Заглянем в мир формул. Решение уравнений 3-й степени. Формула Кардано.

МОУ ДОД  Дворец  творчества  детей  и  молодежи

Донская  Академия  Наук  Юных  Исследователей

Секция: математики - алгебра и теория чисел

Исследовательская  работа

«Заглянем в мир формул»

по теме                  «Решение уравнений 3 степени»

Автор работы:                                                                                                       ученица 11 «А» класса                                                                                          Симонян Альбина Левоновна                                                                                МОУ СОШ №7

Руководитель:                                                                                                                учитель математики                                                                                          Бабина Наталья Алексеевна                                                                          

Г.Сальск 2010

Содержание:

1. Введение …………………………………………………………………………….3                                                                                  
2. Основная часть…………………………………………………………………….4        
3. Практическая часть……………………………………………………………10-13
4. Заключение………………………………………………………………………….14
5. Литература…………………………………………………………………………..15
6. Приложения

1.Введение

              Математическое образование, получаемое в общеобразовательных  школах, является важнейшим компонентом общего образования и обшей  культуры современного человека. Практически все, что окружает человека –это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике, информационных технологиях не оставляет сомнения, что и в будущем  положение вещей остается прежним. Поэтому решение многих  практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научится решать.                                                                                                               Линейные уравнения первой степени,  нас учили решать еще в первом классе, и особого интереса к ним мы не проявляли. Интереснее нелинейные уравнения – уравнения больших степеней. Математика выявляет порядок, симметрию и  определенность, а это – высшие виды прекрасного.                                                    

              Целью моего проекта”Заглянем в мир формул” по теме “Решение кубических уравнений третий степени”, является систематизирование знаний о способах решения кубических уравнений, установление факта существования формулы для нахождения корней уравнения третий степени, а также связи между корнями и коэффициентами в кубическом уравнении.                                                                        Мы  на занятиях   решали уравнения и кубические, и степени выше 3-х.                   Решая уравнения  разными методами, мы складывали, вычитали, умножали, делили коэффициенты, возводили их в степень и извлекали из них корни, коротко говоря, выполняли алгебраические действия.                                                                    Есть формула  для  решения квадратных уравнений. А существует ли  формула для   решения уравнения  третьей степени,   т.е.  указания, в каком именно порядке и какие именно алгебраические действия надо произвести с коэффициентами, чтобы получить корни. Мне стало интересно  узнать, не попытались ли известные  математики отыскать общую формулу, пригодную для решения  кубических  уравнений?  А если попытались, смогли ли они получить выражение корней через коэффициенты уравнения?

2. Основная часть:

    В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах ,содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в  саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества.                                                                                                   Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда Бен Мусы ал-Хорезми.

     Так у меня  возникла идея создания проекта  «Заглянем в  мир формул…»,  основополагающими вопросами  данного проекта стали:

3. установление, существует ли формула для решения кубических уравнений;
4. в случае положительного ответа - поиск формулы, выражающей корни кубического уравнения через конечное число алгебраических операций над его коэффициентами.

Так как в учебниках, да и в других книгах по математике, большинство рассуждений и доказательств проводится не на конкретных примерах, а в общем виде, то я решила искать частные примеры, подтверждающие или опровергающие мою мысль.                                                                                                                                  В поисках формулы решения кубических уравнений  я решила  действовать  по знакомым алгоритмам решения квадратных    уравнений. Например, решая уравнение х3+2х2  - 5х -6=0 выделила полный куб, применив формулу (х+а)3=х3+3х2 а+3а2х+а3.                                                                                             Чтобы выделить полный куб из левой части взятого мной уравнения,   превратила в нем   2х2 в 3х2а, т.е. искала  такое а, чтобы было справедливо равенство                         2х2 = 3х2а. Нетрудно было вычислить, что а = .                                                   Преобразовала левую часть данного уравнения следующим образом:                х3+2х2-5х-6=0                                                                                                                      

