Линейное программирование на страже здоровья человека

XX научно-практическая конференция «Шаг в будущее»:

«Линейное программирование

на страже здоровья человека»  

                                                                                Выполнила:

                                                                                 Юзаю Ксения Александровна,

                                                                                 ученица 10 «а» класса МБОУ СОШ №37.

                                                                                Научный руководитель:

                                                                                Конева Галина Михайловна,

                                                                                   учитель математики МБОУ СОШ №37,  

                                                                               «Отличник  просвещения РФ»,                      

                                                                                 Победитель Конкурса лучших учителей России(2009 г)

Улан-Удэ

2013

Рецензия

Ученица 10»а» класса МБОУ СОШ №37 Юзаю Ксения вот уже второй год продолжает исследовательскую работу по теме «Линейное программирование».  Методы линейного программирования позволяют наиболее рациональным образом распределить ограниченные ресурсы, рассчитать максимальную выгоду или минимальные затраты Ее интересуют задачи прикладного характера. Например, в прошлом году она исследовала вопрос о наиболее выгодной аренде воздушного судна па примере  авиакомпании «Бурятские авиалинии». В настоящем докладе она исследует вопрос определения диеты человека, то есть определения такого набора продуктов, который, с одной стороны, обеспечивал бы жизненные потребности человека в белках, жирах, углеводах, микроэлементах, витаминах, а с другой – имел бы минимальную стоимость.

В процессе работы над докладом Ксения исследовала цены на продукты в различных магазинах поселков Аэропорт и Сокол, дала им сравнительную характеристику.

Интересен тот факт, что ученица самостоятельно изучила метод Гаусса-Жордана для решения систем линейных уравнений с несколькими переменными и применила его в одной из задач. Не менее интересно также то, что Ксения в своей семье стала проводником здорового питания.  Как эти факты, так и работа в целом над докладом является полезным воспитательным моментом для будущего выпускника школы, так как представляет собой элементы экономического образования. Экономическое образование становиться особенно актуальным в наше время. Актуальность экономического образования и воспитания в наши дни обусловлена необходимостью адаптации выпускников школы к динамично изменяющимся социально-экономическим условиям жизни, повышенными требованиями к личностным качествам будущих кадров рыночной экономики - их активности, самостоятельности, компетентности, деловитости.

Работая над докладом, она изучила и проанализировала  множество различных статей и докладов из Интернета, получила консультацию от врача-диетолога из Республиканского Центра здоровья (улица Жердева,100). Ученица проделала большую самостоятельную работу, и этот доклад будет интересен учащимся, увлекающимся математикой, будущим экономистам.

                                                       Учитель высшей категории: Конева Г.М.

1

План

1.  Введение
2. Из истории линейного программирования
3. Задача о диете

1) Общая формулировка  задачи о  диете

2) Пример решения общей задачи о диете графическим  методом.

4. Проблема подбора оптимального количества пищевых продуктов для составления диеты.

Задача№1. Расчет диеты по трем базовым органическим веществам - белкам, жирам и углеводам.

Задача№2. Расчет диеты по макроэлементам: кальций, магний, калий и фосфор.

Задача№3. . Составление рациона питания, включающего в себя  самый важный макроэлемент-кальций.

Задача№4. Составление рациона питания, включающего в себя  жизненно важный витамин С.

Задача№5.Из Исследования Операций: Приложения и Алгоритмы, Издание четвертое, автор Вейн Л. Уинстон

5. Заключение.
6. Список использованной литературы и Интернет - ресурсов.

2

1. Введение.

             «Скажи мне, что ты ешь, и я скажу, чем ты болеешь» - Гиппократ.

Линейное программирование — область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными. Рассмотренная ниже задача о диете относится к схеме линейного программирования.

Слово «диета» обычно употребляется в двойном значении: как еда и как режим питания. Словарь Брокгауза и Эфрона дает такое определение: «Под диетой подразумевается пищевой режим, устанавливаемый для здоровых и больных соответственно возрасту, телосложению, профессии, климату, временам года и т. д.». О том же сообщает и Советский энциклопедический словарь: «Диета — специально подобранный по количеству, химическому составу, калорийности и кулинарной обработке рацион питания».
Почему-то у многих людей сложилось представление, что диета является одной из систем ограничения, сознательным или вынужденным отказом от радости вкусного и разнообразного стола. А вот древнегреческое толкование понятия «диета» имело более глубокий смысл. «Diaita» — образ жизни, способ действия, взгляд на реальность текущего времени.
В таком понимании диета есть не что иное, как искусство управления своими потребностями, соблюдения разумного режима питания, понимания биологических ритмов своего организма, согласования своей жизни с природой.
Наука довольно рано обосновалась на благодатном диетическом поле, создавая все новые и новые способы оздоровления человека и лечения всяческих недугов. Диетология стала важнейшей частью медицины, укрепляя свой авторитет скрупулезно разработанными и научно выверенными рецептами питания. А математика и ее методы стали тем инструментарием, без которого не может существовать диетология. В данной статье я изучила и исследовала те методы, которые «стоят на страже» такой  науки, как  «диетология».

