Проектная работа по информатике "Применение табличного процессора MS Excel для решения квадратных и биквадратных уравнений" - 8 класс

Оглавление

Введение.        

Решение квадратных уравнений через дискриминант с помощью табличного процессора MS Excel.        

Решение квадратных уравнений по теореме Виета с помощью табличного процессора MS Excel        

Решение квадратного уравнения графическим методом с помощью табличного процессора MS Excel        

Решение биквадратного уравнения в EXCEL.        

Заключение        

Литература        

«Недостойно одаренному человеку тратить, подобно рабу, часы на вычисления, которые, безусловно, можно было бы доверить любому лицу, если при этом применить машину» 

Готфрид Лейбниц в XVII в

Введение.

Уравнения,  зачем они нам нужны и где вообще встречаются? В поисках ответа  на  этот вопрос я просмотрела учебники  химии, физики, алгебры и геометрии  за 8 класс и оказалось, что в учебнике химии многие задачи  решаются уравнением, в учебнике физики некоторые задачи решаются уравнением. В учебнике алгебры  большинство задач можно решить уравнением, в геометрии 1-2%. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.

Первобытная мама по имени (впрочем, у неё  и имени- то не было) сорвала с дерева 12 яблок и решила поделить их между своими четырьмя детьми. Она не умела считать ни до четырёх, ни до двенадцати. Она поступила  так: дала каждому по одному яблоку, потом ещё по одному, потом ещё по одному, и  увидела, что и  яблок больше нет, и никто из детей не обижен.

 Сегодня эту задачу можно решить уравнением 4х=12. Таким образом, уравнение, как метод решения задач, появился очень давно.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Я задалась вопросом.  А можно ли использовать компьютер для быстрого решения квадратного и биквадратного уравнений  и как это сделать?

В данном проекте затрагиваются вопросы  решения квадратных  и биквадратных уравнений с помощью табличного процессора MS Excel. Я попыталась построить модель для решения квадратных уравнений с помощью алгебраического метода, по теореме Виета и графического метода, а также построила модель биквадратного уравнения.

Решение квадратных уравнений через дискриминант с помощью табличного процессора MS Excel.

Итак,  моя задача сводилась к следующему:  по известным коэффициентам квадратного уравнения вычислить дискриминант, сделать вывод о наличии корней и, если корни есть, найти их.  

Начала я с составления блок-схемы:

        да                               нет

В электронной  таблице пользователю предоставляется возможность ввести  любые коэффициенты  квадратного уравнения. Благодаря введенным формулам  в ЭТ вычисляется дискриминант и корни квадратного уравнения, если таковы имеются.

Ниже представлена технология решения квадратного уравнения в MS Excel :    х2 - 3х + 2 = 0

1. В ячейки А1:А4 введите соответственно тексты

    «а=», «b=», «c=», «D=».

2. В ячейки В1:ВЗ введите соответствующие значения        

   коэффициентов: 1; -3; 2.

3. В ячейку В4 введите формулу =В2^2-4*В1*В3

 (Если все сделали правильно, то в ячейке B4 будет число 1).

4. В ячейку А5 введите текст «Есть ли корни?».

5. В ячейку В5 введите формулу =ЕСЛИ(В4<0; "нет";"да").

6. В ячейку В6 введите формулу = ЕСЛИ(В4>=0;"х1=";"").

7. В ячейку В7 введите формулу = ЕСЛИ(В4>=0;"х2=";""),

8. В ячейку С6 введите формулу

 = ЕСЛИ(В4>=0;(-В2+КОРЕНЬ(В4))/(2*В1);"").

9. В ячейку С7 введите формулу

 = ЕСЛИ(В4>=0;(-В2-КОРЕНЬ(В4))/(2*В1);"").

Вот скриншот моей таблицы:

Решение квадратных уравнений по теореме Виета с помощью табличного процессора MS Excel

Нет формул важней

Для приведенного уравнения:

- b– Это сумма его корней,

c  - Его корней произведение.

