Проектная работа учеников 6 класса "Опыты с вероятностью"
Цели работы:
Опытным путем получить первые представления о теории вероятностей. Построив модель реального явления подтвердить эти представления фактами и экспериментами, рассмотреть применение теории вероятностей в решении различных задач, доступных пятиклассникам.
В окружающем нас мире постоянно приходится иметь дело с событиями, которые нельзя предсказать заранее. Такие события называются случайными.
Оказывается, еще в древности люди заметили, что случайное событие — вовсе не исключение в жизни, а правило. Знать законы случая необходимо.
Очень много событий в нашей жизни зависит от случая, и хотя на первый взгляд кажется , что случай есть случай и в мире случайных событий царит настоящий хаос , на самом деле все случайные события подчинены некоторым закономерностям. При помощи опытов мы проиллюстрируем некоторые из таких закономерностей, а также покажем применение теории вероятностей при решении некоторых задач.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 opyty_s_veroyatnostyu.doc | 176.5 КБ |
 opyty_s_veroyatnostyu.pps | 1.18 МБ |
Предварительный просмотр:
ОБЛАСТНАЯ ТВОРЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
«НАУКА. ТВОРЧЕСТВО. ИССЛЕДОВАНИЕ»
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 197 имени В. Маркелова»
Опыты с вероятностью
Авторы: Ваганов Максим, Серякова Светлана,
Щукин Василий.
МОУ « СОШ №2»г. Колпашева, 5б кл
Руководитель работы: Пафенова Елена Витальевна,
учитель математики .
ЗАТО Северск 2010
Томская область
2
Содержание
1. Введение
2.Как играть, чтобы не проиграть, или кто пойдет за лимонадом? 4
3. Определение вероятности 5
4. Воспользуемся плодами теории вероятностей 9
5. Заключение 12
6. Литература 13
3
Введение
Цели работы:
Опытным путем получить первые представления о теории вероятностей. Построив модель реального явления подтвердить эти представления фактами и экспериментами, рассмотреть применение теории вероятностей в решении различных задач, доступных пятиклассникам.
В окружающем нас мире постоянно приходится иметь дело с событиями, которые нельзя предсказать заранее. Такие события называются случайными.
Оказывается, еще в древности люди заметили, что случайное событие — вовсе не исключение в жизни, а правило. Знать законы случая необходимо.
Очень много событий в нашей жизни зависит от случая, и хотя на первый взгляд кажется , что случай есть случай и в мире случайных событий царит настоящий хаос , на самом деле все случайные события подчинены некоторым закономерностям. При помощи опытов мы проиллюстрируем некоторые из таких закономерностей, а также покажем применение теории вероятностей при решении некоторых задач.
4
Как играть, чтобы не проиграть, или кто пойдет за лимонадом?
Познакомимся с условиями старинной игры. Зададимся вопросом стратегии игры: «Как играть, чтобы не проиграть?»
Имеем три шашки: у первой обе поверхности черные, у второй – обе белые, у третьей – одна поверхность белая, другая черная. Ведущий вынимает одну шашку из коробки, видим одно основание, игроки должны указать цвет второго основания. Сеанс – 10 попыток. Выигрывает тот, кто угадал более 5 раз.
Однозначна ли задача, стоящая перед нами? Нет. Ответ этой задачи невозможно угадать заранее, все зависит от случая. Как же выбрать верную стратегию игры?
А это случай из повседневной жизни.
В жаркий летний день встретились несколько друзей и решили, что кто-то должен сходить за лимонадом. Решили провести жеребьевку путем « бросания на пальцах». В этом случае каждый по сигналу показывает какое ему вздумается число пальцев на двух руках,( или на одной) после чего число пальцев суммируется и отсчитывается ( начиная с нуля) с заранее выбранного человека в заранее выбранном направлении. Тот на ком счет оканчивается и бежит за лимонадом. Казалось бы, шансы оказаться быть выбранными у всех участников одинаковы, но так ли это?.
И в том и в другом случае, оказывается можно выбрать верную стратегию поведения, но для этого следует заранее подготовиться. Поиски верной стратегии приведут к необходимости воспользоваться плодами увлекательной науки – теории вероятностей.
