МБОУ «Губинская средняя общеобразовательная школа»

Орехово-Зуевского муниципального района

Московской области

реферат на тему:

«Построения и измерения

на местности

при ограничениях»

работу выполнил:

Ковалев Роман

учащийся 9 класса

2011 г.

Содержание

1. Введение----------------------------------------------------------------------- 2

2. Цель и задачи----------------------------------------------------------------- 3

3. Построения на местности-------------------------------------------------- 4-6

     Прокладывание прямой __________________________________ 4

     Точка пересечения прямых _______________________________ 4

Симметрия относительно точки____________________________4

Параллельные прямые____________________________________4

Середина отрезка ________________________________________5

В данном отношении _____________________________________5

Биссектриса угла ________________________________________ 5

Перпендикуляр к прямой _________________________________ 5-6

4. Измерения на местности---------------------------------------------------- 6-10

2.1. Длина шага. Размах пальцев ___________________________ 6-7

2.2. Высота предмета _____________________________________7-8

2.3. С помощью фотографии _______________________________8

2.4. Высота недоступного объекта __________________________8

2.5. Ширина реки ________________________________________9

2.6. Расстояние до недоступной точки ______________________ 9

2.7. Расстояние между двумя недоступными точками _________ 9-10

2.8. Препятствие на прямой _______________________________10-11

2.9. Не замочив рукавов __________________________________ 11

2.10. Измерение расстояния до недоступной точки с помощью     угломера __________________________________________11-12

1. Заключение-------------------------------------------------------------------- 12

2. Список литературы ---------------------------------------------------------  13

3.  Приложения (рисунки к решениям и фотографии)-----------------   14-26

Введение

Для практических целей часто возникает необходимость производить геометрические построения на местности. Такие построения нужны и при строительстве зданий, и при прокладке дорог, и при различных измерениях объектов на местности.

Для нахождения расстояний, высот, глубин или других размеров реальных объектов не всегда можно обойтись непосредственным их измерением – во многих случаях такие измерения сопряжены с определенными трудностями, дорогостоящей аппаратурой и квалифицированными специалистами.

Перед нами встает проблема: как определить интересующую величину и сделать это точнее.

В настоящей работе рассматриваются наиболее типичные задачи, для решения которых предлагаются обоснованные, действительно осуществимые на практике способы построений и измерений при использовании минимума необходимых и доступных средств.

К таким средствам относятся способы провешивания прямых с помощью колышков и откладывания на данных (проложенных) прямых конкретных расстояний с помощью двух точек, уже обозначенных колышками на местности.

Такой способ применяют при прокладке просек, дорог, высоковольтных линий. Огни взлетных полос для самолетов расположены с учетом провешивания прямых.

В 1941году этот метод применили командиры пехоты в Битве за Москву.  Чтобы в темноте солдаты не сбились с направления во время атаки, в тылу были зажжены костры. Оглянувшись, солдаты легко могли определить, насколько они отклонились от своего фланга (приложение 3, рисунок 19).

Основными измерительными «приборами», которые имеются всегда «под рукой», являются шаг, пядь (размах пальцев), сажень (размах рук), уровень глаз (расстояние от земли до глаз) и т.д.

То есть, по сути дела, задачи на построение мы решаем без линейки, циркуля и транспортира.

В своей работе для измерения углов на местности я применяю простейший прибор угломер, который легко сделать своими руками.

Конечно, при таких ограничениях важно следить за надежностью способа, то есть зависимостью его точности от различных погрешностей, которые неизбежно возникают при работе на местности.

Цель работы: применить математические идеи и методы к решению практических задач, возникающих  при построениях и измерениях на местности.

Задачи:

1. Уметь составлять и анализировать математические модели реальных задач (выбирать рациональный метод решения).
2. Доводить способы решения задач до практически приемлемого результата.

1.  Простейшие построения на местности

1. Проложить прямую 

На местности колышками обозначены две удаленные друг от друга точки. Как проложить через них прямую? Как можно без помощника устанавливать колышки на прямой между данными точками?

