрим задачу, в которой изменение цены происходит на 30 %        

Задача 18.

Цена товара  сначала повысилась на 30 %, а потом понизилась на 30 %. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной, если она была 100 руб.?

Если цена товара повысилась сначала на 30%, то товар стал стоить 100+100:100*30=130(р.)

А так как затем цена опустилась на 30%, то цена стала 130-130:100*30=91(р.)

Итак, мы видим, что первоначальная цена уменьшилась на 9  рублей, то есть на 9 %.

А теперь  проведём вычисления в общем виде.  Пусть Х р. - первоначальная цена на товар.  

Тогда  Х+Х:100*30= Х+0,3Х=1,3Х (р.)- цена товара после повышения на 30 %.

А  1,3Х -1,3Х:100*30=1,3Х - 0,39Х =0,91Х (р.)- цена товара после понижения на 30 %.

Но Х> 0,91Х, значит, цена товара понизилась, причем Х-0,91Х=0,09Х, то есть на 9 %.

            Эти задачи объединяет то, что цена на некоторый товар вначале повышается, а затем понижается. 

Во второй части работы рассмотрим  измениться или нет, и если изменится, то как,   цена товара если сначала она будет  понижаться, а потом повышаться на одно и то же число процентов.

Проведём вычисления сразу в общем виде.

Часть2, задача 21.

 Сначала цена на товар понизилась на 10 %, а через год новая цена повысилась на 10 %. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной?

Пусть Х р.- первоначальная цена товара.

Тогда  Х-0,1Х=0,9Х (руб.)- цена после понижения на 10 %.

А  0,9Х+0,1*0,9Х=0,9Х+0,09Х=0,99Х(руб.)-цена после повышения на 10 %.

Но 0,99Х < Х   на 0,01Х, то есть цена уменьшилась на 1 %. 

Задача 22. 

Сначала цена на товар понизилась на 20 %, а через год новая цена повысилась на 20 %. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной?

Итак  Х-0,2Х=0,8Х (руб.)-цена после понижения на 20 %.

А  0,8Х+0,2*0,8Х=0,8Х+0,16Х=0,96Х(руб.) - цена после повышения на 20 %.

И так как  0,96Х < Х, то мы видим, что цена изменилась (уменьшилась) на 4 %.

Задача 23.

Сначала цена на товар понизилась на 30 %, а через год новая цена повысилась на 30 %. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной?

Х-0,3Х=0,7Х (руб.)

0,7Х+0,3*0,7Х=0,7Х+0,21Х=0,91Х(руб.)

0,91Х < Х   на 0,09Х, т. е. цена уменьшилась на 9 %.                                                                                                                                                                                       

           Итак, мы видим, что неважно  «повысилась-понизилась» или «понизилась-повысилась» цена, результат  оказывается одним и тем же, цена товара в итоге уменьшается.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        Найдём формулу для вычисления изменения цены товара в таких задачах.

 А для этого проведём вычисление итогового  изменения цены товара в процентах в общем виде.                                        

Пусть Х(р)-первоначальная цена товара, n%-изменение цены, тогда Х+Х:100*n=Х+0,01Хn (руб.)- цена после повышения на n %.

(Х+0,01Хn) –(Х+0,01Хn)*0,01n =Х+0,01Хn-0,01Хn- (0,01n)2  Х=Х-(0,01n)2  Х (руб.)-цена после понижения на n %.

Х- (Х-(0,01n)2  Х)= Х- Х+(0,01n)2  Х= (0,01n)2  Х (руб.)- изменение  цены в рублях. 

[(0,01n)2  Х]*100:Х=(0,01n)2 *100=0,01n2 =(0,1n)2 –изменение цены в процентах.

То есть, мы получили формулу N=(0,1n)2  для вычисления изменения цены товара в процентах,  а  А=(0,01n)2  Х - формула для вычисления изменения цены в рублях.

В задачах 11-14 видим N=(0,1*10)2  %=1 % - итоговое изменение цены.

А в задачах 15-17  видим N=(0,1*20)2  %=4 % - итоговое изменение цены.

И, наконец, в задаче  18  получаем N= (0,1*30)2 %=9 % -итоговое  изменение цены.

 Полученные нами выводы можно применить и проверить их справедливость на примере такой задачи.

Задача 23

Цена на товар вначале была повышена на 15 %, а затем снижена на 15 %. Найти, как изменилась она по сравнению с первоначальной, если товар стоил 120 рублей?

