Моделирование ступенчатых представлений рациональных дробей

Республиканский фестиваль

исследовательских работ

учащихся 9-11 классов

«паруса науки»

Естественные науки: математика

Моделирование ступенчатых представлений рациональных дробей с простым знаменателем.

Алексеев Антон

Елабужский район, г.Елабуга

МБОУ «СОШ № 8», 11 класс

Научный руководитель:  Кругленко В.И.

Набережные Челны

 2012

Оглавление

1. Введение ………………………………………………….………………3
2. Основная часть. …………………………………………..………………5

1.  Виды координатных систем для двухмерных граф-решеток….5
2.  Основные известные используемые теоремы о

 рациональных дробях …………………………………………..  7

3.  Моделирование ступенчатых представлений на двухмерных

 граф-решетках и их характеристики……………………….…..10

3. Заключение………………………………………………………….…....13
4. Список используемой литературы………………………………..…..... 14

Введение

        В связи с новейшими исследованиями в различных областях знаний появляются объекты, которые в рамках классических теорий сложно описываются или вообще нет теоретических подходов для исследований. Это современные проблемы криптографии в математике и информатике, проблемы анализа сложных биологических процессов в клетках живых организмов, проблемы динамики поведения в молекулярных структурах при увеличении количества взаимодействующих элементов в химии и физике, проблемы космологии и др. Все эти новые возникающие вопросы требуют от математиков разработки новых математических теорий в то время как существующие устаревают даже с применением компьютерных технологий.  Для примера можно взять простую рациональную дробь N/M. Она столетиями подвергалась изучению. Написано множество теорем, замечено много необычного в поведении. И до сих пор остаются нерешенными некоторые постановки. Конечно это связано с самим придуманным понятием целых чисел, изучению которых посвящен целый раздел математики – теория чисел. Отметим хотя бы одну странность. Почему используется именно десятичная система счисления, не семеричная, не тридцатитрехричная. Ну а другие что, не важные? Правда с появлением цифровой техники выходит на первый план – двоичная. Она между прочим заслуживает большего внимания, чем остальные, включая и десятичную. Она единственная особая, из-за того, что крайняя. Какие понятия предложить, чтобы все системы счисления были равнозначны?

       Ведь в разложении той же рациональной дроби в разных системах счисления последовательности ведут по-разному. Они периодические, а если взять разложения иррациональных? Эти «миры» как кажется достойны более пристального внимания. Недаром некоторые математики и программисты, хотя бы интуитивно или ради интереса вычисляют числа, например  не с десятью или шестнадцатью знаками после запятой, а с миллионом или с миллиардом. Как известно француз Фабрис Беллар в 2010 году вычислил число Пи с около 2,7 триллионами знаками[1] . Все-таки заметим (далее будет понятно почему), что вычисления проводились в двоичной системе счисления, а затем переводились в десятичную, а в остальные смысла вроде бы и нет. Более того, в конце 2012 года в Японии вычисляли число Пи уже с десятью триллионами знаками.  Можно сказать, в рекламных целях своей техники этот процесс будет продолжаться. Даже в системах компьютерной математики, например, такой как MATHEMATICA вычисляются числа с миллионами знаков. В работах некоторых авторов еще один взгляд на анализ таких чисел «не рекламный». Математиков привлекает не сама точность, а распределение всевозможных подпоследовательностей.  В работах [4,5,6] и других и предлагается один из таких подходов. Расчетные последовательности предлагаются проводить для геометрического представления на пространствах-графах. Для представления можно выбрать графы такие, что актуальна будет любая система счисления. В данной работе проводится компьютерное моделирование поведения рациональных периодических дробей с простым знаменателем на однородной двухмерной граф-решетке с введенной в нее двухмерной симметричной и асимметричной координатных системах с помощью понятий ступенчатых представлений. Выбор симметричной или асимметричной координатной системы определялся условием замкнутости ступенчатого представления Ф(2/3,1/p) на граф-решетке.

2.1 Виды координатных систем для двухмерных граф-решеток.