Решение.

        Пользуясь зрительным эффектом, состоящим в загораживании двух колышком третьим, стоящим на общей с ними прямой (методом провешивания прямых), нетрудно установить еще один колышек в некоторой точке С на продолжении отрезка с концами в двух данных точках А и В. После этого точки отрезка АВ можно построить с помощью того же эффекта, поскольку они будут лежать на продолжении либо отрезка АС, либо ВС (в зависимости от того, какая из точек – А или В – находится ближе к точке С). Вообще, любая точка прямой АВ будет лежать на продолжении хотя бы одного из отрезков АВ, АС или ВС (рисунок 1).

2. Точка пересечения прямых

На местности колышками обозначены две точки одной прямой и две точки другой прямой. Как найти точку пересечения этих прямых?

Решение.

Пользуясь методом провешивания прямых легко найти точку пересечения прямых в том случае, если сразу ясно, что она лежит на продолжениях обоих отрезков с концами в данных точках (находим место и обозначаем его колышком так, чтобы колышки, обозначающие каждую из данных прямых, загораживали его от наблюдателя). В противном случае достаточно сначала проложить одну или обе прямые так, чтобы на каждой из них с одной стороны от предполагаемой точки пересечения были отмечены по две точки (рисунок 2).

3. Симметрия относительно точки

На местности обозначены точки А и В. Найти точку С, симметричную точке А относительно точки В.

Решение.

Продолжим прямую АВ (здесь и в других задачах «продолжить» - значит проложить методом провешивания) за точку В и отложим на ней точку С на расстоянии АВ от точки В. Для этого понадобится измерить в подходящих единицах длины расстояние между точками А и В (можно воспользоваться вехой или длиной собственного шага).

4.  Параллельная прямая 

На местности обозначены три данные точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Через точку А проложить  прямую, параллельную прямой ВС.

Решение.

Продолжим прямую АВ за точку В и отложим на ней точку Д на расстоянии АВ от точки В. Продолжим прямую СД за точку С и отложим на ней точку Е на расстоянии СД от точки С (рисунок 3). Тогда отрезок АЕ будет параллелен отрезку ВС (ВС – средняя линия треугольника АДЕ).

5. Середина отрезка

Найти середину отрезка, заданного на местности двумя точками А и В.

Решение.

        Возьмем какую-либо точку С, не лежащую на прямой АВ. Продолжим прямую ВС за точку С и отложим на ней точку Д на расстоянии 2ВС от точки С (рисунок 4). Продолжим прямую АД за точку А и отложим на ней точку Е на расстоянии АД от точки А. Искомая середина F отрезка АВ лежит на его пересечении с прямой ЕС. Отрезок СЕ будет параллелен отрезку АG (АG – средняя линия треугольника СДЕ, где G – середина отрезка СД), кроме того, по построению ВС=СG , а значит, С F – средняя линия треугольника АВG , откуда  АF = FВ.

        Данный способ не самый простой, но он позволяет делить отрезок на любое число равных частей.

6.   В данном отношении

Отрезок, заданный на местности двумя точками А и В, разделить в отношении, в котором находятся длины двух отрезков KL и  MN, заданных на местности точками

 K, L и  M, N. Как это сделать?

Решение.

        Построение точки F, делящей отрезок АВ в отношении АF : ВF= KL :  MN, произведем аналогично построению середины отрезка АВ, как в задаче 1.5. Отличие будет состоять в том, что точку С выберем на расстоянии KL от точки В, а точку Д – на расстоянии 2 MN от точки С (рисунок 4). В этом случае прямая ЕС по-прежнему параллельна отрезку АG, а значит, разделит отрезок АВ в том же отношении, в котором она делит отрезок ВG.

7. Биссектриса угла

На местности обозначены три точки А, M и N, не лежащие на одной прямой. Проложите биссектрису угла MАN.

