"Непознанный мир чисел"

РАЙОННАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ШКОЛЬНИКОВ «МИР ВОКРУГ НАС»

Секция «физико-математическая»

Непознанный мир чисел.

                                                                               Автор: Бастрикова Анастасия

                                                               Учащаяся 9 б класса

                                                                        МОУ СОШ № 4 г. Асино

                                                                                              Руководитель проекта: Романова И. В.

                                                               Учитель математики

Асино 2010

оглавление

Введение……………………………………………………………………………………....3

Глава 1. Что есть число                                                                                                        

1.1.  Время «просвещения»……………………………………………………………….….4

1.2. Пифагор Самосский………………………………………………………………….5 - 8

Глава 2. А какие бывают числа?

2.1. Простые числа…………………………………………………………………………... 9                                                                                        

2.2. Репьюниты, обращённые числа и палиндромы………………………………………10

2.3. Совершенные числа…………………………………………………………………….11

2.4. Дружественные числа…………………………………………………………………..12

Глава 3. Мои личные наблюдения.

3.1 Загадка обращённых чисел………………………………………………………...13 - 14

Заключение................................................................................................................ ............15

Список литературы………………………………………………………………………...16

Приложение…………………………………………………………………………..   .17 -18

Введение

      Можно ли представить себе мир без чисел? Возьмите то, что мы делаем изо дня в день; без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберешь. А космические корабли, лазеры и все другие технические средства и достижения. Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах. Само возникновение понятия числа - одно из гениальных проявлений человеческого разума. Действительно, числа измеряют, сравнивают, вычисляют. А еще рисуют, проектируют, играют, делают умозаключения, выводы.  

      Меня очень заинтересовала данная тема. Я всегда хотела узнать много нового о числах. Ведь мир чисел очень загадочен и интересен. Эта тема является актуальной, потому что числа очень важны в нашем мире. Если бы не было в мире чисел, то мы не знали бы, сколько нам лет, в каком веке или году мы живем. Я хочу узнать как можно больше о происхождении чисел, об их значении в нашей жизни, попробовать заглянуть в этот загадочный мир, который очень интересен мне. Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей.

  Самые древние по происхождению числа натуральные. Еще в начальной школе мы знакомились с четными и нечетными числами, на уроках математики в 6 классе появляются числа простые. Оказывается, среди натуральных чисел есть еще совершенные, дружественные и репьюниты. Я думаю, что мало кто слышал об этих числах, и хочется надеяться на то, что многие хотели бы узнать об этих числах больше.

 Объект нашего исследования – натуральные числа.

Предмет исследования – свойства этих чисел.

Цель исследования: Познакомиться с удивительными свойствами чисел и установить роль простых чисел в изменении их свойств, попробовать открыть самостоятельно что-то новое, хотя бы для себя сделать первый шаг в раскытии тайн загадочного мира чисел.

Поставленная мною цель требует решения следующих задач:

1. Найти и изучить информацию, необходимую для написания работы;
2. Установить степень разработанности исследуемой проблемы в науке;
3. Ознакомиться со справочными материалами по данной теме;
4. Изучить историю возникновения чисел;
5. Описать способы простых чисел;
6. Рассмотреть свойства совершенных и дружественных чисел;
7. Познакомиться с палиндромами и репьюнитами;
8. Объяснить новое для меня свойство разложения на множители разности между задуманным и обращенным ему числом.

Методы исследования – теоретический, практический.

Глава 1. Что есть число.

                               1.1.  Время «просвещения».

         Первобытные люди прожили много лет без всяких знаний о числах и цифрах. Эти слова казались им чем-то таинственным. Любой предмет можно было увидеть и потрогать. Число потрогать нельзя, и вместе с тем числа реально существуют, поскольку все предметы можно посчитать. Эта странность заставила людей приписывать числам сверхъестественные свойства.