(х3+3х2 а+ 3х. + ) - 3х.  -  - 5х - 6= (х+)3 - 6х - 6                          Сделала подстановку   у = х + , т.е.  х = у -                                                               у3    -  6(у - ) - 6=0;                                                                                                             у3   -  6у + 4- 6=0;                                                                                             Исходное уравнение приняло вид:                                                                                         у3     -  6у - 2=0;                                                                                               Получилось не очень-то красивое уравнение, ведь вместо целых коэффициентов у меня теперь дробные, хотя  и  исчез член уравнения, содержащий квадрат неизвестного!                                                                                                          Приблизилась ли я к цели?  Ведь член, содержащий первую степень неизвестного, остался. Может быть, надо было выделить  полный куб так, чтобы исчез член – 5х?                                                                                                                                (х+а)3=х3+3х2 а+3а2х+ а3.                                                                                       Отыскала такое а, чтобы                                                                                                                          3а2х = -5х; т.е. чтобы  а2 = -                                                                                            Но тут-то получилось совсем нехорошо – в этом равенстве слева стоит положительное число, а справа – отрицательное. Такого равенства  быть не может.                                                                                                                      Уравнение пока мне  не удалось решить,  я смогла  его привести лишь к виду         у3     -  6у - 2=0.  

 Итак, итог  проделанной мной работы  на  начальном этапе: смогла  из кубического уравнения удалить член, содержащий вторую степень, т.е.  если дается каноническое  уравнение ах3+вх2+сх+d,  то его можно привести к неполному кубическому уравнению  х3+рх+q=0.                                                       Далее,  работая с разной справочной   литературой,  я  смогла  узнать,  что уравнение вида х3+рх=q  удалось решить итальянскому математику  Даль Ферро  (1465- 1526).                                                                                                                  Почему  для такого вида, а не  для вида  х3+рх+q=0?  Это    потому что,  тогда еще не были   введены отрицательные числа и уравнения рассматривались лишь с положительными коэффициентами. А отрицательные числа получили признание чуть попозже.                                                                                                                    Историческая справка: Даль Ферро подбирал многочисленные варианты по аналогии  с формулой корней приведенного   квадратного уравнения. Рассуждал он так:  корень квадратного уравнения есть - ±   т.е. имеет вид:                     х=t ±  .  Значит, корнем кубического  уравнения   тоже должна быть сумма или разность каких –то чисел, причем, наверное, среди них должны быть и корни третьей степени.  Каких - же именно?  Из многочисленных вариантов один оказался удачным: ответ он нашел в виде разности -  Еще труднее было догадаться, что t   и   u  надо  подобрать так, чтобы   =.                                                                                                   Подставив вместо х разность - ,  а вместо р произведение      получили:            (- )3  +3 (- )=q.                                                                                        Раскрыли скобки:                                                                                                                           t - 3 +3- u+3- 3=q.                                                                               После приведения подобных членов получили:                                                                                                             t-u=q.

Получилась система уравнений:                                                                                                        

t u = ()3                                                                                                                                                    t-u=q.                                                                                                                           Возведем правую и левую части первого уравнения в квадрат, а второе уравнение умножим на 4 и  сложим первое и второе уравнения.                                                          4t2 +2tu +u2 =q2 +4()3;                                                                                                   (t+u)2=4()+()3                                                                                                                       t+u =2                                                                                                            Из новой системы                                                                                                                          t+u=2 ;                                                                                                                                t -u=q                                                                                                                                       имеем: t= +  ;  u= -  .                                                        Подставив  вместо  х  выражение  -   получили                                                                                                                                       В ходе работы над проектом я узнала любопытнейшие материалы. Оказывается, Даль Ферро не опубликовал найденного им метода, но некоторые его ученики  знали об этом открытии, и вскоре один из них, Антонио Фиор, решил этим воспользоваться.                                                                                                                      В те годы были распространены публичные диспуты по научным вопросам. Победители таких диспутов обычно получали неплохое вознаграждение, их часто приглашали на высокие должности.                                                                                  

В это же время в итальянском городе Верона жил небогатый учитель математики Николо (1499-1557), прозванный Тартальей (т.е. заикой). Он был очень талантливым и сумел заново открыть прием Даля Ферро(Приложение 1).                                        Состоялся поединок между Фиором и Тартальей. По условию соперники обменялись тридцатью задачами, на решение которых отводилось 50 дней. Но т.к. Фиор знал по существу лишь одну задачу и был уверен, что какой-то учитель решить ее не может, то все 30 задач оказались однотипными. Тарталья справился  с ними за 2 часа. Фиор же не смог решить ни одной задачи, предложенных противником. Победа прославила Тарталью на всю Италию, но вопрос до конца не был решен. .

Все это удалось сделать Джероламо Кардано.  Ту самую формулу, которую открыл Даль Ферро и   переоткрыл Тарталья  называют  формулой Кардано(Приложение 2).