2. Из истории линейного программирования

Методы линейного программирования были разработаны только в середине XX века, намного позже, чем классические приемы нахождения экстремума, опирающиеся на работы Ферма (1601-1665), Лангаржа (1736-1813) и других великих математиков прошлых столетий. К тому же практическая потребность решать задачи, приводящие к линейному

3

программированию, появились лишь тогда, когда экономика столкнулась с проблемой планирования крупномасштабных производств.

Первые работы по линейной оптимизации принадлежат выдающемуся советскому математику Леониду Витальевичу Канторовичу (1912-1986). В 1938 году он консультировал фанерный трест  по проблеме эффективного использования лущильных станков. Канторович понял, что проблема сводится к максимизации линейной функции многих переменных при наличии ограничений в форме линейных равенств и неравенств. Он модифицировал метод множителей Лангаржа для ее решения и осознал, что к такого рода задачам сводится множество проблем экономики. В 1939 году опубликовал работу «Математические методы организации и планирования производства», в которой описал задачи экономики, поддающиеся открытому им математическому методу.  К сожалению, в то время эти пионерские результаты не были должным образом оценены из-за косности официальной советской экономической науки, которая не терпела вторжения «механистической»  математики в ее святая святых – маркистско-ленинское экономическое учение.

Признание в своей стране пришло намного позже, в 1960-е годы, а в 1975 г. Канторович совместно с американским экономистом голландского происхождения Тьяллингом Купмансом был удостоен Нобелевской премией по экономике «за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов».

На Западе отцом-основателем этого направления считают американского математика Джорджа Данцинга. В годы Второй мировой войны он занимался программированием поставок военной техники. Данцинг предложил использовать военную модель для оптимизации планирования и изобрел универсальный численный метод решения – симплексный метод. До окончания войны эти результаты считались секретными и были опубликованы только в 1947 году, вызвав взрыв интереса к новой области науки, которая с подачи Данцинга получила название «линейное программирование».

На протяжении следующих десятилетий линейное программирование бурно развивалось. Во-первых, появились новые направления, обобщающие классическую задачу: параметрическое линейное программирование, целочисленное линейное программирование, блочное программирование и т.д. Во-вторых, для отдельных задач (транспортная задача, задача о назначениях, задача о наибольшем потоке в сети и др.) были разработаны специализированные и чрезвычайно эффективные методы решения.  Наконец, для всех поколений и типов компьютеров были созданы пакеты прикладных программ, реализующие различные методы линейного программирования.

Один из видов классических задач линейного программирования связан с проблемой подбора оптимального набора пищевых продуктов для составления диеты.

4

Для того  чтобы жить, человек должен ежедневно получать  в необходимых количествах белки, жиры, углеводы, витамины, микроэлементы и прочие питательные вещества. Эти вещества попадают в организм с разнообразными пищевыми продуктами.

 Задача данной исследовательской работы  состоит в определении  такого набора продуктов, который, с одной стороны, обеспечивал бы жизненные потребности человека, а с другой – имел бы минимальную стоимость.

III. Задача о диете

1) Общая формулировка  задачи о  диете

1. Содержательное описание

Имеется несколько видов продуктов. Определить рацион питания (количество каждого вида продукта) так, чтобы были обеспечены нижние границы норм потребления некоторых питательных веществ, а стоимость рациона была наименьшая. Цены за единицу каждого продукта известны.

2. Математическая модель

2.1. Исходные параметры

 – количество видов продукта

 – количество контролируемых питательных веществ

 – нормы потребления каждого питательного вещества (нижние границы)

– содержание i-го питательного вещества в единице j-го продукта

– цена каждого продукта

2.2. Управляемые параметры (варьируемые параметры)

 – объем закупок каждого продукта

 – вектор управляемых параметров (решение, план закупок или рацион)

2.3. Ограничения модели

Потребление каждого питательного вещества не должно быть ниже нормы.
Пусть– содержание i-го питательного вещества в произвольном рационе .