      Но постепенно росли знания, и чем дальше, тем больше увеличилась потребность в умении считать и мерить.

      Все науки возникли из практики. Знания, которые лежат в основе разных наук, человек приобретал в борьбе с опасными для него явлениями природы, и конечная цель наук – создание условий, наиболее благоприятных для существования человека.

    1,2,3,4,5… Не думайте, что вы уже все знаете о числах.  Наука о числах вместилась бы, разве что, в многотомье больших книг. Много нового и интересного можно найти в магических текстах, в старинных рукописях, которые до сих пор считаются невероятными: греческий математик Архимед доказывал, что числовой ряд можно продолжить как угодно далеко, что он бесконечен. Наши замечательные ученые и методисты прошлых лет помогли нам не только отшлифовать привычные аргументы («математика ум в порядок приводит», «книга природы написана на языке математики»), но и  найти убедительные доводы в необходимости изучения математики. Идут годы, наука о числах сверкает новыми гранями.

      Числа – это ключ к пониманию человеческого поведения, один из простых методов для изучения и тренировки интуитивных дарований человека и для достижения глубин человеческой личности. Изучение символики чисел помогает определить индивидуальность человека, его силу и талант, препятствия, которые он встретит на жизненном пути, методы их преодоления.

    Числа для каждого из нас обладают определенными потребительскими свойствами. Используя числа, мы ежедневно, ежечасно, используем их для количественной оценки окружающих нас явлений и процессов.

    И, пожалуй, только один человек – величайший ученый древности – Пифагор, дал людям учение о том, что числа имеют более сокровенный смысл. Пифагор учил, «что все есть число».

Пифагор.… Это имя известно каждому из нас. И все же…Что означает  это имя для людей? Что мы знаем о Пифагоре из школьных учебников? Что вообще мы знаем о тех, которых по праву называют Учителями – родоначальниками современной науки? До обидного мало.

     Числа пифагорейцев выступают основополагающими универсальными объектами, к которым предполагалось свести не только математические построения, но и все многообразие действительности. Физические, этические социальные и религиозные понятия получили математическую окраску. Науке о числах и других математических объектах отводится основополагающее место в системе мировоззрения, то есть математика объявляется философией.

1.2. Пифагор Самосский

    Изучая свойства чисел нельзя не упомянуть о Пифагоре Самосском, сыгравшем  огромную роль в учении о числах.

    Пифагор Самосский - древнегреческий философ, математик, астроном. Основатель пифагорейской школы в Кротоне. Он считался одним из  самых образованных людей своего времени.

    Ещё в детстве будущий математик обнаружил большие способности к наукам. Тренируя память, он учил наизусть «Илиаду» и «Одиссею» Гомера.

    Его самым первым учителем был философ Гермодамас, который не только познакомил юного Пифагора с основами живописи и музыки, но и пробудил в нём любопытство к тайнам природы. Пифагор на всю жизнь запомнил его слова о том,  что «чувствования происходят от природы, да будет она первым и главным предметом твоего учения».

    Позже ему давал уроки философ Ферекид, а затем Фалес Милетский.

    Восьмидесятилетний старец Фалес, основатель милетской школы натурфилософов и естествоиспытателей, оценив способности Пифагора,  посоветовал ему отправиться в Египет, чтобы продолжить обучение. Но сделать это было нелегко. Греков не очень-то жаловали в Египте. Кроме того, для посещения Египта требовалось получить высочайшее разрешение Поликрата – властителя Самоса.

    Пифагор знал, что Поликрат не поощряет подобные поездки, но желание попасть в Египет было настолько велико, что он дерзнул  тайно покинуть остров. Поликрат, узнав о дерзком поступке самоуверенного юноши, был крайне рассержен. Однако судьба благоволила Пифагору, и даже грозный тиран спустя какое-то время смягчился. Так что молодой учёный явился к фараону Амазису не с пустыми руками, а с рекомендательным письмом от своего правителя.