 Согласно полученным нами формулам цена  изменится на А=(0,01n)2  Х рублей.

В нашем случае А=(0,01*15)2*120=2,7(руб.)

Или 120*0,15=18(руб.)-повысилась цена,

        120+18=138(руб.)-стала цена,

        138*0,15=20,7(руб.)-понизилась цена,

        138-20,7=117,3(руб.)- стала цена,

        120-117,3=2,7(руб.) – изменилась цена.

И N=(0,1n)2  %-изменение цены в процентах. В нашей задаче N =(0.1*15)2 =2,25 (%).

Или 2,7:120*100=2,25 (%).

Мы видим, что наши формулы справедливы, прекрасно работают и дают возможность быстро получить нужный результат.

           А теперь проведём вычисления в общем виде для случая, когда цена «понизилась- повысилась».

Пусть Х (р)-первоначальная цена товара, n %-изменение цены, тогда Х-0,01Хn (руб.)- цена после понижения на n %.

(Х-0,01Хn)+(Х-0,01Хn)*0,01n =Х-0,01Хn+0,01Хn- (0,01n)2  Х=Х-(0,01n)2  Х (руб.)-цена после повышения на n%.

Х- (Х-(0,01n)2  Х)= Х- Х+(0,01n)2  Х= (0,01n)2  Х (руб.)- изменение  цены в рублях. 

[(0,01n)2  Х]*100:Х=(0,01n)2 *100=0,01n2 =(0,1n)2 –изменение цены в процентах.

То есть, мы опять получили ту же формулу N=(0,1n)2  для вычисления изменения цены товара в процентах,  а  А=(0,01n)2  Х - формула для вычисления изменения цены в рублях.

Часть3, задача 31.

Цена на некоторый товар сначала повысилась на 10 %, затем ещё на 10 %. На сколько процентов она повысилась всего, если товар стоил 100 р.?

100+0,1*100=110(р.)-стоил товар после 1-го повышения

110 +0,1*110=121(р.) – стал стоить товар после 2-го повышения

121-100=21(р.) –повысилась цена товара,  но 21р.  составляют 21 % от 100 рублей

Задача 32.

Цена на некоторый товар сначала повысилась на 10 %, затем ещё на 10%. На сколько процентов она повысилась всего, если товар этот стоил 200 р.?

200+0,1*200=220(р.)-стоил товар после 1-го повышения

220 +0,1*220=242(р.) – стал стоить товар после 2-го повышения

242 -200=42(р.) –повысилась цена товара,  но 42 р.  составляют 21 % от 200 рублей

Задача 33.

Цена на некоторый товар сначала повысилась на 10 %, затем ещё на 10 %. На сколько процентов она повысилась всего, если товар этот стоил 300 р.?

300+0,1*300=330(р.)-стоил товар после 1-го повышения

330 +0,1*330=363(р.) – стал стоить товар после 2-го повышения

363 -300=63(р.) –повысилась цена товара,  но 63 р.  составляют 21 % от 300 рублей

Мы видим, что при повышении цены  дважды на 10 % итоговое повышение составит 21 %. 

Задача 34.

Цена на некоторый товар сначала повысилась на 20 %, затем ещё на 20 %. На сколько процентов она повысилась всего, если товар стоил 100 р.?

100+0,2*100=120(р.)-стоил товар после 1-го повышения

120 +0,2*120=144(р.) – стал стоить товар после 2-го повышения

144 -100=44(р.) –повысилась цена товара,  но 44 р.  составляют 44 % от 100 рублей

Задача 35.

Цена на некоторый товар сначала повысилась на 20 %, затем ещё на 20 %. На сколько процентов она повысилась всего, если товар этот стоил 200 р.?

200+0,2*200=240(р.)-стоил товар после 1-го повышения

240 +0,2*240=288(р.) – стал стоить товар после 2-го повышения

288 -200=88(р.) –повысилась цена товара,  но 88 р.  составляют 44 % от 200 рублей

Задача 36.

Цена на некоторый товар сначала повысилась на 20 %, затем ещё на 20 %. На сколько процентов она повысилась всего, если товар этот стоил 500 р.?

