Проект по теме: "Комплексные числа"

Закутаева С.    Числа не управляют миром, но показывают, как   управляется мир»      (Гете).

Тема проекта:     «Комплексные числа». Сегодня мы поговорим о числах для вас мало знакомых . Некоторые из вас даже не знают ,что такие существуют. Мы постараемся популярно объяснить, что представляют из себя эти числа, расскажем какие действия над ними можно выполнять, решим несколько простых и более сложных задач, и думаем что эти числа вас заинтересуют .

Введение. (слайд 1-2)

- Мальцева К.  Решая уравнения n-oй  степени, мы определяем количество возможных корней этого уравнения. Так, линейное уравнение имеет не более одного решения, квадратное – не более двух. Возникают серьезные проблемы при решении кубических   уравнений, которые должны иметь три корня, так как после разложения многочлена на линейные множители возникает необходимость решения квадратного уравнения. И вдруг оказывается, что дискриминант отрицателен, то есть квадратное уравнение корней не имеет. А это значит, что кубическое уравнение вместо трех корней имеет один корень. Почему?

-Закутаева С. (Слайд 2).  Чтобы простейшее квадратное уравнение Х2+1=0 имело корни ,приходится расширять множество действительных чисел, добавляя к ним новые .Эти числа вместе с действительными образуют множество комплексных чисел. Если комплексные числа введены, то , то и уравнение Х2+1=0 должно иметь корень.

Мальцева К. (слайд 3) Этот корень обозначается буквой i. И называют его мнимой единицей. Таким образом i –это такое комплексное число, что  

 i2 =-1.

Закутаева С слайд 4)

 Немного истории.    Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» итальянским  алгебраистом  Джероламо Кардано  (1545), который счёл их непригодными к употреблению.

-Мальцева К.(слайд 5) Пользу мнимых величин,  в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил его соотечественник Рафаэлле Бомбелли В своей книге им были установлены  первые правила арифметических операций над комплексными числами. Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами, вплоть до извлечения из них корней третьей степени.

Закутаева С.(слайд 6-7)Название  мнимые  числа  в 1637 году было введено французским математиком и философом Рене.Декартом. А в 1777 году один из крупнейших алгебраистов XVIII века  - Леонард Эйлер – предложил использовать первую букву французского слова  imaginaire   (мнимый) для обозначения числа i  =.            

Мальцева К(слайд 8-9) В конце XVIII  века французский математик Жозеф Луи  Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а Якоб Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Также с помощью мнимых  величин были решены прикладные задачи, связанные с картографией и гидродинамикой.

Закутаева С. (слайд 10) Комплексными (т.е составными) числами называют выражения вида  а+bi

   Алгебраическая форма  комплексного числа

                           z = a + b∙ i,    a ∈ R, b ∈ R,              .

          а = Re z -  действительная часть z (вещественная часть);

          b = im z -  мнимая часть числа  z .        

  Если   а≠0,  b≠0,   то     z- мнимое число ,например  z = 97- 7i .

  Если   а=0,   b≠0,  то     z- мнимое число, например  z=55i.

  Если   а≠0,   b=0,  то     z -действительное число Z = -4

Мальцева Ксения (Слайд 11-12)

Cтепени числа i :

z = a+bi  и  = a-bi  -    сопряженные числа;

сумма и произведение сопряженных чисел являются действительными числами  ( Z +  = 2a ,    z∙ =

z = a+bi  и  = -a- bi   – противоположные числа;

сумма двух противоположных чисел равна 0  (  Z +)

Закутаева С. (Слайд13)    Над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять все арифметические операции как над обычными двучленами, учитывая, что .

Условие равенства комплексных чисел  z1 = a1+b1 i   и z2 = a2+b2 i  

z1= z2  , если  a1= а2    и  b1 = b2 .  

Сумма комплексных чисел  z1 = a1+b1 i   и z2 = a2+b2 i  равна

z1+ z2 = (a1+b1 i )+( a2+b2 i )=(а1+a2)+(b1+b2)∙i ,

сумма двух противоположных чисел равна  0.

Разность комплексных чисел  z1 = a1+b1 i   и z2 = a2+b2 i  равна

z1- z2 = (a1+b1 i )-( a2+b2 i )=(а1-a2)+(b1-b2)∙i ,

Произведение комплексных чисел  z1 = a1+b1 i   и z2 = a2+b2 i  равно

z1∙ z2=(a1+b1 i )∙ ( a2+b2 i ) = (а1∙ а2 - b1∙ b2)+(a2∙b1+b2∙ a1)∙ i ;

Частное комплексных чисел  z1 = a1+b1 i   и z2 = a2+b2 i  равно

    .

Закутаева С . А сейчас  мы проверим, как вы усвоили представленный нами  материал. Проведем небольшой тест  (слайд 14-15)

Слайд (16-17)

Мальцева К.        Понятие комплексной плоскости.( Слайд  18)     

                    Комплексная плоскость С - плоскость с прямоугольной системой координат х , у , каждая точка которой ( х ; у )  отождествлена с комплексным числом z=x+yi . Поэтому на комплексной плоскости говорят о точках z  или о векторах z,подразумевая вектор, приложенный в начале координат с концом в точке Z. Ось абсцисс  ОХ на комплексной плоскости называется действительной осью, а ось ординат ОУ – мнимой.  Поле С является алгебраическим расширением поля действительных чисел и получается присоединением к полю R –множества действительных чисел  корня i многочлена  х2+1. Поле С алгебраически замкнуто: любой многочлен с коэффициентами из С разлагается над   С на линейные множители.  Поле С является единственным минимальным расширением поля R,  в котором уравнение х2+1 имеет корень.