Решение.

        Выберем на одной стороне данного угла точки В и С, а на другой – точки Д и е так, чтобы АВ=ВС=АД=ДЕ.

        Найдем точку пересечения прямых ВЕ и СД. Тогда прямая  АО будет искомой биссектрисой, поскольку в равнобедренном треугольнике АСЕ биссектриса А F  является одновременно и медианой, а значит, проходит через точку О пересечения медиан ЕВ и СД (рисунок 5).

8. Перпендикуляр к прямой

Проложите на местности какую-нибудь прямую, перпендикулярную прямой, проходящей через заданные точки А и В. Как проложить перпендикуляр к прямой АВ, проходящий через данную точку H?

Решение.

        Продолжим прямую АВ за точку В и отложим на ней точку С на расстоянии АВ от точки В.

        Отложим на том же расстоянии от точки В еще две точки Д и Е в двух разных, но не противоположных направлениях (рисунок 6). Найдем точку F пересечения прямых АЕ и СД, а также точку G пересечения прямых АД и СЕ. Прямая FG перпендикулярна прямой АВ.

        Действительно, точки А, Е, Д и С равноудалены от точки В, т.е. лежат на одной окружности с центром В и диаметром АС. Следовательно, вписанные углы АДС и АЕС прямые, поэтому, АД и СЕ – высоты треугольника А F С. Так как все три высоты этого треугольника пересекаются в одной точке G, то прямая FG перпендикулярна стороне АС. Для того, чтобы проложить перпендикуляр к прямой АВ через данную точку H, достаточно теперь проложить через эту точку прямую, параллельную прямой FG (задача 1.4).

2. Измерения на местности при ограничениях

1.   Длина шага. Размах пальцев

При работе на местности измерительными «приборами» могут стать шаг, размах пальцев, уровень глаз (расстояние от земли до глаз). Чтобы впоследствии измерять расстояния, найдем простой и наиболее точный способ определения средней длины шага и размаха пальцев.

        Для определения длины шага достаточно пройти какое-либо заранее известное и не слишком короткое расстояние и поделить это расстояние на количество сделанных шагов.

        Также поступаем и для определения длины размаха пальцев: отложим вдоль прямой один или несколько размахов пальцев, а затем поделим на их количество отложенную длину.

          В геодезии и военной топографии до сих пор применяется техника измерения длин парами шагов. Это удобно, так как количество шагов исчисляется чаще всего двузначными числами (23, 49 и т. д.). Два шага - пара шагов будут соответствовать одному числу. К односложным числам можно добавлять букву и, например: и сорок. Пройдя сто пар шагов, делаем заметку (черту, крестик) на краю бумаги, после счет начинаем снова.

Длину среднего шага можно принять равной одной четверти

роста измеряющего плюс 37 см. Так, если мой рост 1,74 м, то за среднюю длину моего шага можно принять 43,5 см + 37 см = 81,5 см, а пара шагов равна 1,63 м.

Чтобы получить более точное значение длины пары шагов, измеряющий должен выверить их в тех условиях, в которых будут происходить измерения. Так, если измерения линий предстоит проводить по грунтовой дороге, то и выверить свой шаг нужно на такой же дороге.

С этой целью нужно не менее двух раз измерить шагами длину линии (не короче 200 м), предварительно измеренную лентой или имеющую известную величину (расстояние между километровыми столбами и т. п.).

Если в 1 км оказалось 612 пар шагов, тогда сто пар шагов будут равны 163,4 м. Затем можно составить вспомогательную таблицу:

2. Высота дерева (предмета)

Эта задача имеет несколько способов решения. Рассмотрим некоторые из них.

1. Найти высоту дерева (предмета) при помощи тени.

Решение.

Так как лучи солнца можно считать практически параллельными, то тень от дерева во столько же раз длиннее тени от какого-либо шеста, во сколько раз дерево выше шеста.