 5

Нужно выбрать наилучшее решение.

3. Формулировка цели принятия решений

Сформулируем критерий оптимальности. Пусть – стоимость произвольного рациона . Требуется найти рацион наименьшей стоимости

Таким образом, задача о диете ставится как задача определения такого набора управляемых параметров

,

при  которых достигается наименьшее значение критерия

при условии

2) Пример решения общей задачи о диете графическим  методом.

Для сохранения  здоровья и работоспособности человек должен в сутки потреблять не менее 69 условных  ед. белков, не менее 84 условных  ед. жиров, не менее 39 условных  ед. углеводов. Имеется два вида продуктов  и : стоимость единицы каждого из них равна соответственно 4 и 12 ден. ед. Имеем таблицу содержания белков, жиров и углеводов в продуктах П₁ и   П₂:

            Требуется  составить математическую модель задачи, позволяющую сформировать из продуктов П₁ и П₂ суточную диету, которая содержала бы белков, жиров и углеводов не меньше минимальных обоснованных норм и требовала бы минимальных денежных затрат. Решим данную  задачу графическим способом.

6

Решение.

Обозначим через х₁ и х₂  количества единиц соответственно продуктов П₁ и П₂ , которые составят суточную диету, а через - затраты, связанные с приобретением продуктов.  Тогда целевую функцию  в принятых обозначениях и с учетом цен на продукты можно записать в виде:

                                  (1.1)

где 4х₁ - стоимость х₁  единиц продукта П₁, 12х₂ - стоимость х₂ единиц продукта П₂. Состав () суточной диеты должен удовлетворять упомянутым в задаче ограничениям на содержание  в нем белков, жиров и углеводов. Например, белков в х₁ единицах продукта П₁  будет присутствовать 3х₁ усл. ед, белков в х₂ единицах продукта П₂ будет присутствовать 16х₂ условных ед., так что общее количество белка в диете  составит 3х₁ +16х₂  условных единиц.  По условию задачи эта сумма должна быть не меньше 69, что можно выразить неравенством:

                                 (1.2)

            Проводя аналогичные рассуждения в отношении жиров и углеводов, получим еще два неравенства, которым должны удовлетворять переменные х₁ и х₂  :

                                 (1.3)

                                   (1.4)

            По смыслу задачи переменные  и  не могут выражаться отрицательными числами, откуда

                                     (1.5)

Соотношения (1.1) - (1.5)  образуют математическую модель данной задачи. Таким образом, математическая задача состоит в нахождении решения х₁ и х₂   системы неравенств (1.2)-(1.5), доставляющего минимум функции (1.1).

            Построим на координатной плоскости (х₁0х₂) область допустимых решений системы неравенств (1.2)-(1.5). Запишем уравнения граничных прямых, соответствующих неравенствам (1.2)-(1.5):

                                 (1.6)

                                 (1.7)

                                   (1.8)

            Учитывая, что неравенства (1.5) определяют первую четверть координатной плоскости , находим область допустимых решений системы неравенств (1.2)-(1.5), как общую часть (пересечение) всех установленных полуплоскостей. В нашем случае это выпуклая неограниченная многоугольная область с вершинами A, B, C и D (см. рис.).

   Остается в этой области найти точку, координаты которой доставляют минимум функции (1.1). Из рисунка видно, что последней (крайней) точкой области допустимых решений является точка C.  Именно в этой точке функция и достигает наименьшего значения. Координаты точки C находятся в результате совместного решения уравнений прямых (1.6) и (1.8) – граничных прямых BС и СD, пересекающихся в этой точке:3∙х₁+16∙х₂=69; 3∙х₁+6∙х₂=39. Итак, х₁=7; х₂=3 и f=4∙7+12∙3=6. Итак по оптимальному плану в суточную диету следует включить 7 единиц продукта П₁ и  3 единицы продукта П₂. При этом затраты будут минимальными и составят 64 денежных  единицы.

IV. Проблема подбора оптимального количества пищевых продуктов для составления диеты на примерах конкретных продуктов.

На примере рассмотренных выше задач я начала проводить собственное исследование и свои расчеты.

Задача №1.Расчет диеты по трем базовым органическим веществам - белкам, жирам и углеводам.

Исследуем классическую задачу линейного программирования,  связанную с проблемой подбора оптимального набора пищевых продуктов для составления диеты по трем базовым органическим веществам - белкам, жирам и углеводам.

