Теория чисел

Слайд 1

Слайд 2

Целые числа Множество целых чисел Z = {… -1 , 0 ,1 … } о пределяется как замыкание множества натуральных чисел относительно арифметических операций сложения (+) и вычитания (−). Таким образом, сумма , разность и произведение двух целых чисел дает снова целые числа.

Слайд 3

Простые числа Простое число — это натуральное число , имеющее ровно два различных натуральных делителя : единицу и само себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными . Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел .

Слайд 4

Составные числа Составное число́ — натуральное число , большее 1, не являющееся простым . Каждое составное число является произведением двух натуральных чисел, бо́льших 1.

Слайд 5

Наибольший общий делитель Наибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел m и n называется наибольший из их общих делителей . Пример: для чисел 70 и 105 наибольший общий делитель равен 35. Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел m или n не ноль.

Слайд 6

Наименьшее общее кратное Наиме́ньшее о́бщее кра́тное (НОК) двух целых чисел m и n есть наименьшее натуральное число , которое делится на m и n без остатка.

Слайд 7

Взаимно простые числа Целые числа называются взаимно простыми , если они не имеют никаких общих делителей , кроме ±1. Примеры : 14 и 25 взаимно просты, а 15 и 25 не взаимно просты (у них имеется общий делитель 5).

Слайд 8

Алгоритм Евклида Алгори́тм Евкли́да — алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел . НАГЛЯДНЫЙ ПРИМЕР АЛГОРИТМА ЕВКЛИДА НА БЛОКСХЕМЕ :

Слайд 9

Основная теорема арифметики Основная теорема арифметики утверждает : Каждое натуральное число N >1 можно представить в виде n=p1… pk , где p1… pk — простые числа , причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Слайд 10

Непрерывная дробь Цепная дробь (или непрерывная дробь ) — это математическое выражение вида :

Слайд 11

Сравнение по модулю Два натуральных числа a и b, разность которых кратна натуральному числу m, называются сравнимыми по модулю m: a ≡ b ( mod m) Свойства сравнений по модулю : Свойства сравнение по модулю вытекают из свойств арифметических операций. Пусть a ≡ b ( mod m), c ≡ d ( mod m). Тогда: a + c ≡ b + d ( mod m), a – c ≡ b – d ( mod m), ac ≡ bd ( mod m). Пусть ab ≡ 0 ( mod m), и числа a и m взаимно просты. Тогда b ≡ 0 ( mod m). Простейшим применением сравнений по модулю является определение делимости чисел.

Слайд 12

Функция Эйлера Функция Эйлера φ( n ) — мультипликативная арифметическая функция , равная количеству натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с ним.

Слайд 13

Теорема Эйлера (Теория чисел) Теоре́ма Э́йлера в теории чисел гласит : Если а и m взаимно просты то где - функция Эйлера.

Слайд 14

Малая теорема Ферма Малая теорема Ферма́ — классическая теорема теории чисел , которая утверждает, что : Если p простое число ,и a не делится на р то

Слайд 15

The end