  Египет строго оберегал мудрость веков. Мемфисские жрецы, посвящённые в тайны природы и мироздания, свято хранили эти знания. Возвышенные истины скрывались в особом языке ритуалов, совершавшихся в недоступных тайных помещениях величественных храмов».  

    И только посвящённый мог правильно истолковать слова, жесты и действия участников этих секретных обрядов. Сведения об устройстве  мироздания запечатлевались на папирусных свитках, высекались в виде символов на стенах и колоннах храмов. Эмблемы, статуи, всевозможные   ритуальные предметы, убранство помещений, одежда служителей культа –   всё имело свой тайный смысл. И Пифагору нужно было пройти определённые испытания, принять сан жреца, чтобы быть допущенным к постижению этих истин.

    Считая греков непостоянными и легкомысленными, жрецы были уверены, что новоявленный ученик не выдержит сложных, ритуалов и отступит, но были изумлены терпением и мужеством, с которыми Пифагор в течение двадцати двух лет работал над собой, готовясь к посвящению. Строгость дисциплины в египетских храмах лишь закалила его характер. Он понял, что тренированная воля даёт человеку невиданную возможность влиять не только на собственные тело и душу, но и воздействовать на других людей и даже обстоятельства.  

Он глубоко проникся мудрой заповедью своих мемфисских наставников: «Наука чисел и искусство воли – вот два магических ключа. Они открывают все двери Вселенной».

Во время обучения в Египте особенно привлекла Пифагора священная математика. Эта наука буквально покорила его. Многие её положения легли затем в созданную им теорию чисел.

    Оказавшись в Кротоне, Пифагор создаёт собственную школу, названную затем Пифагорейским союзом, или орденом. Он собирает небольшую группу преданных учеников, открывает им тайные знания, почерпнутые во время долгих странствий. Они изучают основы математики, музыки и астрономии. Эти дисциплины Пифагор считал «треугольным основанием» для всех искусств и наук.  

    Прежде чем остаться в школе Пифагора, и приобщиться к сокровенным наукам, новичку необходимо было пройти обряд посвящения. Этот обряд был не столь жесток, как в Египте, но также требовал немалой выносливости. Пребывание в ночном мраке пещер, где каждый шорох заставлял оглядываться, долгое напряжённое одиночество в тесной келье, строгий пост, прочие испытания души и тела – это было ещё не все. Не менее труден был поиск ответов на коварные вопросы. Хотя бы на такой: «Что означает треугольник, вписанный в круг?» Всё это оказывалось по плечу далеко не каждому.

    Но даже для тех, кто прошёл первую ступень посвящения, испытания на этом не заканчиваются. Впереди самое сложное испытание – обет молчания в течение пяти лет, чтобы воспитать в себе необходимую сосредоточенность.

    Но и в последующие пять лет ученики ещё были недостойны видеть учителя, они лишь слушали его речи, доносившиеся из-за плотных занавесей. И только  после этих долгих десяти лет Пифагор представал перед его слушателями, и в оставшиеся пять лет они уже могли вести с ним диалоги.

    Догадывался ли проницательный Пифагор, что один из тех, кто не одолел испытаний при вступлении в его школу, затаит к нему ненависть и будет вынашивать план мести? А затем и осуществит его, совершив поджог и погубив тридцать восемь пифагорейцев и самого учёного? Трудно сказать. Сочувствуя людям в их слабостях, он, тем не менее, как учитель не мог поступаться своими принципами, и даже в целях безопасности делать для кого-то исключения

    Матерью всех  математических наук Пифагор считал арифметику. Он  доказал, что геометрия, музыка и астрономия  зависят от неё, а она от них – нет. Исчезни геометрия – арифметика останется, но попробуйте вообразить геометрию без арифметики! Или астрономию без арифметики. Так что во всех точных науках – арифметика первична.