Эти вещества попадают в организм с разнообразными пищевыми продуктами. Химический состав продуктов известен, соответствующие таблицы опубликованы в справочниках по кулинарии и диетике. Из этих справочников я выписала таблицу:

Таким образом, суточная потребность беков, жиров и углеводов для человека  равна соответственно 0,1, 0,1 и 0,4 кг. Из всего многообразия пищевых продуктов выберем для примера шесть:

1. рыбу (нежирную),
2. растительное масло,
3. сахар,
4. мясо,
5. молоко и
6. хлеб.

Содержание базовых питательных веществ в 1кг на 1 кг указанных продуктов приведено в таблице. Остальное – вода, клетчатка и прочие не учитываемые в данной модели ингредиенты.

Для определения стоимости диеты нужно знать цены продуктов, которые, к слову сказать, постоянно меняются в сторону повышения. Для того, чтобы решить задачу о биологическом прожиточном минимуме при данном уровне цен, я исследовала уровень цен в различных магазинах поселков  Аэропорт и Сокол. Здесь я привожу округленные средние цены продуктов за 1 килограмм  нескольких магазинов 8 -9 декабря 2012 года:

Анализируя данную таблицу, можно сделать вывод, что наиболее низкие цены в магазине «Либерти». Если обозначить количество рыбы в суточной диете через х₁, количество масла через х₂, количество сахара -, мяса-, молока-, хлеба-,то задача оптимизации диеты сводится к минимизации линейной целевой функции:

F(x₁; x₂; ; ; ; )= 68∙   + 150∙ + 27∙  +170∙ + 35∙ + 19∙

Составим уравнение с помощью данных из таблицы на суточную потребность белков, исходя из данного рациона питания:

 0,12∙ + 0∙ + 0∙ + 0,13∙ + 0,03∙ + 0,07∙= 0,1.

Аналогично для жиров:  + 0,03∙+ 0,03∙= 0,1.

И далее для углеводов:  + 0,05∙ + 0,5∙= 0,4.

Запишем данные линейные ограничения- равенства в виде системы:

0,12∙ + 0∙ + 0∙ + 0,13∙ + 0,03∙ + 0,07∙ = 0,1.

0∙ + 1∙ + 0∙ +  0,03∙+ 0,03∙+0∙ = 0,1

 + 0,05∙ + 0,5∙= 0,4,

причем, ≥ 0,  ≥ 0,  ≥ 0,  ≥ 0,  ≥ 0,  ≥ 0.

Данная система имеет бесконечное множество решений в зависимости от того, каким продуктам мы отдаем предпочтение. Далее я буду делать расчеты с учетом моих предпочтений в питании.

1) Если предположить, что в суточном меню содержаться и рыба, и мясо, а также предположить, что мяса мы в сутки съедаем 200 грамм, то есть  = 0,2кг, молока – 300 грамм, то есть  = 0,3кг и хлеба – 200 грамм, то есть  =  0,2кг, то система ограничений примет вид:

Из 1-го уравнения:

                                    = 0,051 ∕ 0,12 = 0,425 ⇒ за сутки желательно съедать 425 грамм рыбы.

Из 2-го уравнения:  ⇒ в сутки нужно съесть 8,5 грамм масла.

Из 3-го уравнения:  ⇒ в сутки нам требуется съесть 285 грамм сахара (с учетом сладостей).

Итак, наш рацион должен включать в себя: 425 грамм рыбы, 8,5 грамм  масла, 285 грамм сахара, 200 грамм  мяса, 300 грамм  молока.                              

Далее составим целевую функцию, исходя из количества продуктов и их наименьших цен:

L = () = 68∙0, 425 + 150∙0, 085 + 27∙0, 285 + 170∙0, 2 + 35∙0, 3 + 19∙0, 2=28,9 + 12,75 + 7,695+ 34+10,5 + 3,6= 97,445 руб. ≈ 97 руб.

Вывод: для соблюдения диеты, включающей в себя необходимое количество для организма человека белков, жиров и углеводов минимальные затраты составят 97 рублей в день.

2) Если предположить, что в суточном меню содержится только рыба и отсутствует мясо, то я составляю диету для, так называемого,  «рыбного» дня.