5
Определение вероятности
Простейший пример неоднозначной задачи: если подбросить монету, то заранее нельзя сказать, какой стороной она ляжет вверх. Все зависит от случая. Может показаться, что в подобных задачах нет никаких закономерностей. Но мы решили выяснить, что происходит при большом количестве бросков?
Опыт № 1
10 | 50 | 100 | 220 | |
ОРЕЛ | 2 | 22 | 49 | 111 |
РЕШКА | 8 | 28 | 51 | 109 |
Вывод. При большом количестве бросков примерно в половине случаев выпадает «орел».
Может показаться, что этот опыт очень простой, но монетку подбрасывали вверх и считали количество исходов известные математики. Французский естествоиспытатель Жорж Бюссон (1707-1788) бросал монету 4040 раз, и «орел» выпал в 2048 случаях. Английский математик Чарльз Пирсон (1857-1936) 24000 раз подбросил монету, «орел» выпал 12012 раз.[3]
Вывод. Результаты бросания монеты обладают некоторой закономерностью, хотя итог каждого броска неизвестен.
На практике часто не требуется знать исход одного испытания, но необходимо знать закономерности, появляющиеся при проведении большого числа испытаний. Теория вероятностей позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Например, нельзя заранее определить результат одного бросания монеты, но если подбросить вверх две тонны монет, то можно предсказать, что одна тонна упадет вверх «орлом», а другая тонна – «решкой». Подобные задачи часто встречаются в окружающей нас действительности
6
Применение математики к изучению событий такого характера опирается на то, что во многих случаях при многократном повторении испытаний в примерно равных условиях частота появления результата остается примерно одинаковой.
Пусть множество исходов данного опыта состоит из п равновозможных исходов, в т из которых происходит событие А. Вероятностью события А называется число, равное отношению числа исходов, в которых произойдет событие А, к числу всех исходов опыта.
Эта формула получена при помощи рассуждений, как мы уже указали ранее ,соответствуют ли рассуждения действительности проверяли многие ученые. И всегда она получала подтверждение . Мы провели еще один опыт
Опыт № 2
Мы предложили нашим одноклассникам вытащить из мешочка на ощупь один из шариков: красный, голубой , фиолетовый, или желтый. Теоретические рассуждения приводят нас к следующему результату: вероятность появления каждого цвета должен быть равно 0,25. А что покажет эксперимент?
10 | 20 | 50 | 100 | |
Красный | 5 | 6 | 13 | 26 |
Голубой | 2 | 16 | 15 | 28 |
Фиолетовый | 1 | 4 | 10 | 22 |
Желтый | 2 | 4 | 12 | 24 |
Вывод: Доля опытов в которых событие осуществилось, близка к расчетной, вероятность 0,25 подтверждена опытом, причем чем больше количество испытаний, тем точнее результат.
Воспользуемся формулой, для вычисления некоторых вероятностей
- Бросок монеты: множество исходов опыта п = 2 («орел», «решка»); событие А – выпадение «орла»
- Бросок кубика: множество исходов п = 6; событие В – выпадение «6»
7
- Бросок кубика: п = 6; событие С – выпадение четного числа очков
Однако не всегда теоретические рассуждения подтверждаются экспериментальной проверкой. Рассмотрим опыт с подбрасыванием двух монет. Математик Даламбер утверждал, что существуют 3 возможных исхода опытов: ОО, РР, ОР. Он думал, что все три исхода равновозможны [3] . Один из наших экспериментаторов Максим с ним согласился. Что же показывает опыт?
Опыт № 3
10 | 30 | 60 | 100 | |
О.О | 5 | 7 | 13 | 25 |
О.Р. | 2 | 13 | 32 | 53 |
Р.Р. | 3 | 10 | 15 | 22 |
В чем дело? Почему опыт не подтверждает теоретические рассуждения? Дело в том, что не все 3 исхода равновозможны! На самом деле у задачи 4 равновозможных исхода:
Первая монета | Вторая монета | |
1 | О | О |
2 | Р | Р |
3 | О | Р |
4 | Р | О |
Вывод: Оказывается, не всегда можно указать условия, при которых события можно считать равновозможными.
Что же делать? Приходится проводить какое-то количество испытаний, подсчитывать , сколько раз встретилось интересующее нас событие и делать выводы о вероятности данного события.