Поэтому, установив вертикально шест известной высоты а и измерив отношение k длины тени от дерева к длине тени от шеста, мы вычислим искомую высоту дерева ka.

        Заметим, что указанный способ не слишком надежен, так как отбрасываемая при свете солнца тень не имеет отчетливой границы из-за присущей ей неясно очерченной полутени.

2. Найти высоту дерева (предмета) при помощи шеста.

Решение.

        Установив вертикальный шест на некотором расстоянии от дерева, нужно стать в такую точку, из которой верхний конец шеста загораживает в точности верхушку дерева (рисунок 7). Тогда, если высота части шеста над уровнем глаз равна а, а расстояния от глаз по горизонтали до шеста и до дерева равны b и y соответственно, то из подобия треугольников можно найти высоту х дерева над уровнем глаз. Наконец, зная свой рост h до уровня глаз, получаем полную высоту дерева:

h+ x=h + ya/b.

        Заметим, что вычисления и измерения можно упростить, если добиться равенства b = а, которое достигается выбором места установки шеста. Кроме того, можно лечь на землю, что позволит считать h=0, а в результате высота дерева окажется равной х=у.

3.  Найти высоту дерева (предмета) при помощи нескольких кольев.

                 Для определения высоты предмета берут 4 кола: два больших равной длины и два        равной длины поменьше. Колья вбивают в землю так, чтобы их основания были расположены на одной прямой и чтобы вершина предмета, высоту которого  измеряют, и вершины кольев лежали соответственно на прямых AG  и AE.

Проложим (зрительно) прямую NE, параллельную BC, и прямую TR, параллельную AG. Для получения точки R надо обратить внимание на то, что треугольник TOR равен треугольнику DPG  и OR =PG= FH (рисунок 8). Образовавшиеся треугольники ETR и  EAG подобны, так как  сторона TR параллельна  AG. Следовательно, ER: EG =TO: AN, но  RE =OE -OR =КC –FH. (Эти отрезки могут быть получены путем измерения расстояний между кольями).  TO =TK- OK =TK- EC, то есть длина TO равна разности длин кольев. Теперь можно найти четвертый член пропорции AN. Прибавив к  AN  длину меньшего кола, получим искомую высоту.                        

4. Найти высоту дерева (предмета) при помощи равнобедренного прямоугольного треугольника.

Решение.

Прикрепим равнобедренный прямоугольный треугольник к палке длиной 1 или 1,5 м (рисунок 9). Установим треугольник так, чтобы один из катетов был направлен отвесно (перпендикулярно поверхности земли). Приближаясь к дереву и удаляясь от него.

 Находим такое место, из которого точки А, В и С видны на одной прямой, тогда ЕF=АД=СД, а высота предмета равна  ЕF+АЕ.

3.   С помощью фотографии

Можно ли воспользоваться фотографией предмета для определения его высоты?

Решение.

Для приблизительного нахождения высоты предмета по фотографии можно выбрать две точки, расположенные у подножия этого предмета, и измерить расстояние между ними на фотографии и на местности (второе расстояние надо рассматривать как проекцию на прямую, перпендикулярную направлению, в котором был сфотографирован предмет). Найдя отношение k первого из расстояний ко второму, мы узнаем масштаб снимка, после чего останется замерить на нем высоту предмета и поделить ее на k (приложение 3, рис.20).

4.   Высота недоступного объекта

Как найти высоту здания, внутри и вблизи которого измерения затруднительны?

Решение.

Установим вертикальный шест на некотором расстоянии от здания и станем в такую точку, из которой верхушка здания (выбранная верхняя точка) зрительно совмещается с верхним концом шеста (рисунок 10). Затем, пройдя некоторое расстояние в направлении от здания по прямой, на которой лежит первая точка и проекция А верхней точки здания на горизонтальную плоскость, еще раз проделаем эту операцию.

