Исследовательская работа по математике "Это удивительное число 9. Нетрадиционные приемы умножения"

Содержание

Введение

Весь мир построен  на силе чисел.

 Пифагор

Когда речь идет о чем-нибудь очень простом, понятном, мы часто говорим:                «Дело ясное, как дважды два - четыре!» А ведь прежде чем додуматься до того, что  2 х 2 = 4 людям пришлось учиться много - много тысяч лет. Конечно, учение шло не за партой в школе. Человек постепенно учился жить и одновременно он учился считать. Процессом  счета люди овладели в упорной борьбе за существование.

Счету при помощи числа обучается теперь каждый человек незаметно еще в детстве, почти одновременно с тем, как начинает говорить, но этот  привычный нам счет прошел длительный путь развития и принимал различные формы.

Оперируя числами, т. е. выполняя разнообразные математические действия, мы обнаруживаем не только их общие свойства, изучением которых занимается  теория чисел,  но и свойства особые, присущие  иногда лишь некоторым числам. Эти особенные свойства могут и не иметь большого теоретического значения, но нередко весьма  любопытны. Копаясь в огромном массиве чисел, я нашла  интересное  и удивительное, диковинное и забавное о числе 9.

Моя работа посвящена  некоторым любопытным наблюдениям над числом 9, накопившимся в математике от глубокой древности до нашего времени.

Поэтому, цель моей  работы заключается в следующем: познакомиться с историей числа 9, изучить  и научиться применять нетрадиционные  приемы счета с числом 9 и с числами, цифрами которых  является это число.

Для достижения этой цели я поставила следующие задачи:

1) изучить литературу по данной теме;

2) узнать различные приемы счета и научиться применять эти приемы на практике;

3) вызвать интерес к числу 9 и к вычислениям с этим числом с помощью нетрадиционных приемов счета;

4)провести исследование по  умножению многозначных чисел на 9; 99; 999.

Гипотеза: изучение различных приемов счета поможет без затруднений справляться с заданиями вычислительного характера.

Актуальность темы: настоящая работа призвана по возможности  помочь всем, кому приходится иметь дело с вычислениями, предоставить в их распоряжение наиболее рациональные приемы вычислений, существенно сокращающие вычислительный процесс.

 В работе представлены материалы по рационализации выполнения арифметических действий  с числом 9. Подавляющее  большинство  предлагаемых способов предельно  просты, поэтому каждому предоставляется возможным выбрать тот из них, который  конкретно для него будет наиболее простым.

Основное содержание работы

История числа 9.  Приемы вычислений:  сложение с числом 9;  вычитание  числа 9; умножение на 9 (умножение первых десяти чисел на 9; умножение многозначных чисел на 9); умножение на 99 (умножение  однозначных и двузначных чисел на   99; умножение двузначных чисел, цифры которых одинаковые, на 99; умножение многозначных  чисел на 99);  умножение на 999 (умножение  однозначных, двузначных и трехзначных  чисел на   99;  умножение многозначных  чисел на 99); деление на 9. Применение приемов вычислений в практической деятельности.

Девятка - самая большая цифра, она стала в нумерологии символом материального успеха. Девятка – самое большое однозначное  число, девяносто девять - самое большое двузначное число, девятьсот девяносто девять - самое большое трехзначное число. Числу 9 приписывали таинственную силу. В одни времена добрую, в другие – недобрую. Монголы считали 9 совершенством. В японско - китайском мире  9 – несчастливое число, воспринимаемое как «болезнь». У древних греков за этим числом установилась добрая слава:  жюри на Олимпийских играх состояло из  девяти судей.

Овладение рациональной, быстрой и изящной техникой счета требует от человека определенных усилий, а главное – творческого отношения к вычислительному процессу. Знание важных свойств конкретных чисел дает порой исключительные  результаты.

Некоторые особенности арифметических операций над целыми числами связаны с числом 9.

Сложение

1) Чтобы любое число  сложить с числом 9, надо данное число сложить с числом 10 и вычесть 1.

Пример: 2346+ 9 = (2346 + 10 )-1 = 2356 – 1 =2355.

2) Чтобы любое число  сложить с числом 99, надо данное число сложить с числом 100 и вычесть 1.

Пример: 2346+ 99 = (2346 + 100) – 1 = 2446 – 1 = 2445.

3) Чтобы любое число  сложить с числом 999, надо данное число сложить с числом 1000 и вычесть 1.

Пример: 2346+ 999 = (2346 + 1000) – 1 = 3346 – 1 = 3345.