   Пифагор называл своих учеников «математиками», поскольку огромное значение уделял науке чисел. Эти знания наполняли ученика особой силой и в то же время повышали его ответственность за их использование. Получалось, что материальный мир от микроскопической пылинки до гигантской скалы пронизан числами. Огромная Вселенная с её мириадами звёзд держится на числах. Числам подчиняется строение человеческого тела, поскольку, по мнению пифагорейцев, все тела состоят из мельчайших частиц, которые, в свою очередь, в различных сочетаниях соответствуют известным геометрическим фигурам.  

    Посредством чисел Пифагор даже пытался объяснить свойства того или иного человеческого характера. «Совершенные числа – прекрасные образцы добродетелей»,  – так записано в «Теоретической арифметике». Таким образом, пифагорейцы в своих философских размышлениях пришли к тому, что гармония и разумность окружающего мира могут быть сведены к отношениям определённых цифр, а через них – к геометрическим формам.

    Анализируя свойства натуральных чисел, Пифагор  и его последователи выделяли среди них чётные и нечётные, дружественные, избыточные, треугольные, квадратные. Но как числа могут быть фигурными, например треугольными? Оказалось – просто и наглядно. Пифагорейцы соотносили  их с геометрическими фигурами. На песке камешками или ракушками выкладывали фигуры, в которых размещалось определённое число этих предметов

   Каждое число в представлении пифагорейцев имело свой характер и свои особые свойства. Так, например, нечётные числа считались сильнее чётных, поскольку чётные делились пополам без остатка, а нечётные при таком делении всегда оставляли «про запас» единицу.
   Двойка воспринималась как женское число, а тройка – как мужское. Символом супружества была пятёрка, а дружбу осеняло число восемь. Число четыре было для них символом гармонии и здоровья, хранило ключ к соразмерности, поскольку включало в себя первые четыре числа. Позже оно стало символизировать четыре материальных элемента: землю, воздух, огонь и воду. Девятка заведовала постоянством, это объясняли тем, например, что все кратные ей числа дают сумму цифр, равную девяти.

Шестёрка – символически напоминала о сотворении мира и считалась олицетворением совершенства. Также она являлась символом воли и неутомимости.

Семёрке приписывались удача, счастливый случай, пророческие сновидения, покровительство. И так далее.

    В школе Пифагора учение о числах тесно переплеталось с учением о геометрических фигурах. Пифагорейцы составляли из костяшек или камешков различные фигуры, изображали числа в виде точек, группируемых в геометрические фигуры.

Такое представление чисел облегчало пифагорейцам (еще раньше вавилонянам) изучать свойства чисел. Числа, которые возможно представить с помощью геометрических фигур, получили в дальнейшем название фигурных. Фигурные числа встречаются не только у пифагорейцев, но и у других греческих ученых: Эратосфена (3-2 в. до н.э.), Никомаха (1-2 в.), Диофанта (3 в.) и других. Фигурными числами занимались также индийские математики. Простейшими из фигурных чисел являются треугольные числа: 1;3;6;10;15;21;28;36;…

Общее выражение этих чисел п(п+1)/2, п=1,2,…

   .         число 1

                  .

   .    .  число 3

                  .

                .   .

              .   .   .

   .   .    .   .  число  10

Квадратными называются числа ряда:1;4;9;16;25;36;…т.е. квадраты натуральных чисел: 1,2,3,…Таким образом  пятое  число в ряду квадратных чисел есть п², п=1,2,…

Один из видных древнегреческих математиков- Диофант, живший в 3 в.н.э., нашел формулу, связывающую треугольные числа с квадратными.

Если  обозначить любое треугольное число буквой т, то 8т+1 будет некоторым квадратным числом к. Например, умножая треугольное число 6 на 8 и складывая произведение с 1 , получаем 49, являющееся квадратным.

                                                                            .  число 1

.    .

      .    .         число 4

.    .    .

.    .    .

