Математические или волшебные таблицы были известны еще арабам и индусам. В Европе они появились в XV веке благодаря византийскому писателю Мосхопуло.
Средневековые звездочеты верили в магическую силу этих таблиц, которые по их убеждению могли служить талисманом против болезней, например, чумы. Решение задач на математических таблицах это не просто развлечение. Решая табличные головоломки и показывая на них фокусы развиваются математические способности, сообразительность, логическое мышление. Здесь объединяются учение и игра, труд и отдых, но для таких занятий нужны и воля, и упорство, и настойчивость в достижении цели.
Работая с математическими таблицами, мы вывели некоторые формулы для быстрого счета.
Вложение | Размер |
---|---|
doklad.doc | 116 КБ |
Выполнили: ученицы 7 «В»
«МОУ СОШ №93»
Шинкина Ксения,
Тодорова Кристина.
Учитель: Серебрякова И.В.
Содержание
Введение.
Нахождение сумм ряда чисел при помощи таблиц.
Математические фокусы. Знакомство с некоторой волшебной таблицей.
Решение математических задач с применением выведенных формул.
Заключение.
Список используемой литературы.
Математические волшебные таблицы.
Математические или волшебные таблицы были известны еще арабам и индусам. В Европе они появились в XV веке благодаря византийскому писателю Мосхопуло.
Средневековые звездочеты верили в магическую силу этих таблиц, которые по их убеждению могли служить талисманом против болезней, например, чумы. Решение задач на математических таблицах это не просто развлечение. Решая табличные головоломки и показывая на них фокусы развиваются математические способности, сообразительность, логическое мышление. Здесь объединяются учение и игра, труд и отдых, но для таких занятий нужны и воля, и упорство, и настойчивость в достижении цели.
Работая с математическими таблицами, мы вывели некоторые формулы для быстрого счета.
Стр. 1
Нахождение сумм ряда чисел при помощи таблиц .
Пусть нам нужно найти сумму 1+2+3+4+5+6+7=?
1 |
2 |
3 | Б |
4 |
5 |
6 | А |
7 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Если мы воспользуемся клетчатой бумагой. Возьмём на такой бумаге 7 рядов по 8 клеток в каждом и разделим такой прямоугольник на 2 (совершенно одинаковые) части А и Б так, как показано на рисунке жирной линией. Посмотрим внимательно сначала только на часть А, и мы увидим, что в ней в верхнем ряду находится 1 квадратик, во втором ряду- 2 квадратика, а следующем ряду- 3 квадратика и т.д., а в последнем (нижнем) ряду – 7 квадратиков. Таким образом, в части А содержится всего 1 +2+3+4+5+6+7 квадратиков, т.е. как раз сумма чисел нашего ряда. Чтобы узнать, чему равна эта сумма, можно, конечно, сложить все эти числа, и тогда мы получим 28*. Но сделать это не всегда бывает легко и вот почему.
Представьте себе, что в нашем ряду находились бы числа от 1 до 500.Тогда пришлось бы складывать 500 чисел, а это, разумеется, и долго, и скучно. Вместо этого проще поступить так: на нашем чертеже имеется 7 рядов по 8 клеток, т.е. 7х 8 = 56 клеток. В части А клеток вдвое меньше (так как части А и Б совершенно одинаковы), т. е. 56: 2 = 28 клеток.
Точно таким же образом можно узнать и сумму чисел от 1 до 500. Для этого надо только выполнить следующие действия :
(500х501): 2=25.250
Это, конечно, гораздо короче, чем выполнить сложение.
Стр.2
Надо найти сумму 2+4+6+8+10+12+14= сумму четных чисел, но количество их тоже 7.
Опять обратимся к прямоугольнику 7Х8;
|
S= (14 Х16)/4=14 Х4=56.
Выведенные правила:
При сложении ряда натуральных чисел 1,2,3.. надо: умножить последнее число в ряду на следующее натуральное число и поделить на 2.
При сложении ряда четных положительных чисел 2,4,6… надо: умножить последнее число в ряду на следующее за ним четное число и поделить на 4.
Чтобы найти сумму ряда нечетных чисел надо: число, следующее за последним в ряду числом, умножить само на себя и поделить на 4.
