В одной задаче вся геометрия
Учебный проект посвящен изучению теоретического материала, направленного на исследование решения уравнения sin x + cos x = 1 различными способами;
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 v_odnoy_zadache_vsya_trigonometriya.docx | 39.7 КБ |
Предварительный просмотр:
Проект
Вся тригонометрия в одной задаче
Над проектом работали учащиеся 10 класса МБОУ «Луковниковская СОШ» Старицкого района Тверской области: Макеева Наталья, Огаркова Светлана, Усова Анна, Зуева Дарья.
2012г
Задачи проекта:
-изучить и проанализировать теоретический материал, познакомиться с различными способами решения уравнения sin x + cos x = 1;
-подготовить результаты исследования к использованию на элективных курсах или на уроках математики как дополнительный материал.
Форма отчета:
математическая газета, презентация на электронном носителе.
Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x + cos x = 1.
Учащимся предлагается найти как можно больше способов решения этого уравнения.
1 способ.
sin x + cos x = 1,
Воспользуемся методом введения вспомогательного угла:
(или разделим обе части уравнения на
)
sin x +
cos x =
,
cos sin x + sin
cos x =
,
sin ( x + ) =
,
x = - +
arcsin
+ πn, n
Z
x = - +
+ πn, n
Z
Ответ. x = - +
+ πn, n
Z .
2 способ.
sin x + cos x = 1,
sin x = , cos x =
,
+
= 1,
2 tg + 1 -
= 1 +
,
2 tg – 2
= 0,
tg –
= 0,
tg ( 1 - tg
) = 0,
,
,
= arctg 0 + πn, n
Z
= πn, n
Z
X = 2 πn, n Z
= arctg 1 + πn, n
Z
=
+ πn, n
Z
X = + 2 πn, n
Z
Ответ. X = 2 πn, X = + 2 πn, n
Z .
3 способ.
sin x + cos x = 1,
sin x = 2 sin cos
, cos x =
-
,
2 sin cos
+
-
=
+
,
2 sin cos
+
-
-
-
= 0,
2 sin cos
-
= 0,
sin cos
-
= 0,
sin (cos
- sin
) = 0,
sin = 0,
= πn, n
Z
X = 2πn, n Z
cos - sin
= 0,
Разделим обе части уравнения на cos :
1 – tg = 0,
tg = 1,
= arctg 1 + πn, n
Z
=
+ πn, n
Z
X = + 2 πn, n
Z
Ответ. X = 2πn, X = + 2 πn, n
Z.
4 способ.
sin x + cos x = 1,
cos x = sin ( - x),
sin x + sin ( - x) = 1,
2sin cos
= 1,
2sin cos
= 1,
2sin cos (x -
) = 1,
cos (x -
) = 1,
cos (x - ) =
,
x - =
+ 2
, n
x =
x = +
x =
Ответ. х = ,
+
5 способ.
sin x + cos x = 1,
sin x = cos ( - x),
cos ( - x) + cos x = 1,
2 cos cos
= 1,
2 cos cos (
- x) = 1,
cos (x -
) = 1,
cos (x - ) =
,
x - =
+ 2
, n
x =
x = +
x =
Ответ. х = ,
+
6 способ.
sin x + cos x = 1,
Возведем обе части уравнения в квадрат
(sin x + cos x) 2 = 1,
+ 2 sin x cos x +
= 1,
2 sin x cos x + 1= 1,
2 sin x cos x = 0,
sin x cos x = 0,
,
Проверка.
Проверим корни вида x = , где n = 2k, k
.
Следовательно, x = , где n = 2k, k
является решением исходного уравнения.
Проверим корни вида x = , где n = 2k+1, k
.
Следовательно, x = , где n = 2k +1, k
не является решением исходного уравнения.
Проверим корни вида x = , где n = 2k,
.
Следовательно, x = , где n = 2k,
является решением исходного уравнения.
Проверим корни вида x = , где n = 2k+1,
.
Следовательно, x = , где n = 2k+1,
не является решением исходного уравнения.
Ответ. ,
,
.
7 способ.
sin x + cos x = 1,
cos x = ,
sin x = 1,
= 1 – sin x,
=
,
= 1 – 2sin x +
,
-2 + 2 sin x = 0, -2
- sin x = 0,
sin x ( sin x – 1 ) = 0,
sin x = 0,
x =
sin x – 1 = 0,
sin x = 1,
x = +
, k
.
Проверка.
- x =
- n = 2k+1, k
x = (2k+1), k
x = , k
sin() + cos(
) = -1, k
Так как -1 1, то x =
, k
не являются корнями уравнения.
- n = 2k,
x = , k
sin + cos
= 1, k
Так как 1= 1, то x = , k
являются корнями уравнения.
- x =
+
, n
.
- n = 2k+1, k
x = +
(2k+1), k
x = + 4
+
, k
x = 2
+ 4
, k
sin(2
+ 4
+ cos
= sin
+ cos
= 1, k
Так как 1= 1, то x = 2
+ 4
, k
являются корнями уравнения.
- n = 2k, k
x = +
, k
x = +
, k
sin( + 4
+ cos
= 1, k
Так как 1= 1, то x = + 4
, k
являются корнями уравнения.
Ответ. x = ,
+
, n
.
Также можно решить это уравнение, применив формулу sin x = .
8 способ.
sin x + cos x = 1,
(1 – cos x) – sin x = 0,
sin x = ,
(1 – cos x) = 0,
(1
) = 0,
- cos x = 1,
x = , n
.
- a)
= -1,
нет корней.
b) = 1,
cos x = 0,
x = +
, n
.
Ответ. x =
Также можно решить это уравнение, применив формулу cos x = .
9 способ.
sin x + cos x = 1,
Так как |sin x| 1, |cos x|
1, то
x = .
.
Ответ. x = .
10 способ.
sin x + cos x = 1,
Построим в одной системе координат графики функций
- y = sin x, y = 1 – cos x
- y = cos x, y = 1 – sin x
x =
x =
Проверка показала, что x = и x =
являются корнями исходного уравнения.
Ответ.x = .
Литература:
Готман Э.Г., Скопец З.А. Задача одна, решения разные. – М.: Просвещение, 2000.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И. Алгебра и начала анализа. 10 класс.
-М.: Просвещение, 2008.
Мать-и-мачеха
"Разделите так, как делили работу..."
Медведь и солнце
Загадка старого пирата или водолазный колокол
Рисуем пшеничное поле гуашью