Также предположим, что в сутки мы съедаем сахара 220 грамм, т.е. х₃ = 0,22кг; мяса по условию нет, т. е. х₄=0;  а хлеба съедаем 300 грамм, т. е. х₆ = 0,3кг, то составим систему согласно нашим предположениям и отсутствию в меню мяса:

  0,12∙х₁ + 0∙х₂ + 0∙0,22 + 0,13∙0 + 0,03∙х₅ + 0,07∙0,3 = 0,1

  0∙х₁ + х₂ + 0∙0,22 + 0,03∙0 + 0,03∙х₅ + 0∙0,3 = 0,1

  0∙х₁ + 0∙х₂ + 0,22 + 0∙0 + 0,05∙х₅ + 0,5∙0,3 = 0,4

Из 3-го уравнения находим, что х₅=0,6кг, т.е. за сутки желательно выпивать 600 грамм молока (2,5 стакана).

Из 2-го уравнения получаем, что х₂=0,082кг, т.е. в суточном меню должно присутствовать масло в количестве 82 грамм.

И далее, из 1-го уравнения имеем, что х₁=0,5кг, или наше меню должно содержать 500 грамм рыбы.

Следовательно, наш «рыбный» день должен содержать 500 грамм рыбы, 82 грамма масла, 220 грамм сахара, 0 грамм мяса, 600 грамм молока, 300 грамм хлеба.

А сейчас нам следует составить целевую функцию, учитывая минимальные цены продуктов:

L () = 68∙0,5 + 150∙0,082 + 27∙0,22 + 35∙0,6 +19∙0,3 = 34 + 12,3 + 5,94 + 21 + 5,7 = 78,94 руб. ≈ 79 рублей

Вывод: для соблюдения «рыбной» диеты, включающей в себя необходимое количество для организма человека белков, жиров и углеводов минимальные затраты составят 79 рублей в день.

Задача №2. Расчет диеты по основным макроэлементам – кальций, магний ,калий и фосфор.

В нашей стране в 2005 году были введены нормы "адекватного уровня потребления" и "допустимого уровня потребления", которые касаются лишь 20 элементов. Выберем из этой таблицы нормы суточной потребности человека (в возрасте от 24 до 60 лет) в основных макроэлементах:

Прежде чем исследовать задачу на составление диеты по основным макроэлементам – кальций, магний, калий и фосфор, рассмотрим таблицу последствий для здоровья человека при недостаточности этих элементов:

Итак, в каких же продуктах содержатся кальций,  магний, калий и фосфор?  Выберем из большого количества молочных продуктов наиболее уникальные: ряженку и творог.  Что содержит ряженка? И что содержит творог?

Поставим задачу: составить математическую модель задачи, позволяющую сформировать из таких продуктов, как ряженка и творог суточную диету, которая содержала бы основные макроэлементы: кальций, магний, калий и фосфор не меньше минимальных обоснованных норм и требовала бы минимальных денежных затрат. Решим данную  задачу графическим способом.

Обозначим количество ряженки в суточной диете через х₁, количество творога через х₂.

Составим неравенства с помощью данных из таблиц на суточную потребность указанных макроэлементов исходя из данного рациона питания:

1)1800∙ х₁ + 1640∙ х₂ ≥ 1000 – ограничение по кальцию

2) 400∙ х₁ + 220∙ х₂ ≥ 200 ограничение по магнию

3) 910∙ х₁ + 4000∙ х₂ ≥ 1000 - ограничение по калию

4) 920∙ х₁ + 2200 ∙ х₂ ≥ 700 - ограничение по фосфору.

Рассмотрим  уравнение: 1800∙ х₁ + 1640∙ х₂ = 1000. Выразим из этого уравнения х₂:

 х₂ = . Для построения графика построим таблицу значений:

Далее рассмотрим уравнение: 400х₁ + 220∙ х₂ = 200. Выразим из этого уравнения х₂:

х₂ =  . Для построения графика построим таблицу значений:

Рассмотрим следующее уравнение: 910∙х₁ + 4000∙х₂ =1000.  Выразим из этого уравнения х₂:     х₂ =  . Для построения графика построим таблицу значений:

И, наконец, рассмотрим четвертое уравнение: 920∙ х₁ + 2200 ∙ х₂ = 700. Выразим из этого уравнения х₂:  х₂ = . Для построения графика построим таблицу значений:

Для составления целевой функции исследуем цены на обозначенные продукты в разных магазинах:

Итак, самую дешевую ряженку  и самый дешевый творог продают в магазине ОАО «Молоко Бурятии». Составляем целевую функцию: F = 50∙ х₁ + 120∙ х₂.

Пусть 50∙ х₁ + 120∙ х₂ = 0. Отсюда х₂ = - . Построим график функции х₂ = -  и будем осуществлять параллельный перенос его вдоль оси ОУ вверх, т.е. это равносильно увеличению значений выражения 50∙х₁ + 120∙х₂.

