Числа правят миром

Уважаемый председатель жюри, уважаемые члены жюри, уважаемые присутствующие, позвольте представить вашему вниманию основные положения и результаты исследования на  тему «Числа правят миром» (щелчок)

В основе мира лежат числа натуральные.  Например,  пифагорейцы понимали число не просто как набор единиц, а как некие структуры, которые можно изобразить, выкладывая камешками, в форме определенных фигур.

Арифметика пифагорейцев была, поэтому тесно связана с геометрией: они выделяли классы чисел, имеющих одну и ту же форму, а именно: треугольные, квадратные, пятиугольные и так далее. (щелчок)

Целью моей работы является изучение теоретического материала  о фигурных числах, а именно - треугольных, квадратных и пятиугольных. Практическая часть заключается в решении задач по данной теме. (щелчок)

Давным-давно, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков.

Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Можно класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники или в три ряда. Также можно выкладывать камушки, чтобы получался треугольник или квадрат.

Итак, фигурные числа - это общее название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой. (щелчок)

Среди фигурных чисел различают:  

1. Линейные числа - числа, которые делятся только на единицу и на самих себя. , например,  число 5 (щелчок)
2. Плоские числа - числа, представимые в виде произведения двух сомножителей. Например, число 6 (щелчок)
3. Телесные числа, выражаемые произведением трех сомножителей. Например,  число 8 (щелчок)
4. Треугольные числа это числа из которых можно выложить правильные треугольники, на слайде вы видите несколько данных чисел  (щелчок)
5. Квадратные числа  получаются при выкладывании из камушков квадратов (щелчок)
6. Пятиугольные числа получаются при выкладывании камушками правильных пятиугольников (щелчок)

Треугольные, квадратные и пятиугольные числа, находятся по формулам, которые вы видите на слайде.

     Именно от фигурных чисел пошло выражение "Возвести число в квадрат или куб". (щелчок)

(щелчок)Несмотря на то, что в целом фигурные числа являются красивой, но малопродуктивной частью арифметики, с ними связаны многие известные теоретико-числовые результаты; более того, многие известные математические проблемы могут быть переформулированы в терминах фигурных чисел. (щелчок)

           Начнем обсуждение с треугольных чисел. Каждое треугольное число является биномиальным коэффициентом. Именно треугольные числа формируют третью диагональ треугольника Паскаля.

Так как квадратные числа представляют собой ничто иное, как полные квадраты, то в терминах квадратных чисел можно сформулировать много известных теорем. Рассмотрим уравнение Пифагора (теорема Пифагора) x2+y2=z2. Его натуральные решения (x, y, z) называются пифагоровыми тройками и геометрически соответствуют катетам и гипотенузе прямоугольного треугольника.  (щелчок)

При изучении данной темы, я нашла задачи, а именно возьмите натуральное число и разложите его на сумму треугольных, квадратных и пятиугольных чисел.   Например, 471. Я по формулам выписала по отдельности все треугольные, квадратные и пятиугольные числа, меньшие числа 471. Далее методом разностей нашла разложение числа 471 на сумму чисел: (щелчок)

Треугольных: 465+6 (щелчок)

Квадратных: 441+25+4+1 (щелчок)

Пятиугольных: 425+35+5+5+1

 (щелчок)

Еще вопрос, который меня заинтересовал: почему числа 2*2*2*2=16, 3*3*3*3=81, 4*4*4*4=256 и т.д. не имеют своего названия, хотя у квадратов и кубов чисел такие названия есть? (щелчок)

Решение. А дело в том, что мы живем в мире трех измерений (длина, широта и высота). Квадрат получился, когда мы выложили фигуру с одинаковой длиной и шириной, куб - фигура с одинаковыми длиной, шириной и высотой. Но нет четвертого измерения, чтобы выложить такую же красивую фигуру из 2*2*2*2 камушков.

Рассмотрим следующую задачу: Найдите первые пять шестиугольных чисел. (щелчок)

Возьмем формулу шестиугольного числа: N6(n)=n(2n-1) (щелчок) Найдем первые пять чисел (щелчок)

N6(1)=1(2*1-1)=1(щелчок)

N6(2)=2(2*2-1)=6 (щелчок)

N6(3)=3(2*3-1)=15 (щелчок)

N6(4)=4(2*4-1)=28 (щелчок)

N6(5)=5(2*5-1)=45 (щелчок)

Ответ: 1, 6, 15, 28, 45.

В ходе изучения данной темы я познакомилась с формулой Никомаха. Основываясь на эту формулу рассмотрим пример: (щелчок): Используя формулу Никомаха Nm(n)=Nm-1(n)+N3(n-1) найдите: N5(15) (пятнадцатое пятиугольное число) Решение: (щелчок):

Моя работа является началом исследования вопроса о фигурных числах. В ней я  рассмотрела, что такое фигурные числа, а именно: треугольные, квадратные, пятиугольные  и их  графическую иллюстрацию. Разобрала задачи, связанные с этими числами.  В дальнейшем я планирую рассмотреть и другие фигурные числа, а именно пирамидальные  числа, относящиеся к фигурным. (щелчок)

Спасибо за внимание!