500+0,2*500=600(р.)-стоил товар после 1-го повышения

600 +0,2*600=720(р.) – стал стоить товар после 2-го повышения

720 -500=220(р.) –повысилась цена товара,  но 220р.  составляют 44 % от 500 рублей

Мы видим, что при повышении цены  дважды на 20 % итоговое повышение составит 44 %. 

Посмотрим, как изменится цена товара, если она повысится сначала на 30 %, затем ещё на 30%? Для этого решим ещё одну задачу.

Задача 37.

Цена на некоторый товар сначала повысилась на 30 %, затем ещё на 30 %. На сколько процентов она повысилась всего, если товар стоил 100 р.?

100+0,3*100=130(р.)-стоил товар после 1-го повышения

130 +0,3*130=169(р.) – стал стоить товар после 2-го повышения

169 -100=69(р.) –повысилась цена товара,  но 69 р.  составляют 69 % от 100 рублей.

Занесём полученные данные в таблицу.

Можно предположить, что при повышении цены  2 раза на одну и ту же процентную ставку итоговое  повышение составит  2n+(0,1n)2 % .

Проверим наше предположение, решив ещё одну задачу, в которой цена будет повышаться на 50%.  

Задача 38.

Цена на некоторый товар сначала повысилась на 50 %, затем ещё на 50 %. На сколько процентов она повысилась всего, если товар стоил 100 р.?

100+0,5*100=150(р.)-стоил товар после 1-го повышения

150 +0,5*150=225(р.) – стал стоить товар после 2-го повышения

225 -100=125(р.) –повысилась цена товара,  но 125 р.  составляют 125 % от 100 рублей. Из нашего предположения  вытекает, что при повышении цены дважды на 50 %, итоговое повышение должно составить  2n+(0,1n)2 , т.е. 2*50+(0,1*50)2=125 %. Наше предположение подтвердилось.

           Проведём вычисления в общем виде.

Итак, x р. – была цена товара, на n % -она повысилась дважды. Найдём итоговое повышение.

X+0,01nx=x(1+0,01n)(р.) -стоил товар после 1-го повышения x(1+0,01n)+0,01nx(1+0,01n)=x+0.01nx+0,01nx+(0,01n)2x=x+2*0,01nx+(0,01n)2x(р.) -стал стоить товар после 2-го повышения

x+2*0,01nx+(0,01n)2x-x=2*0,01nx+(0,01n)2x(р.) - повысилась цена товара (итоговое повышение в рублях)

(2*0,01nx+(0,01n)2x):x *100=2n+(0,1n)2 (%) -итоговое повышение в  процентах.

Часть 4, задача 41.

Цена на некоторый товар сначала понизилась на 10 %, затем ещё на 10 %. На сколько процентов она понизилась всего, если товар стоил 100 р.?

100-0,1*100=90(р.)-стоил товар после 1-го понижения

90 -0,1*90=81(р.) – стал стоить товар после 2-го понижения

100-81=19(р.) –понизилась цена товара,  но 19 р.  составляют 19 % от 100 рублей

Задача 42.

Цена на некоторый товар сначала понизилась на 10 %, затем ещё на 10 %. На сколько процентов она понизилась всего, если товар этот стоил 200 р.?

200-0,1*200=180(р.)-стоил товар после 1-го понижения

180 -0,1*180=162(р.) – стал стоить товар после 2-го понижения

200-162=38(р.) –понизилась цена товара,  но 38 р.  составляют 19 % от 200 рублей.

Задача 43.

Цена на некоторый товар сначала понизилась на 20 %, затем ещё на 20 %. На сколько процентов она понизилась всего, если товар стоил 100 р.?

100-0,2*100=80(р.)-стоил товар после 1-го понижения

80 -0,2*80=64(р.) – стал стоить товар после 2-го понижения

100-64=36(р.) –понизилась цена товара,  но 36 р.  составляют 36 % от 100 рублей

Задача 44.

Цена на некоторый товар сначала понизилась на 20 %, затем ещё на 20 %. На сколько процентов она понизилась всего, если товар этот стоил 200 р.?

200-0,2*200=160(р.)-стоил товар после 1-го понижения

160 -0,2*160=128(р.) – стал стоить товар после 2-го понижения

200-128=72(р.) –понизилась цена товара,  но 72 р.  составляют 36 % от 200 рублей

Задача 45.

Цена на некоторый товар сначала понизилась на 30 %, затем ещё на 30 %. На сколько процентов она понизилась всего, если товар стоил 100 р.?