Кардано Джироламо (24.9.1501-21.9.1576) - итальянский математик, механик и врач. Родился в Павии.  Учился в университетах  Павии и Падуи.  В  молодости  занимался медициной. В 1534г. стал профессором математики в Милане и Болонье. В математике с именем Кардано обычно  связывают формулу для решения   кубического уравнения, которую  он позаимствовал  у Н. Тартальи.  Эта  формула  была  опубликована в книге Кардано  "Великое  искусство,  или   О  правилах  алгебры" (1545г.).  С того  времени Тарталья  и  Кардано  стали  смертельными  врагами.  В  этой  книге  систематически изложены  современные  Кардано  методы   решения  уравнений,  главным  образом кубических.  Кардано   выполнил  линейное  преобразование,  позволяющее привести кубическое уравнение к виду, свободному от члена 2-ой степени и указал на зависимость между корнями и коэффициентами уравнения, на делимость многочлена на разность x –a, если  a-его корень. Кардано одним из первых в Европе допускал существование отрицательных   корней  уравнений.  В   его  работе  впервые  появляются  мнимые величины. В механике Кардано занимался теорией рычагов и весов. Одно из движений отрезка  по  сторонам  прямого  угла  механики  называют  карда новым  движением.                                                                           Итак, по формуле Кардано можно решать уравнения вида                                  х3+рх+q=0 (Приложение 3)

Кажется,  проблема решена. Есть формула для  решения кубических уравнений.

 Вот она!                                                                                                                                        

                                                                       Выражение, стоящее под корнем -  дискриминант.                                                                        D=()2  + ()3                                                                                                                                   Я решила вернуться к моему уравнению и попытаться решить его по формуле Кардано:                                                                                                                                        Моё  уравнение имеет вид:  у3  -  6у - 2=0, где                                                                          р= -  6=-;        q  = - 2 = - .                                                                                     Легко подсчитать, что                                                                                                                 ()3  = =-   и  ()2 = =,                                                                             ()2  + ()3   = = - = - .                                                                                А дальше? Из числителя этой дроби я корень извлекла легко, получилось 15. А что делать со знаменателем? Мало того, что корень не извлекается нацело, так ведь еще извлекать – то его надо из отрицательного числа!                                                 В чем же дело?  Можно предположить, что  это уравнение не имеет корней,  ведь  при D<0    квадратное  уравнение тоже  не имело корней.                                                        Но вся  проблема   в том, что рассматриваемое уравнение имеет три корня!                       Итак, в ходе работы над  проектом встретилась  с очередной проблемой.              В чем же дело? Я стала  составлять уравнения, имеющие корни, но не содержащие  члена квадрата неизвестного:

1. составила  уравнение, имеющее корень х= - 4.

х3+15х+124=0                                                                                                                               И действительно, проверкой убедилась, что -4 является корнем уравнения.                       (-4)3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

Проверила ,  можно ли  получить этот корень по формуле Кардано                           х=+=+=  =1- 5 =- 4

Получила, х = -4.

2. составила второе уравнение, имеющее действительный корень х=1:                            х3 + 3х – 4 =0  и  проверила формулу.                                                                        

И в этом случае формула действовала   безотказно.

1. подобрала уравнение х3+6х+2=0, имеющее один иррациональный корень.  

Решив данное уравнение, я получила этот корень   х =   -                                              И тут- то у меня появилось предположение:  формула  срабатывала, если  уравнение имело всего один корень.                                                                                      А моё уравнение, решение которого  загнало меня  в тупик,  имело три корня!  Вот где нужно искать причину!                                                                                           Теперь  я  взяла  уравнение, имеющее   три корня: 1; 2; -3.                                                                      х3 – 7х +6=0                                                                                                                                        p= -7; q = 6.                                                                                                                      Проверила дискриминант:                                                                                                                 D = ()2  + ()3   = ()3 + (-)3= 9 -  < 0

Как я и предположила, под знаком квадратного корня опять оказалось отрицательное число.  Я пришла к выводу:                                                                         путь к трем корням уравнения х3+рх+q=0                                                                             ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

2. Теперь мне осталось  узнать,  с  чем  же я столкнусь  в  случае, когда уравнение имеет два корня. Выбрала уравнение, имеющее два корня:             х3 – 12 х + 16 = 0.                                                                                                                        p = -12,       q = 16.  