Франсуа Виет заметил некоторую закономерность между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Сегодня эта теорема в школьном учебнике алгебры звучит так: сумма корней  приведённого  квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Ниже представлена технология решения приведённого  уравнения  в MS Excel:

х2 + 2х - 3 = 0

1. В ячейки А3:А6 введите соответственно тексты

    «а=», «b=», «c=», «D=».

2. В ячейки В3:В5 введите соответствующие значения        коэффициентов: 1, 2, -3.

3. В ячейку В6 введите формулу =ЕСЛИ($B$3=1;$B$4^2-4*$B$5)

 (Если все сделали правильно, то в ячейке В6 будет число 16).

4. В ячейку А7 введите текст «Есть ли корни?».
5. В ячейку В7 введите формулу =ЕСЛИ($B$6<0;"Корней нет!";"Корни есть!")

(Данная формула проверяет наличие корней у уравнения)

6. В ячейку В8 введите формулу =ЕСЛИ($B$3=1;(-$B$4+КОРЕНЬ($B$6))/2)

(Вычисляем первый корень)

7. В ячейку В9 введите формулу =ЕСЛИ($B$3=1;(-$B$4-КОРЕНЬ($B$6))/2)

(Вычисляем второй корень)

Но оказывается, теорема Виета рассматривается шире,  для любого квадратного уравнения.

Действительно, если:  ах² + bх + с=0

Сделаем дополнения в нашу таблицу. Чтобы сделать уравнение приведённым, разделим каждое слагаемое на первый коэффициент и к полученному уравнению применим теорему Виета.

8. В ячейку С4 введем формулу =$B$4/$B$3 

(делим второй коэффициент на первый  b/a)

9. В ячейку С5 введем формулу =$B$5/$B$3

(делим третий коэффициент на первый  с/a)

10.  В ячейке В6 в формулу добавим =ЕСЛИ($B$3=1;$B$4^2-4*$B$5; $C$4^2-4*$C$5)

(дополненная формула позволяет вычислить дискриминант, при условии, если, а

11.  В ячейке B8 в формулу вносим дополнения, =ЕСЛИ($B$3=1;(-$B$4+КОРЕНЬ($B$6))/2;(-$C$4+КОРЕНЬ($B$6))/2)

(Вычисляем первый корень)

12.  В ячейке B9 в формулу вносим дополнения, =ЕСЛИ($B$3=1;(-$B$4-КОРЕНЬ($B$6))/2;(-$C$4-КОРЕНЬ($B$6))/2)

(Вычисляем второй  корень)

Есть ещё способ, благодаря которому  можно при определённых условиях сразу назвать корни уравнения.

Предположим, что  а + b + с = 0,  тогда b = -а - с 

дискриминант  D=(-а-с)²-4ас=а²+2ас+с²-4ас=(а-с)2

тогда  , а

т. е если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, то мы сразу можем назвать корни. Внесем необходимые изменения в уже существующую таблицу:

13.   В ячейку D3 введем формулу =ЕСЛИ($B$3+$B$4+$B$5=0;ИСТИНА;ЛОЖЬ)

(Данная формула проверяет условие, а+в+с=0 и если условие верно, то присваивается значение «ИСТИНА», в обратнос случае – «ЛОЖЬ»)

14.  В ячейку D8 введем формулу =ЕСЛИ(D3=ИСТИНА;1;"данный способ не подходит")

(это позволит при условии «ИСТИНА» первому  корню уравнения присваивается 1, если «ЛОЖЬ», то данным способом уравнение решаться не будет)

15.   В ячейку D9 введем формулу ЕСЛИ(D3=ИСТИНА;$B$5/$B$3;"данный способ не подходит")

(это позволит при условии «ИСТИНА» вычислить второй корень уравнения как  если «ЛОЖЬ», то данным способом уравнение решаться не будет).

