Презентация по теме "Разбиение множеств на части меньшего диаметра"

Слайд 1

Разбиение множеств на части меньшего диаметра Мукин Тарас, 9 а класс МАОУ Лицей №14 (Работа выполнена на XXIII Летней конференции Турнира городов, г . Белорецк, 02-10 августа 2011 год)

Слайд 2

Определения Назовем диаметром множества на плоскости величину Т.е. по сути диаметр множества = это наибольшее из расстояний между любыми двумя его точками. Рассмотрим произвольное ограниченное (содержащее свою границу) множество . Положим, его диаметр равен 1. Требуется как можно экономнее разбить на несколько множеств меньшего диаметра. Иначе говоря, требуется представить в виде: где для любого верно в данном случае есть количество данных множеств, которое требуется минимизировать. Минимальное из всех данных в двумерном пространстве есть , которое требуется найти.

Слайд 3

Общая задача Найти формулу, задающую в - мерном пространстве для произвольного .

Слайд 4

Вспомогательные задачи Задача 1. Доказать, что Доказательство. Очевидно . Так как любое множество диаметра 1 на прямой можно поместить внутри отрезка длины 1, то достаточно разбить отрезок на части меньшего диаметра: например, пополам. Задача 2. Доказать, что Доказательство. Для доказательства данного утверждения достаточно привести пример множества на плоскости диаметра 1, которое нельзя разбить на две части меньшего диаметра. Простейший вариант – три точки в вершинах равностороннего треугольника со стороной 1. Предполагая, что разбиение на две части удалось, имеем два множества, хотя бы в одном из которых находятся хотя бы две исходные точки (пусть в . Они находятся на расстоянии 1, и, следовательно, диаметр этого множества равен 1. Противоречие. 1 1 1

Слайд 5

Вспомогательные задачи Задача 3. Доказать, что Доказательство. Аналогично задаче 2 достаточно привести пример множества в трехмерном простарнстве диаметра 1, которое нельзя разбить на три части меньшего диаметра. Простейший вариант – «аналог» равностороннего треугольника в пространстве – тетраэдр (достаточно его вершин. Вновь предполагая, что разбиение на три части возможно, имеем три множества, хотя бы в одном из которых находятся хотя бы две исходные точки (пусть в . Они находятся на расстоянии 1, и, следовательно, диаметр этого множества равен 1. Противоречие. 1

Слайд 6

Вспомогательные задачи Задача 4. Доказать, что Доказательство. Рассмотрим в -мерном пространстве «аналог» правильного тетраэдра и правильного треугольника - - мерный симплекс. Симплекс – фигура состоящая из точки, расстояние между любыми двумя из которых равно 1. Т.о . отрезок длины 1 – 1-мерный симплекс, правильный треугольник – 2-мерный симплекс, и правильный тетраэдр – 3-мерный симплекс. Вновь предполагая, что разбиение на частей возможно, найдется множество, включающее в себя хотя бы 2 из данных точек (вершин симплекса). Противоречие. Четырехмерный симплекс ABCDE ( проекция на плоскость).

Слайд 7

Результаты Важнейший из полученных результатов – доказательство истинности На данный момент это лучшая из оценок , которые можно получить простыми выкладками. Впервые задачей заинтересовался К.Борсук в 1933 году. Изначально изучению подверглось только двумерное пространство, но позднее была сформулирована гипотеза Борсука : в точности равно . Данная гипотеза была опровергнута лишь в 1993 году построением примера. Для современной математики задача является одной из самых важных, т.к. ее решение даст огромный толчок для определенных частей топологии, а возможно и всей топологии в целом На данный момент точной формулы для не существует.

Слайд 8

Разбиение множеств на части меньшего диаметра Мукин Тарас, 9 а класс МАОУ Лицей №14 ( Работа выполнена на XXIII Летней конференции Международного математического Турнира городов, г. Белорецк, 02-10 августа 2011 год)