В [4,5] предлагается следующий способ введения координатных систем. В граф, в котором степень каждой вершины L=а1*а2*а3……*аN, вводится N-мерная  координатная система графа. При каждой вершине каждому ребру  присваиваются числа от 0 до а1-1 так, чтобы количества разных чисел были равными    L / а1 . Затем при каждой вершине всем группам ребер с одинаковыми числами присваиваются еще значения от 0 до а2-1 так, чтобы количества этих разных чисел были равными L / а1а2 и т. д. Например, для L=12 можно ввести 1 одномерную, 4 двухмерных и 3 трехмерных системы. В нашем частном случае для двухмерной граф-решетки L=1*4=2*2 можно ввести 1 одномерную и 1 двухмерную. Ниже на рисунках приведены примеры таких возможных систем.

Рис. 1 Одномерные произвольная и симметричная координатные системы.

Рис. 2  Двумерные произвольная и асимметричная координатные системы.

Рис. 3  Двумерные симметричные координатные системы двух видов.

Рис. 4    Неоднородная КС. Симметричная переходит в асимметричную КС.  

             Затененная часть – зона перехода.

Их бесконечное множество, но особенно выделяется асимметричная КС (рис.2) В ней при каждой вершины графа один и тот же периодический элемент (рис.5.А). В первой симметричной КС (рис.3) четыре периодических элемента (рис.5. В). Именно они были применены в дальнейших расчетах.

               А)                                                                     В)

Рис. 5. Периодические элементы  А  и  В примененные в расчетах КС.

2.2 Основные известные используемые теоремы о рациональных дробях.

Теорема. Представление дроби m/n в любой системе счисления по основанию N, где m,n- натуральные числа, m < n, - периодическая дробь, длина наименьшего периода которой не превосходит n - 1.

Доказательство. Чтобы получить первую цифру после запятой, мы  умножаем т на основание системы счисления N и делим (с остатком) полученное число на n. Вообще весь процесс деления уголком - повторяемое вновь и вновь умножение очередного остатка на N  и деление (с остатком) на n.

     Если на каком-то шаге получится нулевой остаток, то дробь - конечная. Конечную дробь, приписав к ней справа бесконечно много нулей, естественно считать периодической с периодом длины 1. По условию, 1 < n - 1, так что в этом случае утверждение теоремы выполнено.

     Если же процесс деления никогда не закончится, то будут получаться только ненулевые остатки, т.е. числа от 1 до n - 1. Значит, не позже чем на n-м шаге остаток повторится. С этого момента процесс деления зациклится, что и требовалось доказать.

Теорема. Если знаменатель несократимой правильной дроби  взаимно прост с основанием системы счисления N, то дробь  представима в виде чисто периодической N-ричной дроби.

Теорема. Если a и b взаимно просты, то период десятичной дроби, равной a/b, имеет такую же длину, как период десятичной дроби 1/b.

Теорема. Если p есть простое число, отличное от 2 и 5, то длина периода дроби 1/p является делителем числа p–1.

         Доказательства этих теорем и других можно найти в работах [2,3]. Выделяется так называемая малая теорема Ферма (1640г.).  Доказательства многих базируются на ней. Вследствие ее знаменитости приведем одно из ее изящных доказательств.            

Теорема. Если p- простое число и m — произвольное, то mp – m делится на p.

Доказательство. Возьмем правильный p-угольник (p-простое) и m различных цветов. Подсчитаем количество  способов раскраски вершин данной фигуры в эти цвета, полагая что, раскраски получаемые поворотом фигуры одинаковые. Каждую вершину фигуры можно окрасить в один из m цветов. Тогда всего будет m∗m∗...∗m  (p раз)  вариантов раскраски вершин p-угольника в m различных цветов, считая раскраски получаемые поворотом фигуры различными. Поэтому результат делим на количество поворотов p-угольника, а их всего p. Некоторые способы раскраски мы посчитали один раз, а конкретнее те способы, когда все вершины покрашены в один цвет, всего этих способов - p.  Следовательно способов раскраски - (mp-m)/p +m. Но количество целое!  Следовательно (mp-m)/p тоже целое.