1. Какова вероятность того, что выбранный наугад ученик 5 б класса школы №2 города Колпашева окажется
а) хорошистом
б) учится в музыкальной или художественной школе
в) имеет домашнего животного?
Проведя соответствующие опросы, выясняем
Ответ: а)17 ∕ 26 б) 11 ∕ 26 в) 25 ∕ 26
2.Какова вероятность того, что в будущем учебном году количество учеников в нашей школе увеличится?
На первый взгляд вероятность равно 0,5. Ведь исходов всего два, и один из них благоприятный. Но если присмотреться к ситуации внимательнее не все так однозначно. Ситуации « количество учеников в школе в следующем голу увеличится» и « количество учеников в школе в следующем голу не увеличится» неравновозможны!
Изучим данные Районного отдела образования.
Количество учащихся в школах района по годам:
Учебный год | 2004-2005 | 2005-2006 | 2006-2007 | 2007-2008 |
Кол-во учащихся | 6274 | 5889 | 5611 | 5634 |
Учебный год | 2008-2009 | 2009-2010 |
Кол-во учащихся | 5350 | 5072 |
А в этой таблице представлена динамика поступления в 1 класс
Учебный год | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 |
Кол-во учащихся | 407 | 423 | 359 | 347 |
Учебный год | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 |
Кол-во учащихся | 405 | 400 | 345 | 374 |
Внимательно изучив данные, можно отметить постоянную динамику снижения количества учеников как в целом, так и поступающих в первый класс . Оценим искомую вероятность практически равной нулю.
9
Воспользуемся плодами теории вероятностей
Вернемся к старинной игре, теперь очевидно, что так как шашек окрашенных с двух сторон 2, а окрашенных по разному одна, то чтобы чаще выигрывать, надо называть тот же цвет , что и показан , с вероятностью 2∕3 вы будете правы.
Опыт №4
Василий знаком с верной стратегией игры , а наши одноклассники Роман и Никита нет. Вот результаты угадывания второго основания. Проведено 4 сеанса игры. Напротив имени каждого мальчика мы указали, сколько раз они угадывали верный цвет.
10 | 10 | 10 | 10 | |
Василий | 5 | 7 | 6 | 6 |
Роман | 3 | 2 | 3 | 4 |
Никита | 3 | 4 | 5 | 4 |
Вывод : Знакомство с теорией вероятности помогло нам выбрать верную стратегию
А что же со второй задачей? Оказывается и здесь теория вероятностей приходит к нам на помощь!
При любом количестве участников данного события счет заканчивается на участнике с номером 0, если общее количество выброшенных пальцев четно.
Посмотрим, что происходит при количестве участников 2.
Таких вариантов 1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1=61
Все они рассмотрены в таблице. По строкам указаны номера случаев, в столбцах возможные варианты выбрасывания пальцев первым и вторым участником.
Количество вариантов с четным выбрасыванием пальцев.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | |
0 | 0;0 | ||||||||||
2 | 1;1 | 0;2 | 2;0 | ||||||||
4 | 1;3 | 2;2 | 0;4 | 4;0 | 3;1 | ||||||
6 | 1;5 | 5;1 | 3;3 | 2;4 | 4;2 | 0;6 | 6;0 | ||||
8 | 0;8 | 8;0 | 1;7 | 7;1 | 2;6 | 6;2 | 3;5 | 5;3 | 4;4 | ||
10 | 0;10 | 10;0 | 1;9 | 9;1 | 2;8 | 8;2 | 3;5 | 5;3 | 4;6 | 6;4 | 5;5 |
12 | 2;10 | 10;2 | 3;9 | 9;3 | 4;8 | 8;4 | 5;7 | 7;5 | 6;6 | ||
14 | 4;10 | 10;4 | 5;9 | 9;5 | 6;8 | 8;6 | 7;7 | ||||
16 | 6;10 | 10;6 | 7;9 | 9;7 | 8;8 | ||||||
18 | 8;10 | 10;8 | 9;9 | ||||||||
20 | 10;10 |
10
Подсчитывая таким же образом количество вариантов с нечетным числом выброшенных пальцев имеем 2+4+6+8+10+10+8+6+4+2=60 вариантов