Чтобы целевая функция принимала минимальное значение, ее график должен пересечь многоугольник ограничений в точке  В(0,5; 0,2). Это значит, чтобы дневной рацион содержал большой набор макроэлементов (не менее 1000мг кальция, не менее 200 мг магния, не менее 1000 мг калия и не менее 700 мг фосфора) и чтобы затраты при этом были минимальные, человеку можно в течение суток выпить два стакана ряженки и съесть 200 грамм творога.

Найдем значение целевой функции: F = 50∙0,5 + 120∙ 0,2 =49 руб.

Ряженка – уникальный кисломолочный продукт:

1. богата комплексом витаминов, ферментов, биологически активных веществ, незаменимых аминокислот;
2. содержит большое количество живых молочнокислых микроорганизмов;
3. нормализует деятельность желудочно-кишечного тракта;
4. защищает организм от пищевых аллергий;
5. способствует регулированию обмена веществ;
6. усиливает деятельность иммунной системы;
7. придает коже здоровый цвет;
8. снимает усталость.

Задача №3. Расчет диеты по основному макроэлементу – кальцию.

Рассмотрим самый важнейший  макроэлемент -   кальций, без которого жизнь человеческого организма невозможна. Суточная потребность человека в кальции составляет 1000 мг. Кальций формирует скелет человека, составляет структурную основу костей и зубов, оказывает значительное влияние на процессы свертывания крови, регулирует мышечное сокращение, снимает уровень проницаемости стенок сосудов, нормализует обмен веществ, обладает противовоспалительным действием. Человек способен удовлетворить потребность организма в этом необходимом элементе с помощью своего рациона питания. Поэтому важно знать, в каких продуктах содержится кальций, в каких количествах их нужно употреблять. Как правило, дефицит кальция в организме человека приводит к развитию такого заболевания, как остеопороз. Особенно необходимо следить за поступлением достаточного количества кальция с продуктами питания людям, предпочитающим низкокалорийные диеты.

Итак, в каких продуктах содержится кальций?  Представляю таблицу стоимости тех продуктов питания, которые я выбрала для исследования:

Поставим задачу, определить  некоторый набор продуктов, который, с одной стороны, обеспечивал бы суточную потребность человека в кальции, а с другой – имел бы минимальную стоимость.

Чтобы решить эту задачу графически, выберем два вида продуктов, например, молоко и сыр. Необходимо определить, сколько молока и сколько сыра следует включить в дневной рацион, чтобы при минимальных затратах в нем оказалось не менее 1000мг кальция и не менее 0,2кг молока и не менее 0,05 кг сыра.

Пусть x₁ это количество молока, x₂ - сыра. Тогда ограничения имеют вид:

1200х₁ + 8000х₂ ≥ 1000            

х₁ ≥ 0,2

х₂ ≥ 0,05

Рассмотрим уравнение 1200х₁ + 8000х₂ = 1000 ⇒ 6х₁ + 40х₂ = 5 ⇒ х₂ = - 0,15∙х₁ + 0,125

Далее, целевая функция: F (х₁, х₂) = 40∙х₁ + 250∙х₂

Пусть 40∙х₁ + 250∙х₂ = 0, отсюда х₂ = - 0,16∙х₁

Необходимо найти такие х₁ и х₂, при которых целевая функция принимает минимальное значение. Построим область допустимых решений задачи:

Будем осуществлять параллельный перенос графика х₂ = - 0,16∙х₁ вдоль оси ОХ₂ вверх, т.е. это равносильно увеличению значений выражения 40х₁ + 250х₂. Чтобы целевая функция принимала минимальное значение, ее график должен пересечь отрезок АВ  в точке А. Она является точкой пересечения прямых х₁ = 0,2 и  х₂ = - 0,15∙х₁ + 0,125.

Отсюда х₂ = - 0,15∙0,2 + 0,125 = 0,095

⇒ х₁ = 0,2кг;  х₂ = 0,095кг

Найдем значение целевой функции:

F (х₁, х₂) = 40∙0,2 + 250∙0,095 = 8 + 23,75 = 31,75 ≈ 32 (руб)

Итак, чтобы дневной рацион содержал не менее 1000мг кальция и чтобы затраты при этом были минимальные, человеку необходимо ежедневно выпивать 1 стакан молока (200 грамм) и съедать 95 грамм сыра. При этом затраты составят 32 рубля в день.