Пусть высота шеста над уровнем глаз равна а, расстояние от глаз до шеста в первом положении оказалось равным b, а во втором – с. Тогда, измерив расстояние у между точками В и С, в которых мы стояли в первом и во втором случаях, можно вычислить высоту х  здания над уровнем глаз. В самом деле, пусть АВ = z , тогда из подобия соответствующих треугольников имеем: х : z = а : b ; х : (z + у) = а : с, откуда bх = аz, сх = аz + ау и  сх- bх =ау, откуда х = ау/ (с- b).

5.   Ширина реки

Как измерить ширину реки, находясь на ее берегу и не имея возможности перебраться на другой берег?

Решение.

        Отыскиваем глазами на противоположном берегу реки близко к воде какой-либо заметный ориентир А – камень, деревце и т.п. Отмечаем на своем берегу точку В, расстояние от которой до точки А представляет по-нашему ширину реки. Решение задачи сводится к нахождению длины АВ.

        Выберем точку С на продолжении прямой АВ за точку в, а также точку Д, не лежащую на прямой АВ (рисунок 11). Затем выберем точки Е и F на продолжениях прямых ВД и СД соответственно за точку Д так, чтобы выполнялись равенства: ВД=ДЕ, СД=ДF. Теперь найдем точку G пересечения прямых ЕF и АД. Тогда искомое расстояние АВ будет равно длине отрезка ЕG.

        Действительно, из равенства треугольников ВДС и ЕДF (по двум сторонам и углу между ними) следует равенство углов СВД и FЕД. Поэтому треугольники ВАД и ЕGД равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, а значит, равны и их соответствующие стороны АВ и ЕG.

6.   Расстояние до недоступной точки

Как найти расстояние до недоступной точки?

Решение.

        Рассмотрим несколько способов решения.

1. Для нахождения расстояния от данной точки В до недоступной точки А можно использовать построения, аналогичные построениям в задаче 2.5 с той лишь разницей, что точки Е и F на рисунке 11 следует выбрать ближе к точке D, то есть на расстоянии, в одинаковое число раз меньше длин отрезков ВD и СD соответственно.

Во столько же раз отрезок GЕ окажется меньшим отрезка АВ, что вытекает из подобия (а не равенства) треугольников ВАD и ЕGD.

2. Решение можно осуществить путем построения прямоугольного треугольника ВАС и подобного ему треугольника АDС (рисунок 12), откуда следует, что АВ= (АС х АD)/СD.

3. Провесим прямую АС и на ней отметим произвольную точку F, из которой провешиваем прямую DF, параллельную АВ, треугольник АВС подобен треугольнику FD С по двум углам (рисунок 13) и АВ : DF=АС : DС, тогда АВ=(АС х DF)/DС.

7.   Расстояние между двумя недоступными точками

Вы находитесь на одном берегу реки, а на другом, недоступном для вас берегу, расположены два объекта. Как измерить расстояние между ними?

Решение.

1. Чтобы найти расстояние между недоступными точками А и В, лежащими на другом берегу реки, провешиваем на своем берегу произвольную прямую и отмечаем на ней точки М и N, а затем через любую точку К (выбираем точку К так, чтобы точки С и D были доступными), взятую на прямой МN, провешиваем прямые КС и КD, соответственно параллельные прямым АN и ВN.

Прямые КС и КD соответственно пересекаются с прямыми АМ и ВМ в точках С и D. Расстояния МN, СD и МК измеряем в процессе провешивания (рисунок 14). Получаем: АВ= (МN х СD)/МК.

2. Пусть А и В – недоступные точки, между которыми надо найти расстояние. Выберем на некоторой прямой три точки D, Е и F так, чтобы выполнялось равенство DЕ=ЕF.   При этом заранее побеспокоимся о том, чтобы точка С пересечения прямых АF и ВD оказалась доступной и лежала с той же стороны от прямой DF, что и отрезок АВ: этого можно достичь уменьшением отрезка DF и переобозначением его концов.

