Квадратное уравнение

Ценность нашей работы в том, что она может послужить учащимся при подготовке к ГИА и ЕГЭ.

Заключение
В итоге, выполнив работу, мы пришли к выводу, что, приступая к решению любого уравнения, следует не спешить приступать к вычислению дискриминанта и применению формул корней квадратного уравнения, а надо сначала проверить каким является квадратное уравнение полным или неполным.
В результате нашей работы мы составили алгоритм решения квадратного уравнения.
 Алгоритм решения квадратного уравнения

•   Проверить каким является квадратное уравнение полным или неполным.
• Если уравнение неполное, то решаем, применяя свойства коэффициентов или правила нахождения корня уравнения, определив какому из трёх случаев

(ax² = 0, ax² + bx=0 или ax² + c=0) соответствует данное уравнение.

• Если уравнение полное, то решаем 
  
  а) либо по свойствам коэффициентов, 
  б) либо по теореме Виета,
  в) либо применяя формулу дискриминанта и формулы корней квадратного уравнения.

Если квадратное уравнение задано в неявном виде, например, биквадратное или в другом виде, то придётся применить способ замены переменной.

Считаем, что материалы, рассмотренные в нашей работе, могут быть полезными всем, кто любит математику и находится в поиске наиболее рациональных способов решения квадратных уравнений.  

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле.

                                                                                                                      А.Н. Крылов

 Изтелеуов Амирхан, ученик 8 кл. МБОУ «Тулугановская СОШ»

                          Володарского района

Тема моей работы: «Квадратное уравнение»

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!

Д. Пойа 

Квадратные уравнения занимают особое место в курсе  изучения математики. Квадратные уравнения применяются  при решении  уравнений и неравенств, при исследовании квадратичной функции, при построении графика, при решении ряда геометрических  и физических задач. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратного уравнения,  однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений.

Цель моей работы: рассмотрение некоторых способов решения квадратных уравнений

Проблема данной исследовательской работы применение различных способов решения квадратных уравнений.

 В процессе  данного исследования решаются следующие задачи:

• Выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратного уравнения;
• Перейти от простого решения квадратных уравнений и задач на их составление.

Актуальность обусловлена желанием найти более простые способы решения квадратных уравнений, научиться решать более сложные задания    

Основная часть моей работы состоит из следующих разделов:

1)Квадратным уравнением называют уравнение вида                          ,  где x – переменная, a, b, c -  действительные числа.

2)Виды квадратных уравнений

1.Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

2.Неполным квадратным уравнением называют квадратное уравнение, в котором коэффициент b или свободный член c равен нулю.

Виды неполных квадратных уравнений:

3)Способы решений квадратных уравнений

• Решение квадратных уравнений по формулам
• Теорема Виета
• Свойства коэффициентов квадратного уравнения
• Решение квадратных уравнений способом замены переменной
• Биквадратные уравнения

1. Решение квадратных уравнений по формулам

• Корни квадратного уравнения вида                                                          находятся по обычной формуле
• Корни приведенного квадратного уравнения вида

находятся по следующей формуле

2) Теорема Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

3. Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Если коэффициенты квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 (a ≠0) такие, что a + b + c = 0, то корни такого квадратного уравнения равны: X1 = 1, X2 = .

Пример

Дано уравнение

Так как a + b + c=0, 45+(-23)+(-22)=0, то

4. Решение квадратных уравнений способом замены переменной

Здесь мы рассмотрим решение квадратных уравнений и разложение квадратного трёхчлена на множители способом замены переменной. Это задачи повышенной степени сложности.

1) Решить уравнения:
a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24 .

Решение: Умножим первый двучлен на четвёртый, затем второй на третий и сделаем замену переменной, получим:

( x² + 5x + 4)( x² + 5x + 6) = 24, сделаем замену переменной

Решим, отсюда следует, что
y = 0 или y = -10. 
Вернёмся к переменной x , получим два уравнения:
x² + 5x =0 и x² + 5x = -10.
 Ответ: X1 = 0 . X2 = -5.

5)Биквадратные уравнения

Рассмотрим пример:

Такой способ также называется приведением к квадратным уравнениям

Заключение.
В результате моей работы мы составили алгоритм решения квадратного уравнения, который предлагаем ниже.