Вывод:

Чтобы любое число сложить с числом, цифрами которого является число 9, надо  данное число сложить с числом, записанным единицей с таким количеством нулей, сколько 9 в другом числе, и вычесть 1.

Вычитание

1) Чтобы из любого числа вычесть 9, надо из него вычесть 10 и прибавить 1.

Пример:2346 – 9 = (2346 – 10) + 1 =2336 + 1 = 2337.

    2) Чтобы из любого числа вычесть 99, надо из него вычесть 100 и прибавить 1.

Пример:2346 – 99 = (2346 – 100) + 1 = 2246 + 1 = 2247.

    3) Чтобы из любого числа вычесть 999, надо из него вычесть 1000 и  прибавить 1.

Пример:2346 – 999 = (2346 – 1000) + 1 =1346 + 1 = 1347.

Вывод:

Чтобы из любого числа вычесть число, цифрами которого является  число 9, надо из данного числа отнять число, записанное единицей с таким количеством нулей, сколько 9 в другом числе, и прибавить 1.

Умножение

1)Умножение на 9.

 Многим трудно запомнить таблицу умножения первых десяти чисел на 9, но существует простой способ помочь памяти пальцами своих рук.

Умножение первых десяти чисел на 9.

        Движением пальцев. Положите обе руки рядом на стол и протяните пальцы. Каждый палец слева направо будет означать соответствующее порядковое число: первый слева – 1; второй – 2; третий – 3; четвертый – 4 и т. д. до десятого, который будет означать число 10. Пусть требуется  теперь любое число из первого десятка умножить  на 9. Для этого вам стоит только, не сдвигая рук со стола, приподнять вверх тот палец, который обозначает множимое. Тогда число остальных пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, будет числом десятков произведения, а число пальцев направо – числом единиц .

     Пример: Умножить 7 и 9. Кладите руки на стол и поднимите седьмой палец; налево от поднятого пальца лежат 6 пальцев, направо - 3 пальца. Значит, результат умножения 7 и 9 равен 63 (приложение 1).

1 * 9 = 09;      0 + 9 = 9;      1 – 1 = 0;

2 * 9 = 18;      1 + 8 = 9;     2 – 1 = 1;

3 * 9 = 27;      2 + 7 = 9;     3 – 1 = 2;

4 * 9 = 36;      3 + 6 = 9;     4 – 1 = 3;

5 * 9 = 45;      4 + 5 = 9;     5 – 1 = 4;

6 * 9 = 54;      5 + 4 = 9;     6 – 1 = 5;

7 * 9 = 63;      6 + 3 = 9;     7 – 1 = 6;

8 * 9 = 72;      7 + 2 = 9;     8 – 1 = 7;

9 * 9 = 81;      8 + 1 = 9;     9 – 1 = 8.

 Это  удивительное, на первый взгляд механическое умножение, тотчас станет понятным, если вспомнить, что сумма цифр в каждом произведении чисел таблицы умножения на 9 равна 9, а число десятков в произведении всегда на 1 меньше того числа, которое  мы умножаем на 9. Поднятием соответствующего  пальца это мы и  отмечаем, а, следовательно, и умножаем. Человеческая рука есть одна из первых счетных машин!

Умножение многозначных чисел на 9.

1 способ: Чтобы число умножить  на 9, надо это число умножить на 10, а затем из полученного произведения вычесть данное число.

576*9 = 576*10 -  576 = 5760 -576 =5184.

Этот способ целесообразно применять только в случае, когда множимое мало. В остальных случаях эффективен следующий прием.

2 способ: Чтобы умножить целое число на 9, надо вычесть из множимого  число десятков, увеличенное на 1, и к полученному результату приписать дополнение цифры единиц множимого до 10 (дополнение должно содержать один разряд).

58 * 9 = 522.

      1) 58 – (5 + 1) = 52;

      2) 10 – 8 = 2;

      3)  к 52 приписать 2, получим 522.

576*9 = 5184.

              1)576 – (57 + 1) = 518;

              2)10 – 6= 4;

              3)к 518 приписать 4, получим 5184.

2) Умножение на 99.

1 способ: Чтобы умножить многозначное число на 99, надо множимое увеличить в 100 раз, а затем из полученного произведения вычесть множимое.

 576 * 99  = 576 * 100 – 576 = 57600 – 576 = 57024.

     Этот способ целесообразно применять только в случае, когда множимое мало. В остальных случаях эффективен следующий прием.

