Арифметическая прогрессия

Слайд 1

Слайд 2

Историческая справка Впервые , эта формула была доказана древнегреческим ученым Диофантом (III в. н. э.). Правило отыскания суммы n-первых членов произвольной арифметической прогрессии встречается в “книге Абаки” Л. Фибоначчи (1202г.). Много в этой области работал знаменитый немецкий математик К.Гаусс (1777 г.-1855г.). Он еще в детстве за 1 минуту сложил все числа от 1 до 100, увидел эту закономерность. Но, несмотря на пятидесяти вековую древность различных задач на прогрессии, в нашем школьном обиходе прогрессии появились сравнительно недавно. В первом учебнике “Арифметика” Леонида Филипповича Магницкого, изданном двести лет назад и служившем целых полвека основным руководством для школьного обучения, прогрессии хотя и имеются, но общих формул, связывающих входящие в них величины между собою, в нем не дано. Поэтому сам составитель учебника не без затруднений справлялся с такими задачами.

Слайд 3

Что это такое? Последовательность , у которой задан первый член a 1 , а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d , называется арифметической прогрессией: a n+1 = a n + d , где d - разность прогрессии .

Слайд 4

Формула разности арифметической прогрессии d= a n+1 -a n Если — арифметическую прогрессию называют возрастающей ; Если — арифметическую прогрессию называют убывающей ; В случае, если d=0 — все члены прогрессии равны числу a , то ариф м .прогрессию называют стационарной.

Слайд 5

Формулы арифметической прогрессии: a n = a 1 + d ( n - 1) - формула n- го члена арифметической прогрессии; 2a n = a n-1 + a n+1 - характеристическое свойство арифметической прогрессии для трех последовательных чисел; a n = a k + d ( n - k ) - формула нахождения n- го члена арифметической прогрессии через k - ый член прогрессии; a n + a m = a k + a l , - характеристическое свойство арифметической прогрессии для четырех произвольных чисел, если n + m = k + l .

Слайд 6

Сумма n членов арифметической прогрессии :

Слайд 7

ПРИМЕРЫ

Слайд 8

В арифметической прогрессии, первый член которой равен -3,4, а разность равна 3, найдите пятый и одиннадцатый члены. Итак, мы знаем, что a 1 = -3,4; d = 3. Найти: a 5 , a 11 . Решение. Для нахождения n-ого члена арифметической прогрессии воспользуемся формулой: a n = a 1 + ( n-1) d . Имеем: a 5 = a 1 + (5 – 1) d = -3,4 + 4 · 3 = 8,6; a 11 = a 1 + (11 – 1) d = -3,4 + 10 · 3 = 26,6 . Ответ: 8,6 и 26,6

Слайд 9

Найдите разность арифметической прогрессии, если известно, что a 3 = 36; a 8 = 106. Используя полученную нами формулу, решение задачи можно записать в одну строчку: d = (a 8 – a 3 ) / (8 – 3) = (106 – 36) / 5 = 14 . Ответ: 14 Хорошо освоив эти формулы, можно научиться с легкостью решать задачи с арифметической прогрессией.

Слайд 10

Конец