100-0,3*100=70(р.)-стоил товар после 1-го понижения

70 -0,3*70=49(р.) – стал стоить товар после 2-го понижения

100-49=51(р.) –понизилась цена товара,  но 51 р.  составляют 51 % от 100 рублей.

Полученные результаты занесём в таблицу.

Можно предположить, что при понижении цены  2 раза на одну и ту же процентную ставку итоговое  понижение составит  2n-(0,1n)2% .

Проверим наше предположение, решив ещё одну задачу.  

Задача 46.

Цена на некоторый товар сначала понизилась на 50 %, затем ещё на 50 %. На сколько процентов она понизилась всего, если товар стоил 100 р.?

100-0,5*100=50(р.)-стоил товар после 1-го понижения

50 -0,5*50=25(р.) – стал стоить товар после 2-го понижения

100-25=75(р.) –понизилась цена товара,  но 75 р.  составляют 75 % от 100 рублей. Из нашего предположения  следует, что при понижении цены дважды на 50 %, итоговое понижение должно составить  2n- (0,1n)2 , т.е. 2*50-(0,1*50)2=75 %. Наше предположение подтвердилось.

  Проведём вычисления в общем виде. 

Итак, x р. – была цена товара, на n % -она понизилась дважды. Найдём итоговое понижение.

X-0,01nx=x(1-0,01n)(р.) -стоил товар после 1-го понижения

 x(1-0,01n)-0,01nx(1-0,01n)=x-0.01nx-0,01nx+(0,01n)2x=x-2*0,01nx+(0,01n)2x(р.) -стал стоить товар после 2-го понижения

x-(x-2*0,01nx+(0,01n)2x)=2*0,01nx-(0,01n)2x (р.) - понизилась цена товара (итоговое понижение в рублях)

(2*0,01nx-(0,01n)2x):x *100=2n- (0,1n)2 (%) -итоговое понижение в  процентах.

              Конечно, провести исследование и найти итоговое изменение цены товара в процентах можно и для случая, когда изменение происходит на разное число процентов. Но проделав такие вычисления на черновике, я не получила «красивых»  формул, а потому и не привожу их в своей работе.

             Но мне бы хотелось рассмотреть ещё одну группу задач, так как она заинтересовала меня, это задачи, в которых цена меняется на 10 % и 20 %, а затем на 20 % и на10 %, т.е. повышение или понижение идёт на разное число процентов, но меняется их последователь-ость в их изменении. Одинаковым ли будет итоговое изменение? Когда я задала такой вопрос нескольким своим одноклассникам, они разделились во мнении.

 Итак, часть5, задача 51.

Цена на некоторый товар сначала повысилась на 10 %, затем ещё на 20 %. На сколько процентов она повысилась всего, если товар стоил 100 р.?

100+0,1*100=110(р.)- стоит после 1-го повышения

110+0,2*110=132(р.)-стоит после 2-го повышения

132-100=32(р.) – повысилась цена, но 32 р. составляют 32 % от 100 р.

Задача 52.

Цена на некоторый товар сначала понизилась на 20 %, затем ещё на 10 %. На сколько процентов она понизилась всего, если товар стоил 100 р.?

100+0,2 *100=120(р.)- стоит после 1-го повышения

120+0,1*120=132(р.)-стоит после 2-го повышения

132-100=32(р.) – повысилась цена, но 32 р. составляют 32 % от 100 р.

             Мы видим, что итоговое повышение одинаково.

Докажем это, проведя рассуждения в общем виде. Итак, x р. – была цена товара, на n % -она повысилась в первый раз и на m %  во второй. Найдём итоговое повышение.

X+0,01nx=x(1+0,01n)(р.) -стоил товар после 1-го повышения

 x(1+0,01n)+0,01mx(1+0,01n)=x+0.01nx+0,01mx+0,01n*0,01mx=x+0,01(n+m)x+0,01n*0,01mx

(р.) -стал стоить товар после 2-го повышения

x+(0,01n+0,01m)x+0,01n*0,01mx -x=0,01nx+0,01mx+0,01n*0,01mx(р.) - повысилась цена товара ( в рублях)

(0,01nx+0,01mx+0,01n*0,01mx ) :x*100=(n+m)+0,01n*m(%.) - повысилась цена товара (итоговое повышение в процентах). Но от перестановки слагаемых сумма, а от перестановки сомножителей произведение не меняются. Т. е. порядок изменения цены роли не играет.