Во первых надо  проверить каким является квадратное уравнение полным или неполным.

• Если уравнение неполное, то решаем, применяя свойства коэффициентов или правила нахождения корня уравнения.

• Если уравнение полное, то решаем 
  
  а) либо по свойствам коэффициентов, 
  б) либо по теореме Виета,
  в) либо применяя формулу дискриминанта и формулы корней квадратного уравнения.

Если квадратное уравнение задано в неявном виде, например, биквадратное или в другом виде, то придётся применить способ замены переменной.

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле.

                                                                                                                      А.Н. Крылов

 Спасибо за внимание

используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

• Примеры.

1. Решим уравнение 2х2 - 11х + 15 = 0.

Решение.  «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получаем уравнение

у2 - 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета:

        Ответ: 2,5; 3.

2. Решим уравнение х2 – (3 +)х + 1= 0

Решение: Используя метод «переброски», получим уравнение

у2-

По теореме Виета

Метод коэффициентов квадратного уравнения.

  Пусть дано квадратное уравнение  ax2 + bx + c = 0, где а  0.

1.  Если a + b + c = 0 (т. е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 = .

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а  0, получим приведенное квадратное уравнение x2 +

Согласно теореме Виета

По условию a + b + c = 0, откуда b = - a - c. Значит,

Получаем  х1 = 1, х2 = , что и требовалось доказать.

• Пример.

1. Решим уравнение 345х2 - 137х – 208 = 0.

Решение. Так как a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1 = 1, х2 =

Ответ: 1; -

2.  Если a – b + c = 0, или b = a + c, то х1 = - 1, х2 = -.

Доказательство. По теореме Виета

По условию a – b + c = 0, откуда b = a + c. Таким образом,

т. е. х1 = - 1 и х2 = - , что и требовалось доказать.

• Пример.

1. Решим уравнение 4х2 +11х + 7 = 0.

                  Решение. Так как b = а + c (11 =4 + 7), то х1 = -1, х2= - .

Ответ: -1; - .

3. а) Если квадратное уравнение имеет вид ах2 + (а2 +1)х +а = 0, то

• Пример.

Решим уравнение  6х2 +37х + 6 = 0.

Ответ:

   б) Если квадратное уравнение имеет вид ах2 -  (а2 +1)х +а = 0, то

• Пример.

Решим уравнение  3х2 - 10х + 3 = 0.

Ответ:

  в) Если квадратное уравнение имеет вид ах2 +  (а2 - 1)х - а = 0, то

• Пример.

Решим уравнение  4х2 + 15х - 4 = 0.

Ответ:

 г) Если квадратное уравнение имеет вид ах2 -  (а2 - 1)х - а = 0, то

• Пример.

Решим уравнение  3х2 - 8х - 3 = 0.

Ответ:

2. Теорема Виета

• Примеры.

1. Не вычисляя корней х1 и х2 уравнения 2х2 +5х – 3 =0, найти х12 + х22.

Решение: Преобразуем уравнение в приведенное, получим: х2 +2,5х – 1,5 =0.

По теореме Виета имеем  

Так как х12 + х22 = (х1 + х2)2 – 2х1х2, то х12 + х22 = (-2,5)2 - 2∙ (-1,5) = 9,25.

Ответ: 9,25

2. При каком значении а сумма кубов корней уравнения х2 – х – а = 0 будет равна 19?

Решение:  По теореме Виета имеем     Тогда (х1 + х2)3 =1,

х13 + 3х12х2 +3х1х22 + х23 =1,

х13 + х23 = – 3х1х2(х1 + х2) +1,

19= 3а + 1,

а = 6.

Ответ: а=6.

3. При каком значении параметра а уравнение х2+(а2+а-2)х+а=0 имеет корни, сумма которых равна 0?

Решение: По теореме Виета имеем      

Тогда  а2+а -2 = 0,  решая которое, получаем

Но при а =1,  полученное квадратное уравнение не имеет корней.

Ответ: а = -2.

Не решая квадратное уравнение, с  помощью  теоремы Виета можно определить  знаки корней уравнения. 

а) Если свободный член q приведенного уравнения x2 + px + q = 0 положителен (q>0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p. Если p>0, то оба корня отрицательны, если p<0, то оба корня положительны.

