Исследовательская работа "Задачи на разрезание"

Научно -исследовательская работа на тему

«Задачи на разрезание»

Выполнили: Саркисян Роман, Шаврова Анастасия,

учащиеся  8   класса

 МБОУ «Северомуйская СОШ»

Руководитель: учитель математики   Огаркова И.И

Содержание:

1. Введение  
2. Историческая справка
3.  Игра «Пентамино»
4. Игра «Танграм»
5.  Задача «Торт»
6. Задача  №4- «Разрежь прямоугольник»
7. Задача №5 -  «Разрежь  два квадрата»
8. Задача  №6- «Разрежь  два квадрата-2»
9.  Задача №7 – Крест
10.  Задача №8 – Крест -2
11.  Задача №9- Квадрат 8*8
12. Задача №10 Площадь  параллелограмма
13. Задача №11 Площадь трапеции
14. Задача №12 Площадь треугольника
15. Заключение
16. Литература.

                                           Введение

«Решение задач – практическое искусство, подобное

плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;

научиться ему можно, только подражая хорошим

образцам и постоянно практикуясь»

Д. Пойя    

         Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то особенно понравившейся задачей. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады –  школьные, городские, дистанционные, международные. Готовясь к олимпиадам, мы рассмотрели множество разноплановых заданий и выделили группу задач, подход к решению которых нам показался интересным и оригинальным. Это  задачи на разрезание.  У  нас возникали вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на разрезание.

Актуальность (Слайд 2)

1. Математики открывают новые связи между математическими объектами. В результате этой работы находятся общие методы для решения различных задач. И эти задачи получают стандартные методы решения, переходя из разряда творческих в разряд технических, то есть требующих для своего решения применения уже известных методов.
2.  Задачи на разрезание помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале. При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.          

  Объект исследования: задачи на разрезание

  Предмет исследования: многообразие задач на разрезание, методы и приёмы их решения.

  Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

    (Слайд3) Основная цель исследования заключается в расширении знаний о многообразии задач на разрезание.

 Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач: ( Слайд 4)

1. подобрать необходимую литературу
2. научиться разрезать геометрические фигуры на части, необходимые для составления той или иной другой геометрической фигуры, используя их свойства и признаки;
3. научиться доказывать, что площади фигур равны, разрезая их на определенные части и доказывая, что эти фигуры равносоставленные;
4. провести геометрическое исследование, конструирование в решении задач различных типов.
5. отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
6. проанализировать и систематизировать полученную информацию
7. найти различные методы и приёмы решения задач на разрезание
8. классифицировать исследуемые задачи
9. найти способы перекраивания: треугольника в равносоставленный параллелограмм; параллелограмма  в равносоставленный  треугольник; трапеции  в равносоставленный  треугольник.
10. Создать электронную презентацию работы

    Гипотеза: возможно, многообразие задач на разрезание, их «занимательность», отсутствие общих правил и методов решения  вызывают у школьников затруднения при их рассмотрении. Предположим, что при более внимательном исследовании задач на разрезание, мы убедимся в их востребованности, оригинальности, полезности.    

       При решении задач на разрезание нам не понадобится знание основ планиметрии, а будут нужны именно смекалка, геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.

 ( Слайд 5) Историческая справка

  Задачи на разрезание, как один из видов головоломок, привлекали к себе внимание с древнейших времен. Первый трактат, в котором рассматриваются задачи на разрезание, написал знаменитый арабский астроном и математик из Хорасана Абу аль – Вефа ( 940 – 998 н.э. ). В начале XX века благодаря бурному росту периодических изданий решение задач на разрезание фигур на то или иное число частей и последующее составление из них новой фигуры привлекает внимание как средство развлечения широких слоев общества. Теперь и геометры всерьёз занялись этими задачами, тем более, что в их основе лежит старинная задача о равновеликих и равносоставленных фигурах, которая исходит еще от античных геометрах. Известными специалистами в этом разделе геометрии были знаменитые классики занимательной геометрии и составители головоломок Генри Э. Дьюдени и Гарри Линдгрен.

 Энциклопедией решения различных задач на разрезание является книга Гарри Линдгрена «Геометрия разрезаний». В этой книге можно найти рекорды по разрезанию многоугольников на заданные фигуры

Рассматривая решения задач на разрезание понимаешь, что универсального алгоритма или метода не существует. Иногда начинающий геометр в своем решении может значительно превзойти более опытного человека. Это простота и доступность является основой популярности игр основанных на решении таких задач, например- ( Слайд 6) пентамино  «родственницы» тетриса, танграмма.