2 способ: Чтобы  умножить m - значное  число (m 2)  на 99, надо к предшествующему числу приписать его дополнение до 100 (дополнение должно занимать два разряда).

1) 5 *99 = 495.

1) число, предшествующее 5,  равно 4;

2)100 – 5 = 95;

3)к числу 4 приписать 95, получим 495.

2) 97 * 99 = 9603.

 1) число, предшествующее 97,  равно 96;

2)100 – 97 = 03 (должно содержать два разряда);

3)к числу 96 приписать 03, получим 9603.

3 способ: Чтобы умножить целое число на 99, надо  из этого числа  вычесть число его сотен, увеличенное на 1, и к полученной разности приписать дополнение до 100 числа, образованного двумя последними цифрами  множимого  (дополнение должно содержать два разряда).

576 * 99 = 57024;

    1) 576 – (5 + 1) = 570;

    2) 100 -76 = 24;

    3) к 570 приписать 24, получим 57024.

2998 * 99 = 296802.

     1) 2998  – (29 + 1) = 2968;

      2) 100 – 98 = 02 (дополнение должно содержать два разряда);

      3) к 2968 приписать 02, получим 296802.

4 способ (частный): Умножение двузначных чисел, цифры которых одинаковые, на 99.

11 *99 = 1089

22 * 99 = 2178

33 * 99 = 3267

44 * 99 = 4356

55 * 99 = 5445

66 * 99 = 6534

77 * 99 = 7623

88 * 99 = 8712

99 * 99 = 9801

Нетрудно подметить следующие свойства этих произведений:

1. первая цифра результата совпадает с цифрами множимого;
2. вторая цифра всегда на 1 меньше первой;
3. третья цифра – дополняет первую цифру до 9;
4. четвертая цифра дополняет вторую цифру до 9.

        Знание этих свойств дает возможность, не заглядывая в таблицу, определить результат любого из рассмотренных умножений по одной его цифре.

3)Умножение на 999.

1 способ: Чтобы умножить многозначное число на 999, надо множимое увеличить в 1000 раз, а затем из полученного произведения вычесть множимое.

576 * 999 = 576 * 1000 – 576 = 576000 – 576 = 575 424.

Этот способ целесообразно применять только в случае, когда множимое мало. В остальных случаях эффективен следующий прием.

2 способ: Чтобы  умножить m-значное  число (m 3)  на 999, надо  к предшествующему числу приписать его дополнение до 1000 (дополнение должно занимать три разряда).

1) 5 * 999 = 4995.

    1) число, предшествующее 5,  равно  4;

    2)1000 – 5 = 995;

    3) к числу 4 приписать 995, получим 4995.

2) 97 * 999 = 96903.

   1) число, предшествующее 97,  равно 96;

   2)1000 – 97 = 903;

   3) к числу 96 приписать 903, получим 96903.

3) 997 * 999 = 996 003.

   1)  число, предшествующее 997,  равно  996;

   2) 1000 – 997 =003 (должно содержать три разряда);

   3) к числу 996  приписать 003, получим 996003.

3 способ: Чтобы умножить целое число на 999, надо  из этого числа  вычесть число его тысяч, увеличенное на 1, и к полученной разности приписать дополнение до 1000 числа, образованного тремя последними цифрами  множимого (дополнение должно содержать три разряда).

576 * 999 = 575 424.

     1)576 – (0 + 1) = 575;

     2)1000 -576 = 424;

     3) к 575 приписать 424, получим   575 424.

2453 * 999 = 2 450 547.

    1)2453 – (2 + 1) = 2450;

    2)1000 – 453 = 547;

     3)к 2 450 приписать  547, получим 2450 547.

25 999 * 999 = 25 973 001.

1) 25999 – (25 + 1) = 25973;

2) 1000 -999 = 001 (дополнение должно содержать три разряда);

3) к 25 973 приписать  001, получим 25 973 001.

Умножение чисел на 9; 99; 999  можно записать в таблицу (приложение 2).

Деление

1)Признак делимости числа на 9: если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

Пример:   3186 делится на 9, т. к. 3 + 1 + 8 + 6 = 18 делится на 9.

2) Разность между любым числом и суммой его цифр  делится на 9.

Пример: 346;    3 + 4 + 6 = 13;

346 – 13 = 333;    333:9 = 37.

Пример: 2468;    2 + 4 + 6 + 8 = 20;

2468 – 20 = 2448;    2448 : 9 = 272.