D=()2 +()3=()2+()3=64-64=0                                                                                   D = 64 – 64 = 0.                                                                                                                          Теперь можно было  сделать вывод,   что число корней   кубического уравнения вида  х3+рх+q=0                                                                                                                        зависит от знака дискриминанта D=()2 +()3   следующим образом:

Если D>0, то уравнение имеет 1 решение.

Если D<0, то уравнение имеет 3 решение.

Если D=0, то уравнение имеет 2 решение.

 Подтверждение моего вывода я  нашла в  справочнике по математике, автор Н.И.Бронштейн.                                                                                                                      Итак, мой вывод: формулой Кардано можно пользоваться, когда мы уверены, что корень единственный.                                                                                                     Мне удалось установить, что существует формула  для поиска корней кубического уравнения, но для вида  х3+рх+q=0.

3. Практическая часть.

Работа над   проектом «…  очень помогла мне  при решении некоторых задач  с параметрами. Например:                                                                                                          1. При каком наименьшем натуральном значении а уравнение х3-3х+4=а имеет 1 решение?                                                                                                             Уравнение переписали  в виде  х3-3х+4-а=0;                                                                                 р= -3;  q=4-а.                                                                                                                               По условию оно должно иметь 1 решение т.е. D>0                                                          Найдем D.                                                                                                                                      D=()2 +(-)3= +(-1)3= ==                               а2 -8а+12>0

_+__-___+___                       а  (-∞;2) (6; ∞)

     2    6

Наименьшее натуральное значение а из этого промежутка – это 1.

Ответ. 1

2. При каком наибольшем натуральном значении параметра а уравнение    х3+х2-8х+2-а=0  имеет три корня?

Уравнение   х3+3х2-24х+6-3а=0                                                                                    приводим к виду у3+ру+q=0, где а=1; в=3; с=-24; d=6-3а                                                           где q= -   +  и   3 p=                                                                                   q=32-3а;  р=-27.                                                                                                                       Для данного вида уравнения                                                                                                     D=()2  + ()3  =()2+(-9)3= -729 =;    D<0. Решим неравенство   <0.                                                                                D=(-192)2-4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 3242                                                                                а1 =  ==28,     а2   == - = -7.

    +_.__-___._+

      -7     28

   а  ( -7; 28)

Наибольшее натуральное значение а из этого интервала : 28.

Ответ.28

3.  В зависимости от значений параметра а найти число корней уравнения   х3 – 3х – а=0

Решение. В уравнении р =-3; q = -а.                                                                                          D=()2  + ()3 =(-)2+(-1)3= -1=.

_+.__-__._+

   -2       2

При а  (-∞;-2)  (2;∞)  уравнение имеет 1 решение;

При а  (-2;2) уравнение имеет 3 корня;

При а = -2; 2 уравнение имеет 2 решения.

Тесты:

 1.Сколько корней имеют уравнения:

1)  х3 -12х+8=0?

а) 1; б) 2; в)3; г)4

2)  х3-9х+14=0

а) 1; б) 2; в)3; г)4

2.При каких значениях р уравнение х3 +рх+8=0    имеет два корня?

а)3; б) 5; в) -3; г)5

Ответ: 1.г) 4

            2.в) 3.

            3.в)-3

Французский математик Франсуа Виет  (1540-1603)  за 400  лет до нас (Приложение 4)  смог установить связь  корней уравнения второй степени с их коэффициентами.

                                     х1+х2=-р;

                                 х1 ∙х2=q.

Мне стало интересно узнать: а можно ли установить связь  корней уравнения третьей степени с их коэффициентами? Если да, то какова  эта связь?  Так возник мой мини – проект.                                                                                                                         Я решила использовать имеющиеся навыки работы  в области квадратных   уравнений при решении моей проблемы. Действовала по аналогии.                             Взяла  уравнение  х3+рх2+qх+r =0.                                                                                          Если   обозначим  корни уравнения х1, х2, х3 , то  уравнение  можно записать в виде  (х-х1) (х-х2) (х-х3)=0                                                                                                   Раскрыв скобки, получим:                                                                                                              х3-( х1+х2 +х3)х2 +( х1  х2  +  х1 х3 +х2х3)х - х1  х2  х3=0.                                                                     Получили  следующую систему:

   х1+х2 +х3= - р;

   х1 . х2  +  х1 х3 +х2х3 = q;

   х1  х2  х3= - r.