(Слайд7)  Игра «Пентамино» Правила игры

Суть игры заключается в конструировании на плоскости разнообразных предметных силуэтов.  Игра заключается в складывании различных фигур из заданного набора пентамино. Набор пентамино содержит 12 фигурок, каждая из которых составлена из пяти одинаковых квадратов, причём квадраты «соседствуют» друг с другом только сторонами.

Игра «Танграмм» (Слайд 8)

В игре « танграмм», из  семи базовых элементов можно  сложить значительное множество фигур. Все собираемые фигуры должны иметь равную площадь, т.к. собираются из одинаковых элементов. Отсюда следует что:

1. В каждую собираемую фигуру должны войти непременно все семь элементов.
2. При составлении фигуры элементы не должны налегать друг на друга, т.е. располагаться только в одной плоскости.
3. Элементы фигур должны примыкать один к другому.

Задания

В игре танграмм можно выделить 3 основные категории заданий:

1. Поиск одного или нескольких способов построения данной фигуры или изящного доказательства невозможности построения фигуры.
2. Нахождение способа, позволяющего с наибольшей выразительностью или юмором (или тем и другим вмести) изобразить силуэты животных, людей и другие узнаваемые предметы.
3. Решение различных задач комбинаторной геометрии, возникающих в связи с составлением фигур из 7 танов.

Задача 3 (Слайд 9)

  Торт, украшенный розочками, тремя прямолинейными разрезами разделили на куски так, что на каждом куске оказалось, ровно по одной розочке. Какое наибольшее число розочек могло быть на торте?                                            

  Комментарий. В основе решения задачи лежит применение аксиомы: «Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости». Следует изобразить всевозможные случаи расположения трех прямых. Из рисунка становится, что наибольшее число частей – 7 – получается, когда прямые пересекаются попарно. Следовательно, на торте могло быть не более 7 розочек. 

Задача 4 (Слайд10 )

 Разрежьте прямоугольник, ax2a на такие части,что из них можно было составить равновеликий ему:                                                    

1) прямоугольный треугольник;

2) квадрат.                                                                            

  Решение задачи понятно из рисунков 2 и 3.

 Задача 5 (Слайд 11)

 Разрежьте два квадрата 1х1 и 3х3 на такие части, чтобы из них можно было составить равновеликий им квадрат.                                                

  Комментарий.  Эта задача – на перекраивание фигуры, состоящий из двух квадратов, в равновеликий ей квадрат. Площадь нового квадрата равна 32+12, значит, сторона квадрата, равновеликого сумме данных квадратов равна        , т. е. является гипотенузой прямоугольника с катетами 3 и 1. Построение такого квадрата понятно из рисунка 4

Задача 6 (Слайд 12)    

  Разрежьте два произвольных квадрата на такие части, чтобы из них можно было составить равновеликий им квадрат.                

  Решение задачи понятно из рисунка 5. Площадь нового квадрата равна a2 + b2, значит, сторона квадрата, равновеликого сумме данных квадратов равна                  

т. е. является гипотенузой прямоугольно- го треугольника с катетами a и b.

Задача 7 (Слайд 13)  

  Крест составлен из пяти квадратов: один квадрат в центре, а остальные четыре прилежат к его сторонам. Разрежьте его на такие части, чтобы из них можно было составить равновеликий ему квадрат.                                  

  Решение задачи понятно из рисунка 6.

Задача 8 (Слайд 14)

 Крест составлен из пяти квадратов: один квадрат в центре, а остальные четыре прилежат к его сторонам. Как шестью такими крестами оклеить поверхность луба, каждая грань которого равновелика кресту.                            

  Комментарий. Крест накладывается на грань (рис. 7), обрезать и переклеивать «торчащие уши» не надо – они переходят на соседнюю грань и оказываются в нужных местах. Завернув «торчащие уши» на соседние грани, можно таким образом заклеить поверхность куба шестью крестами (рис.8).

Задача 9 (Слайд 15)

 Квадрат 8х8  разрезан на четыре части, как показано на рисунке 9. Из полученных частей составлен прямоугольник 13х5 . Площадь прямоугольника равна 65, а площадь квадрата – 64. Объясните, где ошибка.                

  Комментарий. Как следует из рисунка 10, квадрат разрезан на две трапеции (белая и синея) и два прямоугольных треугольника (белый и серый). Рассмотрим на рисунке 10 большой белый прямоугольный треугольник и найдем значение тангенса угла :   tg a =5/13=0,385. Теперь рассмотрим маленький белый треугольник на рисунке 10 и найдем значение тангенса угла : tg a =3/8=0,375. Значение тангенсов угла     не совпадают. Это означает, что гипотенуза маленького белого прямоугольного треугольника и боковая сторона белой трапеции не лежит на одной прямой, а являются звеньями ломаной. Аналогично доказывается, что гипотенуза маленького голубого прямоугольника и боковая сторона голубой трапеции не лежит на одной прямой. Следовательно, площадь прямоугольника равна сумме площадей фигуры, составленной из частей квадрата и черной «щели».