На продолжении отрезка СЕ за точку Е отметим точку G на расстоянии СЕ от точки Е. Далее найдем точку Н пересечения прямых DG и АЕ, а также точку К пересечения прямых FG и ВЕ. Тогда искомое расстояние будет равно КН.

Действительно, при преобразовании симметрии относительно центра Е точка С переходит в точку G, точка D – в точку F, прямая СD – в прямую GF, прямая ВЕ – в себя, а точка В пересечения прямых СD и ВЕ – в точку К пересечения FG и ВЕ. Точка А при этом  преобразовании переходит в точку Н, поэтому отрезок НК симметричен отрезку АВ относительно точки Е.

3. Для отыскания расстояния между двумя недоступными точками А и В, расположенными на противоположном берегу реки (рисунок 15) провешиваем произвольную прямую МN и отыскиваем на ней такие точки К и L, чтобы ВК и АL были перпендикулярны прямой МN. Разделив полученный таким образом отрезок КL пополам точкой О, провешиваем через точку О прямые АО и ВО и находим точки С и D их пересечения соответственно с прямыми АL и ВК. Полученный отрезок СD равен искомому расстоянию АВ.

Действительно, ВС параллельна АD по построению, треугольники ВОС и DОА равны по катету и острому углу, откуда ВС= АD, значит, по признаку параллелограмма АВСD – параллелограмм и АВ= СD.

8. Препятствие на прямой

Вам понадобилось измерить на местности расстояние между двумя объектами, разделенными зданием или другим препятствием, не позволяющим непосредственно проложить прямую между этими объектами. Как можно провести указанное измерение?

Решение.

        Пусть точки А и В – данные точки на местности, между которыми определяется расстояние. Выберем точку С, из которой видны обе точки А и В (рисунок 16). На продолжении отрезка АС за точку С отметим точку D на расстоянии Ас от точки С. Аналогично на продолжении отрезка ВС за точку С отметим точку Е, для которой СЕ=ВС.

Тогда отрезки ЕD и АВ равны как симметричные относительно точки С.

        Если же из-за недостатка места точки Е и D выйдут за пределы досягаемости, то их можно в определенное число раз приблизить к точке С. Тогда отрезок ЕD будет в то же число раз короче отрезка АВ, так как треугольники АВС и DЕС будут подобны.

2.9. Не замочив рукавов

Вы плывете на лодке по озеру и хотите узнать его глубину. Нельзя ли воспользоваться для этого торчащим из воды камышом, не вырывая его?

Решение.

        Слегка отклонив камыш и держа его в натянутом состоянии, замерим расстояние a между точками А и В, в которых камыш пересекает поверхность воды соответственно в вертикальном и наклоненном положении (рисунок 17).

        Возвратим камыш в исходное состояние и определим высоту b над водой, на которую поднимется при этом точка В наклоненного камыша, заняв исходное положение С. Тогда, обозначив через D основание камыша, а через х – искомую глубину АD, из прямоугольного треугольника АВD по теореме Пифагора  находим:

х2 + а2 = (х + b)2, откуда 2х = а2-  b2 и х= (а2- b2)/2b.

2.10. Измерение расстояния до недоступного объекта с помощью угломера (практическая задача)

Необходимые инструменты: вехи, угломер, рулетка, штатив.

Решение.

1. Провешиваем расстояние ВС.
2. Измеряем длину ВС рулеткой.
3. Измеряем углы В и С с помощью угломера.
4. Производим необходимые вычисления с помощью математической модели (приложение 1, рис. 18):

А = 1800 - В - С;

По теореме синусов: .

Результаты измерений и вычислений (приложение 4):

В = 850 , С =   880, А = 1800- 1730 = 70; ВС =  2м,

АВ2·0,9993 : 0,121916,40 м.

Расстояние ВС я измерил шагами, используя данные вспомогательной таблицы (задача 2.1): длина ВС равна 10 парам шагов, тогда ВС = 10 · 1,63 = 16,3 м, и рулеткой: ВС = 16,42 м.        