       На языке Паскаль [6] была написана программа, которая вычисляла простые числа p в различных диапазонах и вычисляла длину периода дроби 1/p в различных системах счисления. Ниже в таблице представлено эмпирическое наблюдение для дроби в двоичной СС для некоторых p.  Если длина периода - число нечетное, то вид периода - А.                                                                 Если длина периода - число четное, то вид периода – AÂ, где Â – инверсия А.  

3.  Моделирование ступенчатых представлений на двухмерных

граф-решетках и их характеристики.

         В этом разделе представлены результаты моделирования видов ступенчатых представлений Ф(2/3, 1/p), где p - простое и их характеристик. Была выбрана двухмерная граф-решетка. Введена  асимметричная координатная система  вида рис. 2 и симметричная вида рис. 3. Числа были выбраны так, что все они были замкнуты или в симметричной КС или в асимметричной. Вычислялся объем ступенчатого представления – число занимаемых вершин графа, максимальный вес каждой вершины – максимальное число прохождений на периоде числа 1/p, размер прямоугольника – ширину и высоту, в который умещался образ. У некоторых чисел 1/p период не был равен (p-1), а был кратен (p-1). В этом случае представлены все возможные образы, которые формировались от разных периодов. На рисунках ниже слева представлен общий вид ступенчатого представления. Рядом справа представлен образ, который передает распределение плотностей прохождения через вершины. Чем темнее места, тем больший вес вершин графа. Для расчетов была использована готовая программа моделирования, написанная на языке DELPHI [7,8], которая частично корректировалась.  Замечено, что учетверенная длина периода дает замкнутый образ или с симметричной координатной системой или с асимметричной.   Если период вида 4*k+1, то представление замыкается на одном периоде.  В последнем случае образ единственный, хотя число периодов равно двум.

Заключение

         В работе рассмотрены некоторые аспекты одного из математических подходов изучения периодических дробей (с простым знаменателем). За основу принято направление, в котором формируемые последовательности представлялись геометрически на однородных двухмерных граф-решетках, используя конструкции ступенчатых представлений, описанных в работах [4,5]. Так как в графы вводилась двухмерная координатная система, то дроби выражались в двоичной системе счисления. Приведены возможные виды координатных систем, которые допускают построение ступенчатых представлений. Простые p выбирались достаточно большими (>100000), чтобы визуально можно было оценить сложность видов, хотя описание их простое. На бумажном носителе представлен общий вид геочисел и их плотностное распределение по вершинам на периоде. Проведены расчеты образов: занимаемый объем, максимальный вес вершин, геометрические размеры прямоугольника образа. Отмечены эмпирические наблюдения, которые требуют дальнейшей теоретической обработки.

         Отметим также ту особенность, что метод ступенчатых представлений в этой работе предлагается применять для изучения последовательностей от разложений рациональных дробей. Они периодические, а если взять разложения иррациональных? Эти «миры» также достойны серьезного  внимания. Недаром некоторые математики и программисты, хотя бы интуитивно или ради интереса вычисляют числа, например  не с десятью или шестнадцатью знаками после запятой, а с миллионами или с миллиардами. Применять этот метод для изучения таких непериодических последовательностей также представляется возможным.            

         Также одна из целей этой работы - продемонстрировать некоторые возможности такого подхода и вызвать интерес к постановке новых задач в таком направлении.

Список используемой литературы.

1. Fabrice Bellard. of 2700 billion decimal digits of Pi using a Desktop Computer,  2010 ,  http://bellard.org/pi/pi2700e9/pipcrecord.pdf
2. Столяр В.Г. Удивительные приключения периодических дробей. «Квант». №8. 1989.
3. Семенова Л. Периодические дроби. Журнал «Квант». №2. 2000, ст.25-29.
4. Кругленко В.И., Шурыгин В.Ю. Моделирование ступенчатых представлений на графах. Тезисы XVII Международной конференции  Математика. Компьютер. Образование. МГУ-ОИЯИ, Дубна. 2010. с.142
5. Кругленко В.И. Влияние изменений координатных систем в графах на характеристики ступенчатых представлений. Тезисы XVIII Международной конференции  Математика. Компьютер. Образование. МГУ, Пущино. 2011. с. 175
6. Культин Н.Б. Программирование в Turbo Pascal 7.0 и Delphi.-СПб.:

 «BHV-Санкт-Петербург»,1997