Ну а если сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту  а + с = b,  тогда:

D= (а+с) ²-4aс = а²+2ас+с²-4ас = (а-с) 2

Внесём необходимые формулы в табличный процессор MS Excel:

16.   В ячейку Е3 введём формулу =ЕСЛИ(B3+B5=B4;ИСТИНА;ЛОЖЬ)
17.   В ячейку Е8 введём формулу =ЕСЛИ(E3=ИСТИНА;-$B$5/$B$3;"данный способ не подходит")

(при условии «ИСТИНА» вычисляет первый корень как ( - ) если «ЛОЖЬ», то данным способом уравнение решаться не будет)

18.  В ячейку Е9 введём формулу =ЕСЛИ(E3=ИСТИНА;-1;"данный способ не подходит")

(при условии «ИСТИНА» второму   корню уравнения присваивается   ‘-1’, если «ЛОЖЬ», то данным способом уравнение решаться не будет)

 Также в таблицу можно добавить проверку формул теоремы Виета, если

x1 + x2 = -b

x1 * x2 = c

то уравнение является приведённым:

19.   В ячейку А11  и  А12 введём соответственно текст                                «x1 + x2 = -b?»  «x1 * x2 = c?»
20.   В ячейку В11 введём  =ЕСЛИ(И($B$8+$B$9=-$B$4;B8*B9=B5);"Уравнение приведённое";"Уравнение не является приведённым" )

Здесь представлен скриншот моей таблицы:

Решение квадратного уравнения графическим методом с помощью табличного процессора MS Excel

Графический метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.

 Если в уравнении   х2 + bx + c = 0  перенести второй и третий члены в правую часть, то получим   х2 = -bx - c. Построив  графики зависимости  у = х2  и  у = - bx – c, на пересечении двух графиков можно определить не только количество корней, но и их значение.

Решим  уравнение:   х2 + 2х – 3 = 0.

Представим данное уравнение в следующем виде:  х2 = – 2х + 3.

Чтобы решить данное уравнение, нужно найти такое значение  х, при котором левая часть уравнения была бы равна правой. Введем две функции у1, равной левой части уравнения и у2, равной правой части уравнения. Теперь нужно найти такое значение х, при котором у1 = у2, т. е. общую точку, принадлежащую графику функции у1 и графику функции у2. Эта точка будет являться точкой пересечения графиков функций у1= х2  и  у2= –2х + 3. Абсцисса точки пересечения будет являться решением исходного уравнения. Для этого составим таблицы их значений в MS Excel:

у1 = х2 – график первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат,  у2 = –2х + 3 – график второй зависимости – пряма

Выделим столбцы у1 и у2 и построим график функций:

А(–3;9)  и   В (1;1) –точки пересечения.

Абсциссы этих точек равны –3 и 1.

Значит х1 = –3 и х2 = 1 – решение уравнения

Возможны следующие случаи:

- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Решение биквадратного уравнения в EXCEL.

    Уравнение вида: ax4 + bx2 + c = 0, где a, b, c - любые действительные числа, называется биквадратным.   

 Изложим основные пункты алгоритма решения биквадратного уравнения:

1. Прежде всего сделаем замену y = x2. Получим квадратное уравнение ay2 + by + c = 0.  Решим полученную систему квадратных уравнений.
         
       Начнем с решения квадратного уравнения.
       Далее в зависимости от значения переменной y будем решать второе уравнение y=x2  и находить значения переменной x.
2.     С этой целью первым делом вычислим дискриминант квадратного уравнения: D = b2 - 4ac.
       Далее в зависимости от значения дискриминанта D и от значений переменной  y  могут встретиться случаи, показанные в  блок-схеме решения биквадратного уравнения:  
   
    

Опишем действия, необходимые для того, чтобы составить модель решения задачи в  MS Excel:

