Графики линейной функции с модулями

Слайд 1

Графики линейной функции с модулями Работа Эрднигоряевой Марины, ученицы 8 класса МКОУ «Камышовская ООШ» Руководитель Горяева Зоя Эрднигоряевна, учитель математики МКОУ « Камышовская ООШ» с. Камышово, 2013г.

Слайд 2

Цель проекта: Ответить на вопрос как строить графики линейных функций с модулями. Задачи проекта: Изучить литературу по данному вопросу. Изучить геометрические преобразования графиков и их применение к построению графиков с модулями. Изучить понятие модуля и его свойства . Научиться строить графики с модулями различными способами.

Слайд 3

Содержание 1. Определение прямой пропорциональности. 2. Геометрические преобразования функций. 3. Определение модуля. 4. Графики различных функций: 1. y=-2|x-3|+4 2. у= 3|х|+2 3. y = ||x-1|-2| 4. |у|=||х-1|-1|. 5. Построение графиков функций с помощью раскрытия модуля. График функции у= |х|-|2-х|

Слайд 4

Прямая пропорциональность Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx , где x –независимая переменная, k -не равное нулю число.

Слайд 5

Построим график функции y = x x 0 2 y 0 2

Слайд 6

Геометрическое преобразование графиков Правило №1 График функции y = f ( x )+ k – линейная функция - получается параллельным переносом графика функции y = f ( x ) на + k единиц вверх по оси О y при k> 0 или на |- k| единиц вниз по оси О y при k <0

Слайд 7

Построим графики y=x+3 y=x-2

Слайд 8

Правило № 2 График функции y=kf(x) получается растягиванием графика функции y = f ( x ) вдоль оси О y в a раз при a>1 и сжатием вдоль оси О y в a раз при 0< a<1

Слайд 9

Построим график y=x y= 2 x

Слайд 10

Правило № 3 График функции y =- f ( x ) получается симметричным отображением графика y = f ( x ) относительно оси О x

Слайд 11

Правило № 4 График функции y=f( - x) получается симметричным отображением графика функции y = f ( x ) относительно оси О y

Слайд 12

Правило № 5 График функции y=f( x+c ) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси О x вправо, если c<0 на | c| и влево на c , если c>0 .

Слайд 13

Построим графики y=f(x) y=f(x+2)

Слайд 14

Определение модуля Модуль неотрицательного числа а равен самому числу а ; модуль отрицательного числа а равен противоположному ему положительному числу -а . Или, |а|=а , если а ≥0 |а|=-а , если а<0.

Слайд 15

Графики линейных функций с модулями строятся: с использованием геометрических преобразований с помощью раскрытия определения модуля.

Слайд 16

Правило № 6 График функции y=|f(x)| получается следующим образом: часть графика y=f(x) , лежащая над осью О x , сохраняется; часть, лежащая под осью О x , отображается симметрично, относительно оси О x .

Слайд 17

Построить график функции y=-2| x-3|+4 Строим y ₁=| x | Строим y₂= |x - 3 | → параллельный перенос на +3 единицы вдоль оси Ох (сдвиг вправо) Строим y ₃ =+2|x-3| → растягиваем вдоль оси О y в 2 раза = 2 y₂ Строим у ₄ =-2|x-3| → симметрия относительно оси абсцисс = - y₃ Строим y₅ =-2|x-3|+4 → параллельный перенос на +4 единицы вдоль оси О y (сдвиг вверх) = y ₄ +4

Слайд 18

График функции y =-2|x-3|+4

Слайд 19

График функции у= 3|х|+2 y₁=|x| y₂=3|x|= 3 y₁ → растяжение в 3 раза y₃=3|x| +2= y₄+2 → сдвиг вверх на 2 единицы

Слайд 20

Правило № 7 График функции y=f( | x | ) получается из графика функции y=f(x) следующим образом: При x > 0 график функции сохраняется, и эта же часть графика симметрично отображается относительно оси О y

Слайд 21

Пример:

Слайд 22

Построить график функции y = || x-1 | -2 |

Слайд 23

У₁= |х| у₂=|х-1| у₃= у₂-2 у₄= |у₃| У=||х-1|-2|

Слайд 24

Алгоритм построения графика функции y=│f(│x│)│ построить график функции y=f(│x│) . далее оставить без изменений все части построенного графика, которые лежат выше оси x . части, расположенные ниже оси x , отобразить симметрично относительно этой оси.