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
1 | 0;1 | 1;0 | ||||||||
3 | 1;3 | 3;1 | 0;3 | 3;0 | ||||||
5 | 0;5 | 5;0 | 1;4 | 4;1 | 2;3 | 3;2 | ||||
7 | 0;7 | 7;0 | 1;6 | 6;1 | 2;5 | 5;2 | 3;4 | 4;3 | ||
9 | 0;9 | 9;0 | 1;8 | 8;1 | 2;7 | 7;2 | 3;6 | 6;3 | 4;5 | 5;4 |
11 | 1;10 | 10;1 | 2;9 | 9;2 | 3;8 | 8;3 | 4;7 | 7;4 | 5;6 | 6;5 |
13 | 3;10 | 10;3 | 4;9 | 9;4 | 5;8 | 8;5 | 6;7 | 7;6 | ||
15 | 5;10 | 10;5 | 6;9 | 9;6 | 7;8 | 8;7 | ||||
17 | 7;10 | 10;7 | 8;9 | 9;8 | ||||||
19 | 9;10 | 10;9 |
Каждый из 121 случаев равновозможен! Поэтому шансов у участника с номером 0 быть выбранным больше , чем у участника с номером 1 Если обозначить через р0 вероятность того что за лимонадом пойдет нулевой участник, а за р1 вероятность того, что за ним пойдет первый., то р0=61 ∕121
Р1=60 ∕121. Значит , если ты не хочешь бежать в магазин, то лучше постараться, чтобы счет не начинался с тебя!
Мы подсчитали, что если участников 2, а «бросать» пальцы будем на одной руке, то шансы быть выбранными одинаковы и составляют 0,5.
Количество вариантов с четным выбрасыванием пальцев 18
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
0 | 0;0 | ||||
2 | 0;2 | 2;0 | 1;1 | ||
4 | 4;0 | 0;4 | 1;3 | 3;1 | 2;2 |
6 | 3;3 | 2;4 | 1;5 | 5;1 | 4;2 |
8 | 3;5 | 5;3 | 4;4 | ||
10 | 5;5 |
Количество вариантов с нечетным числом выброшенных пальцев тоже 18
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
1 | 0;1 | 1;0 | |||||
3 | 0;3 | 3;0 | 1;2 | 2;1 | |||
5 | 0;5 | 5;0 | 2;3 | 3;2 | 1;4 | 4;1 | |
7 | 2;5 | 5;2 | 3;4 | 4;3 | |||
9 | 4;5 | 5;4 |
11
А если участников трое, то шансы также одинаковы ( при выбрасывании на одной руке) и составляют 1 ∕ 3 . Если участников 4, то вероятность нулевого участника отправиться в магазин 0, 248, первого и третьего 0,25, а второго 0,252. Дальнейшие вычисления затруднительны в связи с большим количеством вариантов и по силам только компьютеру .
Вывод : Мы доказали что существует четкая числовая оценка шанса быть выбранным у каждого участника
12
Заключение
В данной работе мы решили несколько простых задач сложной науки теории вероятностей, повторили рассуждения основателей этой теории- ученых 17-18 веков. Рассмотрели некоторые практические ситуации с точки зрения теории вероятностей. Мы построили модели реальных явление( вынимание шаров из мешочка и т. д. ) и подтвердили эти модели фактами и экспериментами, рассмотрев тем самым смысл формулы дающей определение вероятности . Справа число, частное двух величин, каждое из которых можно подсчитать непосредственно. Слева число, связывающее модель с реальным миром, оно говорит, какова примерно доля тех опытов, в которых осуществляется интересующее нас событие, среди всех опытов. Применив плоды своих рассуждений, доказали, что некоторые , казалось бы совершенно неоднозначные задачи на самом деле имеют некоторый предопределенный результат.
13
Литература
- Гусев В.А., Орлов А. И., Розенталь А. Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах, М.: « Просвещение»,1984,285 стр
- Журнал « Квант», №10, М.: « Наука» ,1982г,64 стр
- Змеева Е. Е., Гриншпон И. Э. Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики. – Томск: ТОИПКРО, 2005.,86 стр
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Ах эта снежная зима
Весенняя гроза
Две лягушки
Нора Аргунова. Щенята
Владимир Высоцкий. "Песня о друге" из кинофильма "Вертикаль"