3) Разность двух чисел с одинаковыми цифрами, но разным порядком их расположения, делится на 9.

Пример:  625 и 526;

625 – 526 = 99 делится на 9.

625 и  265;

625 – 265 = 360 делится на 9.

526 и 265;

526 – 265 = 261 делится на 9.

4) Разность двух чисел с одинаковыми суммами цифр у каждого из них, делится на 9.

Пример:  237 и  651;

651 – 237 = 414 делится на 9.

237 и 192;

237 – 192 = 45 делится на 9.

5) Если из каких – либо цифр составлены числа, отличающиеся только порядком следования цифр, то при делении на 9 каждого из них  получается один и тот же остаток. Он равен остатку от деления на 9 суммы цифр          какого – либо из упомянутых чисел.

Пример: 672 : 9 = 74 (остаток 6);   276 : 9 = 30 (остаток 6).

     Может возникнуть вопрос: неужели все написанное здесь  можно запомнить? Методы применения основных методов, безусловно,  нужно оставить, но некоторые нетрадиционные способы умножения, несмотря  на относительно узкий круг применения,  настолько просты, что запоминаются непроизвольно и могут стать поводом к придумыванию разнообразных математических развлечений.

1) Напишите, не сообщая мне, любое трехзначное число с неодинаковыми крайними цифрами и составьте новое число из тех же цифр, но расположенных в обратном порядке. Вычислите разность между этими числами и назовите мне последнюю цифру разности. А я скажу весь полученный результат.

Решение. Средней цифрой разности всегда  будет 9, а крайние цифры дополняют одна другую до 9.

Пример: 621и  126;      621 – 126 = 495;    (в середине 9, 4 + 5 = 9).

2) Некоторое двузначное число с одинаковыми цифрами  умножьте на 99. В произведении получилось четырехзначное число, назовите только одну третью цифру результата. Я попробую назвать вам все число.

Решение: Например,  третья 5, тогда

                                     первая  - дополнение 5 до 9 (9 -5 = 4);

                                    вторая – на 1 меньше первой (4 – 1 = 3);

                                   четвертая – дополнение 3 до 9 (9 – 3 = 6);

                                    значит, число 4356.

3) Придумайте два числа с одинаковыми цифрами, но разным  порядком их расположения и вычтите из большего меньшее.  Зачеркните одну цифру разности (но не нуль) и назовите сумму всех оставшихся цифр разности. Я назову зачеркнутую цифру.

Решение: 72135 – 21753 = 50382

Зачеркнем, например, 3 , получим 5 + 0 +8 +2 = 15.

Дополнение числа 15 до ближайшего числа, делящегося на 9, т. е. до 18, равно 3, что и дает зачеркнутую цифру.

Экспериментальная часть

Для подтверждения своей гипотезы была проведена экспериментальная работа. Цель моего исследования: убедиться в эффективности использования различных нетрадиционных приемов умножения многозначных чисел на 9, 99, 999.

Исследование проходило на базе школы № 33 в 5 Б классе. Учащиеся выполняли самостоятельную работу, в которой были предложены задания на умножение многозначных чисел на 9, 99, 999.

Анализ работ показал следующие результаты:

Таким образом, в результате сравнения полученных результатов, я выяснила, что применение новых изученных приемов умножения на 9, 99 и 999 позволили ученикам допустить меньше вычислительных ошибок. Поэтому, я сделала вывод об эффективности изученных способов умножения  и необходимости довести  эти умения до навыков.

Заключение

1) Изученные и отработанные приемы счета помогут ученикам быстрее справляться с заданиями на уроках, а  также в повседневной жизни.

2) Вычислительные навыки надо развивать и развивать  их может каждый человек, будь то взрослый или ребенок, независимо от его математических способностей.

3) Изученные особенные свойства числа 9 побуждают к творческому мышлению, к  дальнейшему совершенствованию своих математических знаний.

Список литературы

1. Бертман Г. Н.  Приемы счета. - М.: Физматгиз,1959.
2. Гольдштейн Д. Н. Техника быстрых вычислений. - М.: Учпедгиз, 1948.
3. Катлер Э. и Мак - Шейн Р. Система быстрого счета по Трахтенбергу. - М.: Просвещение, 1967.
4. Кордемский Б. А. Математическая смекалка. - М.: Государственное                 издательство технико - теоретической литературы, 1957.
5. Перельман Я. И. Занимательная математика. - М.: Наука, 1970.
6. Сорокин А. С. Техника счета. - М.: Знание, 1976.

Приложение 1