            А теперь докажем, что и при понижении цены порядок не играет роли.  Проведём рассуждения в общем виде. Итак, x р. – была цена товара, на n % -она понизилась в первый раз и на m%  во второй. Найдём итоговое понижение.

x-0,01nx=x(1-0,01n)(р.) -стоил товар после 1-го понижения

 x(1-0,01n)-0,01mx(1-0,01n)=x-0.01nx-0,01mx+0,01n*0,01mx (р.) -стал стоить товар после 2-го понижения

x-(x-0,01nx-0,01mx+0,01n*0,01mx)=0,01nx+0,01mx-0,01n*0,01mx( р.) - понизилась цена товара (итоговое понижение в рублях)

(0,01nx+0,01mx-0,01n*0,01mx):x *100=(n+m)- 0,01nm (%) -итоговое понижение в  процентах.

                                             Результаты  исследования

         Итак, наша гипотеза о том, что итоговое изменение цены  товара  при последовательном увеличении её или при последовательном  уменьшении на одно и то же число процентов не находится простым суммированием,  подтвердилась.  

        В задачах первой и второй частях работы мы доказали, что неважно «повышается-понижается» или «понижается-повышается» цена товара,  в итоге она всё равно понижается на  (0,1n)2  процентов и  (0,01n)2  Х  рублей.

        В  задачах третьей части, в которых повышение  цены происходило дважды  на n%, она повысилась в итоге на 2n+(0,1n)2 % ,  т.е.  итоговое  изменение цены в процентах можно вычислить по формуле N=2n+(0,1n)2 % .

       В задачах четвертой части, в которых  цена уменьшалась  на n%, суммарное  уменьшение составило в итоге 2n- (0,1n)2 % , т.е. итоговое изменение цены в процентах можно вычислить по формуле  N=2n- (0,1n)2 %.

       Кроме того, в пятой части работы мы установили, что неважно в какой именно последовательности меняется цена, итоговое изменение оказывается одним и тем же.                                                                                                                                                                                  

                                                        Выводы и рекомендации

              Эта работа интересна как иллюстрация пословицы «поспешишь - людей насмешишь», как одно из подтверждений того, что не всё очевидное на первый взгляд верно, особенно в математике. И в некотором смысле она сродни математическим софизмам.

    Результаты  работы могут быть использованы на занятиях математического кружка, предметной школы и факультативах в 5-9 классах для развития интереса к математике у учащихся, а так же для индивидуальной работы с теми учениками, кто интересуется математикой. А полученные формулы позволят найти изменение цены  в процентах, не выполняя полного решения таких задач.

    Полученные  формулы  имеют  широкое  применение  не  только  в  математике. Процентные расчеты прочно вошли в жизнь современного человека, например, в экономике: процент прибыли, стоимость товара, заработная плата, бюджетный дефицит и профицит, изменение тарифов, пеня и др. Решение задач, связанных с банковскими расчетами: вычисление ставок процентов в банках;  процентный прирост; определение начальных вкладов. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни.

Литература                                                                                                     

1. «Все задачи «Кенгуру» 1994-2005- Санкт-Петербург, 2005.  

2. «Задачи для подготовки к олимпиадам. Математика 5-8 классы» сост. Н.В. Заболотнева. – Волгоград: Учитель, 2007.- 99с.

3. Лихтарников Л.М. Занимательные логические задачи. (Для учащихся начальной школы) Оформление С. Григорьева - СПб.: Лань, МИК, 1996.- 125с.

4. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7-9 кл. средней школы - М.: Просвещение, 1990.- 224 с.: ил.

5. Чулков П.В. Математика. Школьные олимпиады: методическое пособие. 5-6 кл./ П.В. Чулков.- М.: Издательство НЦ ЭНАС, 2007.- 88с. (Портфель учителя).

6. Шуба М.Ю. Занимательные задачи в обучении математике: Книга для учителя. - 2-е изд.-

М.: Просвещение, 1995.- 22с.

                                                                                                                                                 Приложение 1

Таблица

итогового изменения цены в процентах

                                                                                                                                                Приложение 2

Результаты опроса среди учащихся 6-х, 7-х, 8-х классов МАОУ СОШ «Земля родная»

г. Новый Уренгой по изменению цены товара в процентах

Результаты опроса  среди родителей одноклассников

по изменению цены товара в процентах