Слайд 25

У=|2|х|-3| Построение : а) у= 2х-3 для х >0, б) у=-2х-3 для х <0, в ) симметрия относительно оси Ох для f(x)<0

Слайд 26

Правило № 8 График зависимости | y|=f(x) получается из графика функции y=f(x) если все точки, для которых f(x) > 0 сохраняются и они же симметрично переносятся относительно оси абсцисс.

Слайд 27

Построить множество точек на плоскости, декартовы координаты которых х и у удовлетворяют уравнению |у|=||х-1|-1|.

Слайд 28

| y|=||x-1| -1| строим два графика 1) у=||х-1|-1| и 2 ) у =-|| х-1|-1| y₁=|x| y₂=| x-1 | → сдвиг по оси Ох вправо на 1 единицу y₃ = | x -1 |- 1= → сдвиг на 1 единицу вниз y ₄ = || x-1|- 1| → симметрия точек графика для которых y₃< 0 относительно оси О x y₅ =- || x- 1|-1| → симметрия точек, для которых y₄> 0 относительно О x

Слайд 29

График уравнения |y|=||x-1|-1| получаем следующим образом : 1)строим график функции y=f(x) и о с тавляем без изменений ту его часть, где y≥0 2) с помощью симметрии относительно оси Оx построим другую часть графика, соответствующую y<0 3)Получили график функции |у|= ||х-1|-1|

Слайд 30

Построить график функции y =|x | − | 2 − x | . Решение . Здесь знак модуля входит в два различных слагаемых и его нужно снимать. 1) Найдём корни подмодульных выражений: х=0, 2-х=0, х=2 2) Установим знаки на интервалах:

Слайд 31

График функции

Слайд 32

Вывод Тема проекта является одной из трудных в курсе математики, относится к вопросам, рассматриваемых на факультативах, изучается в классах по углубленному изучению курса математики. Тем не менее такие задания даются во второй части ГИА. Данная работа поможет понять как строить графики с модулями не только линейных функций, но и других функций(квадратичных, обратно пропорциональных и др.). Работа поможет при подготовке к ГИА и ЕГЭ и позволит получить высокие баллы по математике.

Слайд 33

Литература Виленкин Н.Я. , Жохов В.И.. Математика”. Учебник 6 класс Москва. Издательство “ Мнемозина”, 2010г Виленкин Н.Я., Виленкин Л.Н., Сурвилло Г.С. и др. Алгебра. 8 класс: учебн. Пособие для учащихся и классов с углубленным изучением математики. – Москва. Просвещение, 2009 г Гайдуков И.И. “Абсолютная величина”. Москва. Просвещение, 1968. Гурский И.П. “Функции и построение графиков”. Москва. Просвещение, 1968. Ящина Н.В. Приёмы построения графиков, содержащих модули. Ж/л «Математика в школе»,№3,1994г Детская энциклопедия. Москва. «Педагогика», 1990. Дынкин Е.Б., Молчанова С.А. Математические задачи. М., «Наука», 1993. Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах. М., «Просвещение», 1987 . Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся и классов с углубленным изучением математики. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2006. – 301 с . Макрычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Дополнительные главы к школьному учебнику 9 кл.: Учебное пособие для учащихся школы и классов с углубленным изучением математики / Под редакцией Г.В.Дорофеева. – М.: Просвещение, 1997. – 224 с . Садыкина Н. Построение графиков и зависимостей, содержащих знак модуля /Математика . - №33. – 2004. – с.19-21 .. Кострикина Н.П “ Задачи повышенной трудности в курсе алгебры для 7-9 классов ”... Москва.: Просвещение, 2008г.