Задача№4. Составление рациона питания, включающего в себя  жизненно важные  витамины.

Известно, что 1кг лимонов содержит 150мг витамина С, а 1кг яблок  - 75 мг витамина С.  Известно также, что человеку необходимо употреблять 75 мг витамина С  в сутки. Сколько апельсинов и сколько яблок следует включить в дневной рацион, чтобы при минимальных затратах в нем оказалось 75 мг витамина С, не менее 0,25кг апельсинов и не менее 0,25кг яблок, если 1кг апельсинов стоит 90р., а 1кг яблок – 60р.?

Ограничения имеют вид:

х ≥ 0,25                     х ≥ 0,25          х ≥ 0,25                      

у ≥ 0,25                     у ≥ 0,25          у ≥ 0,25

150х + 75у = 75        2х + у = 1      у = -2х +1

Целевая функция: F (х, у) = 90х + 60у

Необходимо найти такие х и у, при которых целевая функция принимает минимальное значение. Построим область допустимых решений задачи:

Пусть 90х + 60у = 0; отсюда у = -3/2∙х

Построим график функции у = -3/2∙х и будем осуществлять параллельный перенос его вдоль оси ОУ вверх, т.е. это равносильно увеличению значений выражения 90х + 60у. Чтобы целевая функция принимала минимальное значение, ее график должен пересечь отрезок М1М2  в точке М2. Она является точкой пересечения прямых у = 0,25 и

у = -2х +1.  Решение системы уравнений:

у = 0,25                           у = 0,25                  

у = -2х +1    ;                     х = 0,375 .

Далее находим: F (х, у) = 90· 0,375 + 60·0,25 = 48,75р.

Итак, чтобы дневной рацион содержал 75мг витамина С и чтобы затраты при этом были минимальные, человеку необходимо ежедневно съедать 0,375кг апельсинов и 0,25кг яблок.

Следующую задачу я  взяла из Исследования Операций: Приложения и Алгоритмы, Издание четвертое, автор Вейн Л. Уинстон (Томсон, 2004 г.). В этом сборнике задача только сформулирована. А я ее решила! Предлагаю посмотреть решение.

Задача № 5.Моя диета требует, чтобы вся пища, которую я ем, принадлежала к одной из четырех "основных пищевых групп": шоколадное пирожное, мороженое, газированная вода и творожный пудинг. Одно пирожное стоит $0.50, одна порция мороженого стоит $0.20, одна бутылка колы стоит $0.30, и один кусок пудинга стоит $0.80. Каждый день я должен получать не менее 500 калорий, 6 унций (1 унция = 28,35 грамм) шоколада, 10 унций сахара и 8 унций жира. Содержание питательных веществ на единицу для каждого вида пищи приведено в таблице ниже. Удовлетворите мои потребности в питании с наименьшими затратами.

Ежедневные потребности в пище: 1000 килокалорий, 6 унций шоколада, 10 унций сахара,8 унций жира.

Таблица содержания питательных веществ на единицу для каждого вида пищи и стоимость:

1. x1: количество шоколадных пирожных с орехами
2. x2: количество порций шоколадного мороженого
3. x3: количество бутылок газированной воды
4. х₄ : количество кусков ананасового творожного пудинга

Согласно потребностям в этих продуктах ограничения-равенства, сведенные в систему, имеют вид:

 400х₁ + 200х₂ + 150х₃ + 500х₄ = 1000 ⃒:50                 8х₁ + 4х₂ + 3х₃ + 10х₄  = 20

3х₁ + 2х₂ + 0х₃ + 0х₄ = 6                                                 3х₁ + 2х₂ + 0х₃ + 0х₄ = 6

2х₁ + 2х₂ + 4х₃ + 4х₄ = 10 ⃒:2                                        1х₁ + 1х₂ + 2х₃ + 2х₄ = 5

2х₁ + 4х₂ + 1х₃ + 5х₁ = 8                                                 2х₁ + 4х₂ + 1х₃ + 5х₁ = 8  

Решаем эту систему уравнений методом Гаусса-Жордана. Для этого следует 3-е уравнение поставить на первое место и ввести матрицу. В матрице записываем все коэффициенты уравнений:

1   1   2    2     5                               Из второй строчки вычитаем первую, умножив ее на 8:

8   4   3   10   20                              8   4   3     10   20

3   2   0    0     6                               8   8   16   16   40

2   4   1    5     8                               0  -4  -13   -6   -20                

Таким образом, вторая строка матрицы, умноженная на -1 будет выглядеть так:

0   4   13   6   20

Аналогично, для получения нуля в начале 3-й строки вычитаем из нее 1-ую, умноженную на 3:

3   2   0   0   6                   3 строка:  0  -1  -6  -6  -9 ⃒∙(-1)

3   3   6   6   15                                  0    1   6    6   9

0   -1  -6  -6  -9

Из четвертой строки вычитается первая, умноженная на 2:

2   4   1   5   8

2   2   4   4   10

0   2  -3   1   -2

Матрица примет вид:        

 1   1    2    2     5

 0   4   13   6    20

0    1    6    6    9

 0   2   -3    1   -2

Аналогичным образом решаем далее до того момента, когда это будет выглядеть так:

1   1    2     2     5  

0   1    6     6     9

0   0   11   18   16

0   0    0   149   31

Из четвертой строки матрицы имеем, что 149∙х₄ = 31⇒ х₄ ≈ 0,2  

Из 3-й строки: 11∙х₃ + 18∙0,2 = 16 ⇒ х₃ = 1,2

Из 2-й строки: 1∙х₂ + 6∙1,2 + 6∙0,2 = 9 ⇒ х₂ = 0,6

И, наконец, из 1-й строки: 1∙х₁ + 1∙0,6 + 2∙1,2 + 2∙0,2 = 5 ⇒ х₁=1,6

Следовательно, пирожного нам нужно съесть 1,6∙100=160 грамм, мороженого 0,6∙100=60 грамм, газированной воды выпить 1,2∙250=300 грамм, а творожного пудинга съесть 0,2∙350=70 грамм.

Согласно ценам на продукты (в долларах), составим целевую функцию: F=0,5х₁ + 0,2х₂ + 0,3х₃ + 0,8х₄. Определим затраты с помощью этой формулы: F=0,5∙1,6 + 0,2∙0,6 + 0,3∙1,2 + 0,8∙0,2 = 1,88 доллара

Переведем эти деньги в рубли, умножив на приблизительный курс доллара 30 рублей: 1,88∙30 = 56,4 рубля ≈56 рублей

Вывод: для соблюдения этого рациона, а именно количества килокалорий и необходимых организму питательных веществ в день нужно съедать 160 грамм пирожного, 60 грамм мороженого, 70 грамм творожного пудинга и выпивать 300 грамм газированной воды. При этом затраты составят ≈56 рублей.

V. Заключение

Диета есть не что иное, как искусство управления своими потребностями, соблюдения разумного режима питания, понимания биологических ритмов своего организма, согласования своей жизни с природой. Линейное программирование в задачах о диете позволяет точно рассчитать количество продуктов, требуемых человеку для соблюдения рациона питания, а главная его функция это свести к минимуму все денежные затраты, что позволяет контролировать свой бюджет и расходы.
Каждый человек понимает, что когда придерживаешься некоторой диеты и даже целых систем питания, то это конечно будет способствовать не только оздоровлению организма, но профилактике, и даже лечению от массы заболеваний, что в наше время очень актуально.

VI. Список использованной литературы и Интернет-ресурсов:

1. Гладких Б.А., Методы оптимизации и исследование операций для бакалавров информатики. Часть 1.Линейное программирование. Томск,2008.
2. Вейн Л. Уинстон, Исследования Операций: Приложения и Алгоритмы, Издание четвертое, (Томсон, 2004 г.).
3. Вершик А. М., O Л. В. Канторовиче и линейном программировании.
4. Беляева Э. С., Монахов В.М. Экстремальные задачи. М.: Просвещение, 1997.
5. Математика в экономике. Часть 1. Линейная алгебра, аналитическая геометрия и линейное программирование, А. С. Солодовников, В. А. Бабайцев, А. В. Браилов, И. Г. Шандра.
6. Возняк Г. М., Гусев В. А. Прикладные задачи на экстремумы. М.: Просвещение, 1985.
7. Данциг Дж., Линейное программирование, его применения и обобщения, М., 1966.
8. Еремин И. И., Астафьев Н. Н., Введение в теорию линейного и выпуклого программирования, М., 1976.
9. Н.А.Терешин «Прикладная направленность школьного курса математики». – М.: Просвещение, 1990 г.
10. http://matmetod-popova.narod.ru
11. http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/model-zadachi-lineynogo-programmirovaniya
12. http://www.ja-zdorov.ru/ kalcij
13. http://www.bio-lavka.kiev.ua

(4)

(5)

(6)