Научно-практическая работа "Десять правил расположения корней квадратного трехчлена. Решение параметрических задач"

«Десять правил расположения корней квадратного трехчлена»
Выполнил: Суслов Михаил Олегович,учащийся 11В класса ГОУ СОШ №618 Руководитель: Макарова Татьяна Павловна, учитель математики
Поставленные цели:
Изучить десять готовых правил, при помощи которых решаются параметрические задачиОбеспечить более полное раскрытие применения этих правил в решении задачПредложить задания, которые решаются аналогичным образом
Формулировка правил.
ПРАВИЛО 1. Квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) ( 1 ) не имеет решений тогда и только тогда, когда D < 0.ПРАВИЛО 2.1. Квадратное уравнение ( 1 ) имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D > 0.ПРАВИЛО 2.2. Квадратное уравнение ( 1 ) имеет два, может быть, кратных корня тогда и только тогда, когда D ≥ 0.
Формулировка правил
ПРАВИЛО 3.1. Квадратное уравнение ( 1 ) имеет два корня х1 < М и х2 > М тогда и только тогда, когда аf( M ) < 0.ПРАВИЛО 3.2. Квадратное уравнение ( 1 ) имеет два корня x1 = M < x2 ( x1 < M = x2 ) тогда и только тогда, когда
ПРАВИЛО 4.1 И ПРАВИЛО 4.2
Квадратное уравнение x2 + px + q = 0 ( 2 ) (( 1 ) при a ≠ 0 ) имеет два разных корня x1 , x 2 > M тогда и только тогда, когдаКвадратное уравнение ( 2 ) (( 1 )) имеет два, может быть, кратных корня x1, x2 > M тогда и только тогда, когда
Формулировка правил
ПРАВИЛО 5.1. Квадратное уравнение ( 2 ) (( 1 )) имеет два разных корня x1 ,x2 < M тогда и только тогда, когдаПРАВИЛО 6.1. Квадратное уравнение ( 2 ) (( 1 )) имеет корни x1 < m < M < x2 тогда и только тогда, когда
ПРАВИЛО 8.1.
Квадратное уравнение ( 1 ) имеет разные корни m < x1 < x2 < M (может быть кратные корни m < x1 ≤ x2 < M ) тогда и только тогда, когда
ПРАВИЛО 9 И ПРАВИЛО 10
Квадратное уравнение ( 2 ) (( 1 )) имеет один корень внутри интервала ( m; M ), а другой расположен вне этого интервала тогда и только тогда, когда f( m )f( M ) < 0Квадратное уравнение ( 1 ) имеет единственное решение x1 = x2 > M ( x1 = x2 < M ) тогда и только тогда, когда
Небольшие комментарии
график функции у = x2 + p x + q
Доказательство правила 3.1
Поскольку корней два, то а ≠ 0. При а > 0 уравнение имеет корни x1 < M < x2, если f( M ) < 0, а при а < 0 – при f( M ) > 0. Эти условия эквивалентны неравенству аf( 0 ) < 0.
Примеры решения задач
Пример 1. При каких значениях а уравнение х2 - 2ах + а2 + 2а - 3 = 0а)не имеет корней;б)имеет корни разных знаков;в) имеет положительные корни;г) имеет два разных отрицательных корня?
Решение
а) По правилу 1 решений нет, когда D <0, D = - 4( 2а – 3 ) < 0, откуда а > 1,5.б)По правилу 3.1 для М = 0 имеем f( 0 ) = а2 + 2а - 3 < 0, откудав)По правилу 4.2 для М = 0
Пример 1. Решение.
г) По правилу 5.1 для М = 0
Откуда
Решение задач. Пример 4.
При каких значениях а один из корней уравнения х2 + 2(а - 1)х + а - 5 = 0 по модулю больше 1, а другой - меньше 1?
Решение.
Нас интересуют те значения параметра, при которых один корень уравнения принадлежит интервалу ( -1;1 ), а второй расположен вне этого интервала. По правилу 9 имеем f( - 1 ) f( 1 ) = ( - а – 2 )( 3а – 6 ) < 0, Откуда
Пример 12. При каких значениях а уравнение sin2x + (1 - 2a)sinx + a2 – 1 = 0 не имеет решений?
Решение. После замены t = sinx получается уравнение t2 + ( 1 - 2a )t + a2 – 1 = 0. Первоначальное уравнение не имеет решений в четырех случаях:1. когда полученное квадратное уравнение само не имеет решений;2. его возможные может быть совпадающие корни меньше - 1.3. его возможные может быть совпадающие корни больше - 1.4. наконец, когда имеет корни x1 < - 1 и x2 > 1.
Решение примера 12.
Первый случай реализуется неравенством D = - 4а + 5 < 0. Откуда а > 5/4.Второй случай реализуется как системаОткуда
Откуда
Решение примера 12.
Третий случай реализуется системойЧетвертый случай реализуется как системаОбъединяя все случаи, получаем ответ:
Практическая часть
1. При каких значениях а уравнение х4 - 4х2 = а имеет четыре различных корня?
х4 - 4х2 = а; х4 - 4х2 – а = 0; Замена, х2 = t, t ≥ 0, имеем t2 - 4t – a = 0. Исходное уравнение имеет четыре различных решения только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет два разных положительных решения, т.е.
4. При каких значениях а уравнение 2х4 - 2ах2 + а2 – 2 = 0 не имеет решений?
Решение. 2х4 - 2ах2 + а2 – 2 = 0;Замена, х2 = t, t ≥ 0, то 2t2 - 2at + a2 – 2 = 0; По правилу 1 квадратное уравнение не имеет решений тогда и только тогда, когда D < 0.D1 = а2 - 2( а2 – 2 ) = 4 - а2 < 0, откуда ( -∞; - 2 ) U ( 2; +∞) Ответ: ( -∞; - 2 ) U ( 2; +∞ )
Практическая часть
7. При каких значениях а система имеет решения?
Решение.
Заметим, что из второго уравнения у ≤ 2. Значит, система будет иметь решения, если хотя бы один корень первого уравнения не больше 2. То, ( а – 1 ) у2 – 2 ( 3а + 1 ) у + 9а = 0; D = ( 3а + 1 )2 – 9а ( а – 1 ) = = 9а2 + 6а + 1 – 9а2 + 9а = 15а + 1; Чтобы уравнение имело корни, дискриминант должен быть не отрицательным. D ≥ 0, 15а + 1 ≥ 0, откуда а ≥ -1/15
Практическая часть. Пример 7.
У1,2 ≤ 2
Практическая часть. Пример 7.
1).
2).
Задания для самостоятельного решения
При каких значениях а уравнение
имеет решения?
2.При каких значениях а уравнение
имеет одно решение?


3. Решите уравнение log2 ( 4х – a ) = x

Задачи для самостоятельного решения.
4. При каких значениях а уравнение имеет одно решение?
5. Решить уравнение
Заключение
Таким образом, можно решить практически любое задание на параметры, что я и продемонстрировал в своей работе. Владение ими поможет сэкономить время на проверочных работах в школах и на вступительных экзаменах в институтах.СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!