1.  В ячейку A1 записать наименование задачи «Биквадратное уравнение».
2.  В третьей строке указать заголовки столбцов: № ; a= ; b= ; c= ; d= ; y1 ; y2 ; x1= ; x2= ; x3= ; x4= ;
3. Начиная с 4-ой строки, будем располагать соответственно числовые значения коэффициентов a, b, c и необходимые формулы для вычисления значений расчетных величин: D, y1, y2, x1, x2, x3, x4:
4. В ячейку E4 поместить формулу для вычисления D
   = =C4^2-4*B4*D4
5. В ячейку F4 поместить формулу для вычисления y1  =ЕСЛИ(E4<0;"Решений нет";(-C4-КОРЕНЬ(E4))/(2*B4))
6.  В ячейку G4 поместить формулу для вычисления y2 =ЕСЛИ(E4<0;"Решений нет";(-C4+КОРЕНЬ(E4))/(2*B4))
7.  В ячейку H4 поместить формулу для вычисления x1
   =ЕСЛИ(E4<0;"решений нет"; ЕСЛИ(И(F4<0;G4<0); "решений нет";ЕСЛИ(И(F4>=0;G4>=0);-КОРЕНЬ(F4)
8. В ячейку I4 поместить формулу для вычисления x2
   =ЕСЛИ(E4<0;"решений нет"; ЕСЛИ(И(F4<0;G4<0); "решений нет";ЕСЛИ(И(F4>=0;G4>=0);-КОРЕНЬ(F4)
9. В ячейку J4 поместить формулу для вычисления x3
   =ЕСЛИ(E4<0;"решений нет"; ЕСЛИ(И(F4<0;G4<0); "решений нет";ЕСЛИ(И(F4>=0;G4>=0);-КОРЕНЬ(G4);
10.  В ячейку K4 поместить формулу для вычисления x4
    =ЕСЛИ(E4<0; "решений нет"; ЕСЛИ(И(F4<0;G4<0); "решений нет"; ЕСЛИ(И(F4>=0;G4>=0); + КОРЕНЬ(G4); ЕСЛИ(И(G4>=0;H4<0);"решений нет";"решений нет"))))
11.  Скопируем  формулы  Е4:К4  в диапазон ячеек соответственно  Е5:К8

Поместим в таблицу MS Excel коэффициенты а, b, c следующих пяти исходных биквадратных уравнений: 
   8x4 - 6x2 + 200 = 0 
     x4 + 5x2 + 6 = 0 
     x4 - 5x2 + 6 = 0 
     x4 + x2 - 6 = 0 
     x4 - x2 - 6 = 0 

Скриншот  таблицы:

    Здесь предусмотрены все пять случаев, которые могут встретиться при решении биквадратного уравнения.  

Заключение

Исследуя мир, познавая его, мы нередко встречаемся с разного рода задачами.

Данная творческая работа позволила мне понять, что любую проблему можно решить. В школе нас этому учат. Мы знакомимся с различного рода задачами, и для их решения составляем уравнение. Также в школе нас знакомят с методами решения уравнений, открытыми великими математиками.  Я  научилась решать эти уравнения с помощью компьютерных технологий.

В итоге изучения материала о квадратных и биквадратных уравнениях я не только овладела применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научилась использовать логические средства для обоснования решений в случаях, когда это необходимо.

Список используемых источников

1. Л.Ф. Пичурин  «За страницами алгебры», Москва: Просвещение, 1990.
2. Д.И. Аверьянов и др. Большой  справочник «Математика» для школьников и поступающих в ВУЗы,  Москва: Дрофа, 1999.
3. Н.В. Макарова «Информатика и ИКТ. Практикум 8-9», СПб.: Питер, 2008.
4. Н.Д. Угринович «Информатика и ИКТ: учебник для 9 класса», М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010.
5. Л.А. Залогова и др.; под ред. И.Г. Семакина, Е.К. Хеннера «Информатика и ИКТ. Задачник практикум», том 2, М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011.