     .    .    .   число 9

   Пятиугольные числа  можно представить как п(3п-1)/2, п=1,2,…Вообще, к-угольное число имеет общий вид: 0,5п((п-1)(к-2)+2), п=1,2,…; к=3;4;…

Если к=3, число называется треугольным. Если к=4, то число – четырехугольное. Если к=5, то число - пятиугольное и т.д.

2. А какие бывают числа?

2.1. Простые числа

Простыми называются те числа, которые имеют только два различных делителя. Например, 5=1∙5, 17=1∙17 и т. д. самое маленькое простое число – 2. Это единственное четное простое число.

    Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых множителей: 24= 2∙2∙2∙3;  18=2∙3∙3;  140=2∙2∙5∙7  и т. д. Следовательно, из простых чисел строятся составные.

    А Можно ли узнать сколько всего простых чисел? Ещё Греческий геометр Евклид в  своей книге «Начала» утверждал следующее: самого большого простого числа не существует.

    Т.к. простые числа играют важную  роль  в изучении  всех  остальных чисел, надо было  составить их список. Конечно, нельзя  было надеяться получить список всех простых чисел: мы уже знаем, что наибольшего простого числа нет. Поэтому составление списка всех простых чисел столь же безнадежное занятие, как составление списка всех натуральных чисел. Но можно попробовать составить список всех простых чисел, не превосходящих, например, тысячи. Над тем, как составлять списки, задумался  живший в III веке до н. э.  александрийский  ученый Эрастофен. Это был  удивительно  разносторонний человек: он занимался и теорией чисел, и изучал звезды. Но навсегда его имя вошло  в науку именно в связи с придуманным или  методом отыскания простых чисел.

    Многие математики пытались вывести формулу для отыскания простых чисел. Живший в 17 веке во Франции математик Пьер Ферма думал, что он нашел такую формулу: р=22  +1. Действительно, при n=1,2,3,4 эта формула дает простые числа 5,17,257,65537. Но позднее обнаружилось, что при n = 5 получается составное число: оно делится на 641. До сих пор неизвестно, есть ли среди чисел Ферма еще хоть одно простое, кроме найденных им самим.

    Еще одна из формул p = n2 - n+41. Для некоторых чисел эта формула верна, но не при n=41.

Итак, простые числа можно обнаружить только путем долгих кропотливых расчетов. Недавно было найдено простое число, содержащее 25692 цифры! Чтобы доказать, что оно простое, быстродействующему компьютеру потребовалось несколько недель. Как видно, простые числа ловко прячутся, и поэтому их стали использовать в секретных шифрах.

2.2. Репьюниты, обращённые числа и палиндромы

    Обращенное число – это число, записанное с теми же цифрами, но расположенными в обратном порядке.  Например, 1234 обращенное 4321. 

Палиндромическое  число – число равное обращенному. Например, 121, 5995, 12321 и т. д.  

Репьюниты - натуральные числа, запись которых  состоит только из единиц. В десятичной системе счисления репьюниты обозначаются короче - Rn: R1=1, R2=11, R3=111, R4=1111…

Происхождение слова – Repunit - образована слиянием английских слов: repeated unit (повторенная единица). Обнаружено немало интересных свойств  репьюнитов. Например, в семействе репьюнитов  выявлено пока  только 5 простых чисел: R2, R19, R23, R317 и R1031.

Таблица простых  делителей составных репьюнитов:

111=3∙ 37;

1111=11∙101;

11111=41∙271;

111111=3∙7∙ 11∙13∙37;

1111111=239∙ 4649 и т. д.

 В результате умножения репьюнитов получается палиндромическое число:

11∙11=121;

11∙111=1221;

1111∙11=12221;

1112=12321;

2.3. Совершенные числа

    Натуральное число п называется совершенным, если сумма всех его собственных делителей, отличных от самого п, в точности равна п.