Задача 10 (Слайд 16)

 Теорема   Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Перекроим параллелограмм в прямоугольник. Для этого разрежем его по высоте BH , и треугольник ABH приложим справа как показано на рисунке. Получим прямоугольник HBCH1 , равносоставленный с параллелограммом ABCD. Но равносоставленные фигуры являются равновеликими, т. е. SHBCH1=SABCD .

Задача11 (Слайд17)

 Теорема.  Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

Перекроим трапецию в треугольник. Для этого разрежем её по отрезку BM, где M- середина стороны CD.Треугольник BCM приложим к отрезку MD как показан на рисунке. Получим треугольник ABN равносоставленный с трапецией ABCD, а следовательно и равновеликий , т. е. SABN=SABCD

SABN=1/2 AN x BH, (1)

Но AN =AD + DN, а DN = BC.

Откуда AN=AD + BC.

Подставим в (1), получим SABCD=1/2 (AD + BC) x BH. Теорема доказана.

Задача 12 (Слайд18)

Теорема    Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Перекроим треугольник в параллелограмм. Для этого проведём среднюю линию MN и разрежем  треугольник ABC на две части. Треугольник MNC приложим к отрезку BM как показано на рисунке. Получим параллелограмм ABDN, равносоставленный с треугольника ABC, а следовательно и равновеликий. Тогда SABDN=SABC

SABDH=AN x BH. Но AH=1/2 AC, т. к. N-середина AC.

Следовательно SABC=1/2 AC x BH. Теорема доказана.

Заключение:

Любители головоломок и   увлекаются решением задач на разрезание, прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берётся за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению. Поскольку здесь не требуется глубокое знание геометрии, то любители иногда могут даже превзойти профессионалов-математиков.

        Вместе с тем, задачи на разрезание не являются несерьёзными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьёзных математических задач. Из задач на разрезание родилась теорема Бойаи-Гервина о том, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены (обратное очевидно).

      Рассмотренные нами задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.

Литература:

1. Дик В. Знаменитая китайская головоломка. //Квант,№5,1989. Обложка.
2. Шарыгин И.Ф. наглядная геометрия: Учебное пособие для учащихся 5-6 классы. -М. МИРОСД995. с. 54-55.
3. Энциклопедический словарь юного математика. С. 111.
4. Гершензон М.А. Головоломки профессора Головоломки: Сборник затей. Фокусов, с3. Григорьева Г. И. Подготовка школьников к олимпиадам по математике: 5 – 8 классы. Метод. пособие. – М.: Глобус, 2010.

5. Дынкин Е. Б., Молчанов С. А., Розенталь А. Л. Математические соревнования. Арифметика и алгебра. – М.: Наука, 1970.

6. Екимова М. А. ,Кукин Г. П. Задачи на разрезание. М.: МЦНМО, 2002. Режим доступа:  http://www.math.ru/lib/files/pdf/kukin.pdf

7. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. – М.: Наука, 1982.

8. Кенгуру – 2010. Задачи, решения, итоги. Режим доступа: http://russian-kenguru.ru/load

             Рецензия на исследовательскую работу   «Задачи на разрезание»

Исследовательская работа «Задачи на разрезание» выполнена учениками 8 класса МБОУ «Северомуйская СОШ» Саркисян Романом, Шавровой Анастасией (научный руководители – учитель математики Огаркова Ирина Ивановна) Указаны задачи, которые были решены в процессе работы.  Им удалось в полной мере выполнить поставленные цели и задачи. Приводятся приемы  разрезания в играх «Пентамино», «Танграмм», головоломках, доказательстве теорем.   Данная исследовательская работа содержит все необходимые структурные элементы для подобных работ, а именно - введение, основная часть, заключение, список использованной литературы, приложения. В работе четко обозначены цель и задачи. Акцентировано внимание на актуальности.  Работа имеет большую практическую значимость, а именно может использоваться   при подготовки  к олимпиаде по математике, на уроках геометрии. При работе над теоретической частью  проведена большая работа с литературой. Авторы  показали умение логически излагать материал на основе научных и научно-популярных текстов.

Практическая часть исследования – изготовление  модели «Танграмма», «Пентамино».

 В подаче материала используются интерактивные компьютерные технологии – презентация. Работа выполнена на персональном компьютере с использованием современного программного обеспечения. Текст работы выполнен аккуратно и грамотно. Работа Саркисяна Р., Шавровой А. соответствует требованиям   к исследовательским работам.