Найдем относительную погрешность измерений, принимая за точное значение расстояние, измеренное с помощью рулетки:

Заключение

Предлагаемые в работе способы построений и измерений не требуют специальных приборов и материальных затрат, что делает возможным их широкое применение в повседневной жизни. Например, при измерительных работах и строительстве на приусадебном участке, сельскохозяйственных работах и в лесничестве, а также в городских условиях, когда непосредственно по прямой нельзя подойти к нужному объекту или площадка для построений сравнительно небольшая.

В курсе планиметрии мы знакомимся с темой «Измерения на местности», учимся применять изученные теоремы для решения задач с практическим содержанием, знакомимся с приборами, предназначенными для измерительных работ. В условиях задач, которые предлагаются в учебнике, как правило, уже представлены все данные, необходимые для вычислений. Нужно только применить готовую формулу, чтобы получить искомый результат.

 Ценность работы состоит в том, что эти же данные приходится находить самим или искать нестандартный способ решения, опираясь на знание основных теорем планиметрии школьного курса.

Работу можно использовать как методическое пособие, задачи могут быть предложены учащимся на уроках геометрии при закреплении учебного материала или на факультативных занятиях в качестве задач с практическим содержанием.        

Список литературы

1. Атанасян Л.С. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 2000.
2. Варданян С.С. Задачи по планиметрии с практическим содержанием. – М.: Просвещение,1989.
3. Ганьшин В.Н. Простейшие измерения на местности. – М.: Недра, 1983.
4. Гурвич Л. Как я учил моего мальчика геометрии: Пособие для родителей и учителей. – М.: Грамотей, 2005.
5. Сергеев И.Н. Олехник С.Н. Гашков С.Б. Примени математику. – М.: Наука, 1989.

А

В1

С1

С2

        Приложение 1

Рисунок 1 (задача 1.1)

Рисунок 2 (задача 1.2)

А

Е

В

С

Д

Рисунок 3 (задача 1.4)

A

B

E

F

C

G

D

Рисунок 4 (задача 1.5)

A

B

C

M

D

E

N

F

O

Рисунок 5 (задача 1.7)

A

B

C

D

E

F

Рисунок 6 (задача 1.8)

 у

  х

в

  а

h

Рисунок 7 (задача 2.2.2)

A

N

B

F

H

T

R

E

C

Рисунок 8 (задача 2.2.3)

А

В

К

Е

F

D

C

Рисунок 9 (задача 2.2.4)

х

h

a

a

        b

c

y

C

B

A

z

Рисунок 10 (задача 2.4)

A

B

F

D

C

E

G

Рисунок 11(задача 2.5)

A

C

D

 B

Рисунок 12 (задача 2.6.2)

 A

C

F

D

B

Рисунок 13 (задача 2.6.3)

A

B

C

D

 M

K

N

Рисунок 14(задача 2.7.1)

A

D

C

B

М

О

L

K

                N

Рисунок 15(задача 2.7.2)

A

B

D

E

C

Рисунок 16(задача 2.8)

С

A

D

B

b

x

a

x+b

Рисунок 17(задача 2.9)

А

С

В

Рисунок 18 (задача 2.10)

Приложение 2

Угломер

Измерение углов на местности проводится с помощью специальных приборов. Простейшим из них является астролябия.

        Ниже представлен способ изготовления угломера, в основу которого положен принцип действия астролябии.

1. Наклеить рисунки на плотный картон.
2. В линейке сделать означенную прорезь.

1. Свернуть и склеить из тонкого картона трубку.
2. Приклеить трубку к линейке по пунктирной линии.
3. Проколоть точки, отмеченные в центре круга и середине линейки.
4. Насадить круг и линейку на шуруп (булавку, кнопку и т.п.) так, чтобы линейка могла свободно вращаться.
5. Закрепить свободный конец шурупа (булавки и т.п.) для того, чтобы линейка не спадала (приложение 4, рисунок 21).