    Например, число 6 имеет делители 1,2,3. Найдем их сумму: 1+2+3=6. Число 28 имеет делители 1,2,4,7,14. Их сумма: 1+2+4+7+14=28!

    Знаменитый греческий философ и математик Никомах Герасский, живший в 1 в., отмечал, что совершенные числа красивы, а красивые вещи редки и немногочисленны. Он не знал, сколько имеется совершенных чисел. Не знаем этого и мы. До настоящего времени нет ответов на два важных вопроса:

1) Существует ли наибольшее чётное совершенное число?

2) Существует ли нечетное совершенное число?

    До сегодняшнего дня не обнаружено ни одного нечетного совершенного числа, хотя и не доказано, что такого числа не существует. Все совершенное редко встречается в мире. Редко встречаются и совершенные числа.                                                                                              

    Испытав огромный массив последовательных натуральных чисел, исследователи нашли уже более 30 совершенных: 6, 28, 496, 8128, 33550336… Вот 25-е число: 244496 . (244496-1). В развёрнутой записи этого числа содержится 26790 цифр! Знакомясь с совершенными, нельзя не сказать о дружественных числах.

2.4. Дружественные числа

     Однажды Пифагор на вопрос, кого следует считать другом, якобы ответил так: «Того, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284». Видимо, какое – то необычное свойство сблизило эти числа настолько, что сам Пифагор признал их парой дружественных чисел. Вот это свойство: 220=1·22·5·11 - делится на 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 (само число исключается из перечня делителей, тогда остальные делители называются собственными), а сумма всех собственных делителей числа 220 равна 284. В свою очередь, 284=1·22 ·71 делится на 1,2,4,71 и 142 и сумма его собственных делителей равна 220! Значит, 220 – это как бы «второе я» числа 284. В средние века считалось, что талисман с числами 220 и 284 способствуют укреплению любви. Возможно, что именно Пифагор и был первооткрывателем этой пары дружественных чисел - первой, наименьшей из возможных и единственно известной на протяжении более чем 15 последующих веков.

    Вторую пару: 17296 и 18416 – открыл марокканский учёный ибн аль-Банна (около 1300 г). Не зная этого через 300 лет (в 1636 г) эту же пару открыл Пьер Ферма.

    Третью пару нашел Ране Декарт в 1638 году, а через 100 лет Эйлер излагает 5 различных методов выявления дружественных чисел и преподносит их ровно 59 пар!

    Следующим математиком после Эйлера, кто пополнил коллекцию дружественных чисел ещё одной парой, был наш великий соотечественник П.Л. Чебышев (в 1851 г), а за ним - тоже одной парой (в 1866 г) – шестнадцатилетний итальянец Николо Паганини (тезка знаменитого скрипача).

     Но превзойти Эйлера по количеству пар никому из математиков не удавалось вплоть до последних десятилетий нашего времени. Первым побил рекорд Эйлера бельгиец Поль Пуле (62 новые пары к 1948 г). Наконец, самой рекордной добычи достиг американец Элвин Дж. Ли – 300 пар за 1968-1972 годы! Для вычислений он пользовался ЭВМ. К настоящему времени коллекция дружественных чисел превышает 1000 пар, в ней имеются теперь даже двадцатипятизначные пары чисел. Из этой коллекции ровно 13 пар размещаются на отрезке (1:100 000):

Глава 3. Мои личные наблюдения.

3.1 Загадка обращённых чисел.

Обращённые числа – это числа, которые почему-то были незаслуженно обделены вниманием человека.  Просмотрев кучу математических книг и сайтов, я нашла только определение понятия, обращённого числа (Обращенное число – это число, записанное теми же цифрами, но расположенными в обратном порядке). А ведь обращенных чисел бесконечное множество, потому что они являются зеркальной копией исходного числа. Они могут быть маленькими (12 и 21) и очень большими (23458865875 и 57856885432) и даже отрицательными (-456 и -654)!