Закутаева С.   Геометрическая форма  комплексного числа   (Слайд 18) Комплексное число z = a+bi   изображается на плоскости с декартовыми прямоугольными координатами точкой, имеющей координаты (a;b).Эта точка обозначается той же буквой z. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, чисто – мнимые – точками оси ординат.            Комплексное число изображается также вектором на комплексной плоскости с началом в точке О и концом в точке Z.Изображение комплексных чисел векторами позволяет дать простое истолкование операциям над комплексными числами.

Мальцева К. (слайд 19)

                Сумма комплексных чисел строится по обычному правилу сложения векторов, т.е. по правилу параллелограмма:

                                     Y                                                Z(x;y)=Z1(x1;y1)+Z2(x2;y2)

                                                  Z1(x2;y2)

                                        O                             Z2(x1;y2)         X                                                                                                                                    

3.5  Разность комплексных чисел строится по правилу                  вычитания векторов:

                                    Y                                           Z(x;y)=Z1(x1;y1)+(-Z2(x2;y2))

                                               Z1(x1;y1)

Закутаева С  (слайд 20-21)   Тригонометрическая форма комплексного числа.

Модулем комплексного числа Z (a;b) = a+bi  называется длина вектора, соответствующего этому числу                      Комплексные числа z,  имеющие один и тот же модуль   соответствуют , очевидно, точкам комплексной плоскости, расположенным на окружности радиуса r с центром в начале координат. Если z≠0, то существует бесконечно много комплексных чисел с данным модулем. Модуль, равный нулю, имеет только одно комплексное число, а именно z = 0.

                      Геометрически очевидно, что комплексное число z≠0   будет задано, если помимо модуля числа z ,указать направление вектора z,задав например, величину угла φ.

                               b                         z=a+bi

                                             φ                          х

                             O                       a

Аргумент комплексного числа есть –величина угла 𝛗между положительным направлением действительной оси и вектором z , причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательный, если отсчет  производится по часовой стрелке.

Закутаева Светлана (слайд 21)

Тригонометрическая форма записи комплексного числа Z.

a= r∙    b = r∙

Z = r ∙ (cos𝛗 + i∙sin𝛗) , где r ∙ cos𝛗 = Re Z;   r ∙ sin𝛗=Im Z;       r=,  

Cos𝛗 =,   Sin  =  

𝛗=Arg Z – главный аргумент (фаза, амплитуда) комплексного числа Z,  -π<φ≤π.

Мальцева К. (слайд  22)

Для комплексных чисел

Z1= r1∙ (cosφ1+i∙sinφ1)  и  Z2= r2∙(cosφ2+isinφ2)  cправедливы равенства:

      Z1∙Z2= r1∙r2∙ ( cos (φ1+ φ2)+i∙sin(φ1+φ2));

      Z1: Z2= r1: r2∙ ( cos (φ1- φ2)+i∙sin(φ1-φ2));

Для n-oй степени числа Z справедливо равенство:Zn= rn (cos(nφ)+i∙sin(nφ)), n∈N

При r =1 соотношение принимает следующий вид и называется формулой Муавра:

(cosφ+i∙sinφ)n=cos(nφ)+i∙sin(nφ).

Закутаева С.Решение задачслайд  23-24

Пример:

Z=8+6∙i  - алгебраическая форма  

r =

cos φ ==    sinφ =   Z = 10(

Мальцева Ксения. Решение задач (Слайд 25-26)

Решить уравнение.

2.Решить уравнения

Закутаева С. Решение задач см.слайд 27-28

Мальцева К. Решение задачи см.слайд 29

Мальцева К,Закутаева С------30

     Построение комплексных множеств на плоскости.

     Пример 1.

Решить систему неравенств  

Решение

Так как  Z = x + y∙i   , x∈R, y∈R , то

а)  первое условие  примет вид :

2≤

2≤

4≤   Это множество точек, лежащих внутри  и на границе кольца между окружностями с центром (1;0) и радиусами, равными 2 и 3;

б) второе условие примет вид:

0≤y≤  →  искомое множество есть часть кольца, ограниченная отрезками прямых : Y=0 и Y=√5.

Решение данной системы есть следующее множество точек, изображенных на плоскости:

                                                    Y

                                                                                                                        X

                                                              O           1

                  Мальцева К,Закутаева С------30

                                              Y      

Зачем нужны комплексные числа ( некоторые высказывания знаменитых ученых о комплексных числах).

Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир (Гете).

Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия  бытия с небытием.  ( Г. Лейбниц).

Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н. Е. Жуковский (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции от комплексного  переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.

Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы  и иероглифы нелепых качеств (Л.Карно).

Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются  на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают все более широкое распространение.(Ф.Клейн)

Заключение. 

В настоящем проекте дано понятие комплексных чисел, история  их возникновения. 

 Рассмотрены примеры действий с комплексными числами.

Приведены  примеры решения уравнений с комплексными  переменными, что позволяет решить любые квадратные уравнения, даже с отрицательным дискриминантом.

 Также рассмотрена  геометрическая интерпретация комплексных чисел в виде векторов.

Используемая литература.

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, Н. Е. Федорова,    М. И. Шабунин. Учебник для 8 класса по алгебре.- М.:   Просвещение, 1994.-С.134-139.

И. С. Петраков. Математические кружки в 8-10 классах.- М.: Просвещение, 1987.- С.50-52.

А. П. Савин. Энциклопедический словарь юного математика.-М.: Педагогика, 1989.- С. 143-147.

 Афанасьев О.Н., Бродский Я.С. Сборник задач по математике для техникумов.