б) Если свободный член q приведенного  уравнения x2 + px + q = 0 отрицателен (q<0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0, или отрицателен, если p>0.

• Примеры.

1. При каком значении параметра р корни уравнения (р-2)х2+2рх+р+4=0 разных знаков и их сумма отрицательна.

Решение: р ≠2, иначе  уравнение обращается в линейное, имеющее один корень, что противоречит условию.

Корни существуют, если D0. D = -8р + 32 0, р≤ 4.

По теореме Виета и согласно условию задания получаем,

 Решая, методом интервалов получаем р(-4; 0).

Ответ:(-4; 0).

2. При каких значениях параметра c уравнение (c–1)x2+(c+4)x+c+7=0 имеет только отрицательные корни?

Решение. В силу условия задачи необходимо рассмотреть два случая (линейный и квадратичный):

1) если c–1=0, c=1, то уравнение примет вид 5x+8=0, x = –5/8 – отрицательный корень;

2) если c–1≠ 0, c≠ 1, то,  получим систему

Объединяя результаты обоих случаев, получим с [–22/3; -7)  [1; 2]. 

Ответ:  с [–22/3; -7)  [1; 2].

3. Существование корней квадратного уравнения.

 Для того чтобы квадратное уравнение ах2+ bх+с=0 имело корни необходимо и достаточно чтобы дискриминант уравнения был больше или равен нулю. Как правило, в случае необходимости доказать, что заданное квадратное уравнение имеет решение, начинают с вычисления его дискриминанта, с тем чтобы затем доказать его неотрицательность.

• Примеры.

1. При каких значениях  k уравнение х2 + kх + 9 = 0 имеет корни? Имеет ли корни при

k = - 10,5? При k = 0,7?

Решение: D0, D =k2- 360, (k -6)(k +6) 0. Получаем, что уравнение имеет корни при k(-∞; -6][6; ∞).

- 10,5 (-∞; -6], следовательно, при k = - 10,5 уравнение имеет корни.

0,7 (-∞; -6][6; ∞), следовательно, при k = 0,7 уравнение  не имеет корней.

Ответ: (-∞; -6][6; ∞).

2. При каких  значениях а квадратное уравнение ах2 + х + 2 =0 имеет два корня?

Решение: Если а=0, то уравнение превращается в линейное, следовательно, а ≠0 .

D> 0, D=1- 8a>0, a<, но с учетом того, что а ≠ 0 получаем а(-∞; 0)(0;  ).

Ответ: а(-∞; 0)(0; ).

3.  При каком значении параметра а уравнение (а-2)х2+(4-2а)х+3=0 имеет единственный корень?

Решение:  Если а = 2, то уравнение превращается в линейное, которое не имеет корней. Если а≠2, то уравнение квадратное и имеет единственный корень при нулевом дискриминанте. D=0, D=4а2-28а+40=0, при а=2 или а=5. Значение а=2 исключается, т.к. противоречит условию, что исходное уравнение – квадратное.

Ответ: а=5.

4.Определить все значения параметра а, при которых уравнение  

         2ах2 – 4 (а + 1) х + 4а +  1 = 0 имеет один корень.

Решение:  Здесь, главное, не забыть про случай а = 0, поскольку в уравнении не сказано, что рассматривается квадратное уравнение.  При а=0 имеем линейное уравнение  - 4х + 1 = 0  с единственным корнем. Остальные значения параметра а мы получим из уравнения D = 0. Таким образом,  

4(а2 + 2а + 1) = 0,   2а2 – 3а – 2 = 0; а1 = - ½, а2=2.

 Ответ: 0; - ½; 2.

5. При каких значениях параметра а уравнение          

                 имеет решение?

Определите знаки корней в зависимости от значений параметра а.

Решение:  Прежде всего, если а2 – 3а + 2 < 0, 1 < a < 2, то уравнение имеет корни разных знаков. (Дискриминант при этом автоматически положителен.) В остальных случаях или корней нет или они одного знака. Отдельно надо рассмотреть случаи, когда корни равны или один из них равен 0. В случае положительности дискриминанта и свободного члена на основании теоремы Виета знаки обоих корней противоположны по знаку коэффициенту при х – второму коэффициенту уравнения. Значит, для того чтобы было х1>0, x2 > 0, необходимо и достаточно выполнения неравенств

откуда a > 5. Точно так же рассматриваются другие случаи.