Так почему же  их много, а об их свойствах ничего не известно? Можно же чуток поломав голову, вывести множество занятных закономерностей. Ещё учась в 6 классе, я обнаружила, что разность исходного и обращённого числа всегда будет ровняться числу кратному 9. Например:

1)  29 – 92 = - 63                           -63: 9 = -7

2) 946743 – 347649 = 599094      599094: 9 = 66566

3) 745 – 547= 198                         198: 9 = 22

Это можно доказать:

Х * 100 + У * 10 + Z – Z * 100 – У * 10 – Х = 99 Х - 99 Z = 9 *(11 Х –11 У)

А позднее обнаружила еще одно свойство: задав любое число, можно, не делая долгих вычислений, составить произведение двух множителей (один из которых 9) из чисел, которое представляет собой разность между заданным числом и ему обращенным.

Например,

1. возьмем число 5743. Ему обращенное  3475. Разность данного числа и ему обращенного представляет произведение чисел  9 · 252.

 Докажем это:

                        - 5743            _ 2268 | 9

                              3475               18        2 52

                              2268             _ 46

                                                     45

                                                       18

                                                     ¯18

                                                         0

2.  возьмем число 74215. Ему обращенное  51247. Разность данного числа и ему обращенного представляет произведение чисел  9 · 2552.

 Докажем это:

                        - 74215            _ 22968  | 9

                              51247               18           2 552

                              22968               _49

                                                        45

                                                           46

                                                         ¯45

                                                             18

                                                           ¯18

                                                              0

     Вот уравнение, объясняющее загадку удивительных свойств чисел:

 Если мы берем трехзначное число, (где Х – сотни, У - десятки, а Z-единицы)  то это число можно представить в следующем виде:

 Х * 100 + У * 10 + Z , тогда разность задуманного числа и обращенного запишется в следующем виде:

Х * 100 + У * 10 + Z – Z * 100 – У * 10 – Х = 99 Х - 99 Z = 9 * (11 Х –11 У)

     Если мы берем четырехзначное число, то это число можно представить в следующем виде:

 Х * 1000 + У * 100 + Z * 10 + R, тогда разность задуманного числа и обращенного запишется в следующем виде:

Х * 1000 + У * 100 + Z * 10 + R – R * 1000 - Z * 100 – У * 10 – Х = 999 Х + 90 У - 90 Z –

-999 R = 9 * (111 (Х – R) + 10 (У- Z)).

  Если мы берем пятизначное число, то это число можно представить в следующем виде:

 Х * 10000 + У * 1000 + Z * 100 + R * 10 +F, тогда разность задуманного числа и обращенного запишется в следующем виде:

Х * 10000 + У * 1000 + Z * 100 + R * 10 + F – F * 10000 + R * 1000 - Z * 100 – У * 10 – Х = 9999 Х + 990 У - 990 Z – 9999R = 9 * (1111 (Х – F) + 110 (У- R))  и т.д.

Т.е, если заданное число   Х У Z  ,  то  разность задуманного числа и обращенного представляет собой произведение:                9 * 11 (Х – У);

                                            Х У Z  R , то        9 * (111 (Х – R) + 10 (У- Z)).

                                           Х У Z R F , то      9 * (1111 (Х – F) + 110 (У- R)).

 И можно отметить еще одно свойство:

Если из данного числа вычесть составляющие его цифры, то разность будет всегда представлять число, кратное 9.

 Например:

375 – 3 – 7 – 5 = 360;        360: 9 = 40.

Это тоже можно объяснить:

Для двухзначного числа:  Х * 10 + У – Х – У = 9 Х

Для трехзначного числа:   Х * 100 + У * 10 + Z – Х – У – Z = 99 Х – 9 У = 9 * (11 Х – У),

Для четырехзначного числа :

Х * 1000 + У * 100 + Z * 10 + R – Х – У – Z - R  = 999 Х – 99 У – 9 R = 9 * (111 Х –11 У -R)

  и т. д.