Таким образом,  можно связать корни уравнений произвольной степени с их коэффициентами.                                                                                                                         Что же в интересующем меня   вопросе можно извлечь  из теоремы Виета?

1. Произведение всех корней уравнения равно модулю свободного члена. Если корни уравнения – целые числа, то они должны быть делителями свободного члена.

Опять вернемся к уравнению х3+2х2-5х-6=0.                                                                     Целые числа должны принадлежать множеству: ±1; ±2; ±3; ±6. Последовательно подставляя числа  в уравнение, получим корни: -3; -1; 2.

2.Если решить это уравнение разложением на множители, теорема Виета  дает «подсказку»: надо, чтобы при составлении групп для разложения появились числа – делители свободного члена. Ясно, что сразу может и не поучиться, ведь не все делители являются корнями уравнения. И, увы, может не получиться вообще – ведь корни уравнения могут и не быть целыми числами.

Решим уравнение  х3+2х2-5х-6=0  разложением на множители.                                    х3+2х2-5х-6=х3+(3х2-  х2 )-3х-2х-6=х2(х+3)– х(х+3) – 2(х+3)=(х+3)( х2 –х-2)= =(х+3)(х2+х -2х -2)=(х+3)(х(х+1)-2(х+1))=(х+2)(х+1)(х-2)                                                  Исходное уравнение равносильно такому:                                                                                     (х+2)(х+1)(х-2)=0.                                                                                                                    А у этого уравнения три корня: -3;-1;2.                                                                       Пользуясь «подсказкой» теоремы Виета  я решила такое уравнение:                                                  х3-12х+16=0                                                                                                                                        х1  х2  х3 = -16.                                                                                                                         Делители свободного члена: ±1;±2;±4;±8;±16.                                                                                  х3-12х+16= х3-4х-8х+16= (х3-4х)-(8х-16)=х(х2-4)-8(х-2)=х(х-2)(х+2)-8(х-2)=

=(х-2)(х(х+2)-8)=(х-2)(х2+2х-8)                                                                                                  (х-2)(х2+2х-8)=0                                                                                                                                   х-2=0 или  х2+2х-8=0                                                                                                                         х=2             х1=-4; х2=2.  Ответ.   -4; 2.

3.Зная полученную систему равенств, можно найти по корням уравнения неизвестные коэффициенты  уравнения.                                                                            

Тесты:

1. Уравнение  х3 +рх2 + 19х - 12=0  имеет корни   1, 3, 4.                                                      Найти  коэффициент р;                                                                                                        Ответ. а) 12; б) 19; в) -12; г) -8                                                                                                    2. Уравнение  х3 – 10 х2 + 41х +r=0  имеет корни   2, 3, 5.                                                                              Найти  коэффициент r;                                                                                                         Ответ.  а) 19; б)-10; в) 30; г) -30.                                                                                    

Задания на применение результатов данного проекта  в достаточном количестве можно найти в пособии для поступающих в вузы   под редакцией М.И.Сканави. Знание теоремы Виета может оказать неоценимую помощь при решении таких задач.

№6.354

4. Заключение

1. Существует формула, выражающая корни алгебраического уравнения через коэффициенты уравнения:                                                                                                              где D==()2  + ()3                                              D>0, 1  решение.  Формула Кардано.

2. Свойство корней кубического   уравнения  

      х1+х2 +х3= - р;

      х1 . х2  +  х1 х3 +х2х3 = q;

      х1  х2  х3 = - r.

В итоге я пришла к выводу, что существует формула, выражающая корни кубических уравнений через его коэффициенты, а также существует связь между корнями и коэффициентами уравнения.

5. Литература:

1.Энциклопедический словарь юного математика. А.П.Савин. –М.: Педагогика, 1989.

2.Единый         государственный экзамен по математике – 2004. Задачи и решения. В.Г.Агаков, Н.Д.Поляков, М.П.Урукова и др. Чебоксары. Изд-во Чуваш. ун-та, 2004.

3.Уравнения и неравенства с параметрами. В.В.Мочалов, Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами: Учеб. пособие. –Чебоксары: Изд-во Чуваш. Ун-та, 2004.

4.Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. Вавилов В.В., Олехник С.Н.-М.: Наука, 1987.

5.Решебник всех конкурсных задач по математике сборника под редакцией М.И.Сканави. Издательство «Украинская энциклопедия» имени М.П.Бажова, 1993.

 6.За страницами учебника алгебры. Л.Ф.Пичурин.-М.: Просвещение,1990.