Последнее правило выведено, решая различные примеры:
Стр. 3
Математические фокусы. Знакомство с некоторой волшебной таблицей.
Пример №1.
1+3+5+7+9+11+13=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13-(2+4+6+8+10+12)=13х14:2-12х14:4=14х(26-12):4=14х14:4=7х7=49
Стр. 4
Волшебная таблица
1+3+5+…+19=(1+2+3+…+19)-(2+4+6+…+18)=19*20/2-18*20/4=(38-18)*20/4=20*20/4=100. Волшебная таблица.
Эта таблица, состоящая из чисел от 1 до 31, вписанных известным образом, отличается следующим «волшебным свойством»:предложите задумать любое число от 1 до 31, и пусть вам только укажут в каких столбцах встречается задуманное число, и тогда вы имеете возможность безошибочно назвать его.
Например, вам скажут, что задуманное число находиться в 1-м,3-м,4-м и 5-м рядах, сложите числа, стоящие в этих рядах внизу(набранные жирным шрифтом), т.е. 1+2+4+16=23. Таким же образом можно указать любое другое число. Такую же волшебную таблицу вы можете составить, заменив числа от 1 до 31 столькими же именами(мужскими или женскими).
Стр.5
1-й ряд | 2-й ряд | 3-й ряд | 4-й ряд | 5-й ряд |
16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
17 | 9 | 5 | 3 | 3 |
18 | 10 | 6 | 6 | 5 |
19 | 11 | 7 | 7 | 7 |
20 | 12 | 12 | 10 | 9 |
21 | 13 | 13 | 11 | 11 |
22 | 14 | 14 | 14 | 13 |
23 | 15 | 15 | 15 | 15 |
24 | 24 | 20 | 18 | 17 |
25 | 25 | 21 | 19 | 19 |
26 | 26 | 22 | 22 | 21 |
27 | 27 | 23 | 23 | 23 |
28 | 28 | 28 | 26 | 25 |
29 | 29 | 29 | 27 | 27 |
30 | 30 | 30 | 30 | 29 |
31 | 31 | 31 | 31 | 31 |
16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
Стр.6
Решение математических задач с применением выведенных формул.
Задача №1
Сколько ударов в сутки делают часы с боем?
Примечание. Предполагается, что часы бьют только тогда, когда показывают целое число часов.
Решение:
Сумма ударов часов равняется удвоенной сумме чисел ряда 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 и 12. Вычисляем эту сумму по выведенному правилу:
1+12=13
13х12=156
Делить эту сумму на 2 в этой задаче не следует, так как результат всё равно пришлось бы удвоить. Таким образом, за сутки часы пробьют 156 раз.
Стр.7
Задача №2
Журавли обыкновенно летают стаями так, что образуют треугольник: впереди один журавль(вожак), за ним два, потом три журавля и т.д.
Сколько летело в стае журавлей, если в последнем ряду их было15?
Решение: Число журавлей в стае равно сумме чисел 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 и 15. Эта сумма равна [(1+15)х15:2]= 120.
2 ряд |
3 ряд |
1 ряд |
4 ряд |
Стр.8
Заключение.
Простая, но замечательная по своей глубине и значимости идея о том, что «человек разумный» - есть в первую очередь «человек играющий», и потому обучаться даже самым серьезным вещам следует по возможности играя, приходила в голову людям на протяжении всей истории человечества: писавшим клинописью на глиняных табличках в Древнем Вавилоне, водившим тростниковым каламом по папирусу в Древнем Египте, их преемникам через много веков в средневековой Европе.
Мы показали, как можно выводить формулы для быстрого счета, при помощи математических таблиц. Но это лишь малая доля того, что можно получить, используя такие таблицы.
Мы надеемся, что сумели заинтересовать вас такими интересными задачами.
Стр.9
Список используемой литературы.
1. Аминицкий Н.Н., Сахаров И.П. «Забавная арифметика»
Математическая энциклопедия для школьников.
Стр.10
14
2
12
10
8
6
4
2
4
6
14
12
10
8
Саратов, 2011г.
Заяц, косач, медведь и весна
И тут появился изобретатель
Кто чем богат, тот тем и делится!
Хитрость Дидоны
Осенняя паутина