Заключение

      При работе над данной темой я узнала много нового о происхождении чисел, об истории возникновения и значении чисел. Я узнала, что первым величайшим ученым древности, давшим людям учение о том, что «все есть число» был Пифагор. Много прочитала о его жизни. Мне очень понравилось узнавать много нового. Выполнение этой работы помогло мне сформировать у себя навык критического подхода к предложенному заданию, а также к творческому подходу при выполнении заданий по математике.

   У большинства учеников, в результате не таких уж достаточно углубленных знаний об изучаемой науке, разобраться в необозримом числе различных методов и способов решения математических задач очень сложно; многие просто не утруждают себя в самостоятельном изучении и поиске чего-то нового, познавательного. Этой работой я бы хотела обобщить представления о том, что есть наука о числах и куда ведут внутренние и внешние ее связи. Информация, которая содержится в этой работе, послужит носителем тех знаний, которые помогут открыть для себя какие-то новые факты.

    Мы не можем, конечно, приоткрыть завесу прошлого, и заглянуть туда через волшебное окно, но с помощью воображения, логики и догадки, мы можем постараться постичь непознанное, волнующее умы многих поколений.

      Считаю, что собранный мною материал, раскрываемый в данной работе, может служить как справочное пособие на уроках, на различных спецкурсах, викторинах, конкурсах. Библиографический список облегчит поиск необходимой литературы.  

   Мир чисел интереснее и загадочнее чем вам кажется!

       Человек – это необычное существо, живущее в необычном мире. Ни при каких обстоятельствах ни человек, ни окружающий мир не могут считаться познанными.

                                                   Карлос Кастанеда.

Список литературы

1. Аксенова М.Д. Энциклопедия для детей. Т.11 Математика. – М.: Аванта, 2000г.

2. Кордемский Б.А; Ахадов А.А. Удивительный мир чисел. Москва «Просвещение» 1986г. стр. 3 , 73

3. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. Москва «Наука» 1975г. стр. 92

4. Савин А.П. энциклопедический словарь юного математика. Москва «Педагогика» 1989г. стр. 28., 262, 352

Приложение

Пошаговое решение «загадки обращённых чисел»

 С двухзначными числами.

1. Возьмём любое число, например 53 , ему обращенное число будет 35 . Можно сразу сказать, что их разность представляет собой произведение чисел    2*9 =18

2. Находится произведение этих множителей так:

найдем разность цифр из которых состоит число 53 .Это 5 – 3 = 2 – первый множитель, второй всегда равен  9.

3. Проверим: 53 -35 = 18;  18 = 2*9

С трёхзначными числами.

1. Зададим число: 571, обращённое ему  175, их разность будет равна произведению 44*9

2. Рассчитаем произведение этих множителей:  рассмотрим число 571. Первый множитель равен девяти, а второй представляет собой двухзначное число. Чтобы найти цифры этого числа, надо из  5-1=4 (находится разность крайних цифр числа 571). Т.к  число двухзначное, то число будет 44.

3. Проверим: 571-175=396    396 =11*4*9=44*9

С четырёхзначными:

1. Зададим число 7125 . Ему обращённое число  5217. Их разность представляет собой  произведение чисел 212*9.
2. Рассчитаем произведение этих множителей:

      находим разность крайних цифр  числа 7125 ,  7 – 5 = 2,   2– крайние цифры множителя 2 ? 2. Множитель представляет собой трехзначное число. Средняя цифра находится  так:

1 - 2 = -1 (разность средних цифр числа 7125).  К крайней цифре 2 прибавляем получившееся  -1, т.е . 2+(-1)= 1.  1 – это средняя цифра множителя 212.

3. Проверяем: 7125 -5217=1908

      1908|  9

-18    212

    10

    -9

      18

     -18

        0      

И т.д.