Ответ:

• Если а < 1 или  2 < a < 5/2, то х1 < 0, x2 < 0.
• Если  а = 1 или а = 2, то  х1 < 0, x2 = 0.
• Если  1 < a < 2, то х1 < 0, x2 > 0.
• Если  а = 5/2, то х1 = х2 < 0
• Если  5/2 < a < 5, то корней нет
• Если а > 5, то х1 > 0, x2 > 0

Но существуют способы, которые основываются на очевидных графических соображениях. Так, если а>0, то для доказательства того, что уравнение ах2+bx+с=0 имеет два решения, достаточно указать одну точку х0, в которой f(x0)=ах02+bx0+c<0. Чаще всего в качестве х0 берут 0 (даёт достаточное условие с<0), 1(условие а +b+с<0) или –1 (условие а-b+c<0).

• Примеры.

1. Доказать, что при любом а уравнение (а3-2а2)х2- (а3-а+2)х+а2+1=0 имеет решение.

Решение. Обозначим левую часть данного уравнения через f(x). Сразу видно, что f(0)=a2+1>0 при любом а. Утверждение задачи будет доказано, если мы найдём х1, для которого f(x1)<0. Очевидно, что f(1)=-a2+a-1<0 при любом а. Легко сделать вывод, что  данное уравнение всегда имеет решение

4. Расположение корней квадратного уравнения.

Пусть x1 и x2 – корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0. Введем функцию y(x)= ax2+bx+c. Тогда расположение корней этого уравнения на числовой оси отразим в блок–схеме.

• Примеры.

1. При каких значениях параметра a корни уравнения x2–2(a+3)x+a2+6,25a+8=0 больше 2?

Решение. Введем функцию y(x)=x2–2(a+3)x+a2+6,25a+8; x0 – абсцисса вершины этой параболы. Так как корни уравнения находятся справа от числа 2, то в соответствии со схемой имеем:

Ответ: а(0; 4].

2. Существуют ли такие а, при которых  корни уравнения х2 – 2(а -3)х + а + 2 = 0 заключены между 0 и 1?

Решение:  Так как второй коэффициент - четное число, то решим данное уравнение по формуле корней со вторым четным коэффициентом. Корни существуют, если D0. D =а2-7а + 7 0.

Решая неравенство, получаем  а(-∞;] [;∞). Если корни существуют, то х1 = а -3 - , х2 = = а -3 +. 

По условию 0 < а -3 - <1  и 0 < а -3 + <1. Сложим почленно эти два неравенства: 0< 2a – 6 < 2, 3< a <4.

Получили, что условия существования корней и условия, что они заключены между 0 и 1 не совместны.

Ответ: не существует.

5. Решение квадратных уравнений с параметром.

Решить уравнение с параметром, значит, при каждом фиксированном значении параметра найти решения (или указать, что их нет).

• Примеры.

1. Решить уравнение х2- b х+4=0.

Решение: Дискриминант уравнения D = b2-16. Найдя промежутки знакопостоянства дискриминанта, получим ответ:

если b < -4 или b >4, то х = ;

если b  = ±4, то х= ;

если –4

2. Решить уравнение (а-2)х2-2ах+2а-3=0.

 Решение: Рассмотрим два случая:

1. а = 2, тогда исходное уравнение принимает вид – 4х+1=0. Это линейное уравнение с одним корнем х=0,25.
2. а ≠ 2, получим квадратное уравнение с дискриминантом D=-4(a-1)(a-6). Найдём промежутки знакопостоянства дискриминанта и его нулевые точки.

     В результате решения получаем ответ:

если а<1, то корней нет;

      если а=1, то х=-1;

                           если 1, то х1,2 = 

                           если а=2, то х=0,25;

                           если 2х1,2 =                          

если а=6, то х=1,5;

                           если а>6, то корней нет.

Список литературы:

1. Евсеева А.И. Уравнения с параметрами. Математика в школе. №7 2003 год
2. Домбровская Т.В. «Задание с параметром» ТОИПКРО
3. М., Математика (приложение в газете «Первое сентября»). №40 2000 год
4. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа, - М., Просвещение, 1990 год
5. Гельфман Э.Г. и др., Квадратные уравнения, - М., Издательство Томского университета, 1997 год